sábado, 8 de agosto de 2015

Espacio y tiempo

No, no voy a hablar de Relatividad. En general no me gusta repetir notas, pero hoy lo voy a hacer. Es que esta historia es muy buena, y cada vez que empezamos las clases de Mecánica Clásica me viene a la memoria y me da ganas de contarla de nuevo.

Atención: La nota de hoy contiene escenas de matemática explícita, que pueden afectar la sensibilidad de algunos lectores. Si Ud. sufre de matematicofobia, le recomiendo por ejemplo esta nota sobre la Noche Estrellada de van Gogh. Las fórmulas se ven bien en cualquier navegador. Si la recibís por email, mejor andá a verla en la web.

Más de uno recordará, de la escuela secundaria, el valor de la aceleración de la gravedad: 9.8 m/s2. Es la intensidad de la atracción gravitatoria de la Tierra, la aceleración hacia abajo que experimenta cualquier objeto cerca de la superficie del planeta. Ahora agarren una calculadora y calculen: \(\pi^2\) = 9.8... ¡es casi el mismo número! Esto es muy raro, porque el valor de la aceleración de la gravedad depende del sistema de unidades, son nueve coma ocho metros por segundos al cuadrado, mientras que pi al cuadrado no depende de nada, es una constante matemática universal. ¿Es realmente una coincidencia, o se esconde algo detrás?

Se esconde algo, una historia interesante que resumiré drásticamente.

Galileo descubrió que el período de oscilación de un péndulo es constante: no depende de la amplitud de la oscilación (mientras ésta sea pequeña), ni de la masa suspendida, y sólo depende de la longitud del aparato (desde el punto de suspensión hasta el objeto pesado que pendula). Claramente un péndulo era un dispositivo ideal para medir el tiempo con precisión, un viejo anhelo desde la Antigüedad. En el siglo XVII el astrónomo holandés Christiaan Huygens, como ya contamos, puso manos a la obra e inventó el reloj de péndulo, que se convirtió en el instrumento más preciso para medir el tiempo hasta bien entrado el siglo XX.

El período de un péndulo, que se calcula de manera sencilla en todos los cursos elementales de Física, es una raíz cuadrada (si llegaron hasta acá, no se me van a echar atrás ahora):
\[
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
\]
En esta fórmula T es el período (es decir, el tiempo que tarda el peso en ir y volver: tic-tac-tic), L es la longitud y g es la aceleración de la gravedad. Vemos que si L vale 1 (en las unidades que sean), el péndulo tiene un período de 2 segundos si la aceleración de la gravedad vale \(\pi^2\) en esas mismas unidades (porque se simplifica el \(\pi\) del numerador con el del denominador...). Ese es el origen de la coincidencia.

El período del péndulo, al depender sólo de su longitud, relaciona además el espacio y el tiempo. La unidad de tiempo, el segundo, está basada en la duración del día, lo cual es, digamos, "natural". El péndulo se convirtió entonces en el candidato ideal para definir una unidad de longitud también "natural", en lugar de las unidades "antropomórficas" de pulgadas, pies, codos, palmos, pasos, etc, totalmente arbitrarias, definidas de manera distinta en cada país, que se usaban desde tiempo inmemorial.

Huygens y otros científicos del siglo XVII no tardaron en observar que un péndulo que tarda un segundo en llegar de un extremo al otro de su oscilación (es decir, un período de dos segundos), tenía una longitud confortablemente a escala humana: unas 39 pulgadas. Y propusieron la definición de la unidad de longitud basada en este fenómeno: la longitud de un péndulo que, entre el tic y el tac, dejara pasar un segundo exacto.

¡Era una excelente idea! La Royal Society la apoyó rápidamente: se lo llamó seconds pendulum. Hubo propuestas similares en Francia y en Italia, donde un tal Tito Livio Buratini propuso llamar "metro" a la nueva unidad. Los avances tecnológicos a lo largo del siglo XVIII, con la Revolución Industrial, permitieron construir péndulos y relojes cada vez más precisos. Pero pasó el tiempo y no se llegó a ninguna decisión acerca de la unidad de longitud.

¿Y qué pasó con el metro? Finalmente, durante la Revolución Francesa, se estandarizaron las unidades de medida. La Asamblea consideró la longitud basada en el seconds pendulum, pero finalmente adoptó el famoso diezmillonésimo de cuarto del meridiano de París como definición del metro (del mismo tamaño que el del péndulo de 1 segundo). Más tarde lo inmortalizaron con dos rayitas marcadas en una barra de platino-iridio que guardaron bajo siete llaves. La propuesta de usar el péndulo fue abandonada porque el dispositivo dependía del lugar de la Tierra donde se lo usara. Además, a alguna gente le molestaba la cuestión de definir la unidad de longitud en base a una unidad de tiempo.

El segundo contraataca. La historia no terminó allí. Los propulsores de definir el metro basándose en el segundo tuvieron su vindicación. Durante el siglo XX se redefinió el segundo, usando un fenómeno atómico en el que se basan los relojes más precisos de hoy en día. Y finalmente se redefinió el metro. No en base al movimiento de un péndulo, sino en base a otro fenómeno que liga el espacio y el tiempo de manera absoluta, la velocidad de la luz en el vacío. Estableciendo que esta velocidad es exactamente 299 792 458 metros por segundo es como se define hoy en día el metro. Es decir, un metro es la distancia que recorre un rayo de luz en 1 / 299 792 458 segundos. Parece algo mucho más complicado que un péndulo, pero en realidad es algo muy sencillo de medir en los laboratorios modernos, de manera que en todos los países se puede usar la misma unidad de longitud sin necesidad de viajar a París...


Notas varias... 

El período (ver la fórmula de arriba) depende de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad. Un péndulo muy preciso sirve para medir la aceleración de la gravedad, que puede variar de manera minúscula a lo largo de la superficie de la Tierra debido a la forma achatada del planeta, las montañas, las rocas de distinta densidad... Se convierte en un instrumento de geodesia de precisión. Muchos astrónomos (gente particularmente interesada en medir con exactitud el tiempo) se involucraron en la teoría y aplicaciones del seconds pendulum y la geodesia. Uno de ellos fue Bessel, el ganador de la carrera para medir la distancia a las estrellas que conté en Viaje a las Estrellas. De hecho, me enteré de estos temas mientras investigaba sobre la vida de Bessel para Viaje a las Estrellas. La mayor parte de lo que cuento aquí está en este trabajo: Why does the meter beat the second? de P. Agnoli y G. D'Agostini.

El minuto y el segundo también fueron inventos de los astrónomos (durante la Edad Media), basados en la división sexagesimal de los grados del círculo que, como las 24 horas del día, habíamos recibido de Babilonia.

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3 comentarios:

  1. Ja, avisá que las fórmulas están escritas en algún lenguaje de programación, porque acá las veo "como se debe", pero en el mail las veía tal como fueron escritas, y no entendía un pomo!

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    1. Gracias, puesto. Las fórmulas están en MathJax, que funciona bien y por default en todos los browsers. Si a alguien no le funciona, no sé qué podrá hacer, más que cambiar de browser.

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  2. Todo bien; es en el cuerpo del mail donde no funciona, pero al entrar al blog las veo perfectamente. Pero pensé que aguien más despistado podía quedar pensando que se enfrentaba a una notación abtrusa e indescifrable, cuando todo se arregla con hacer un clic.
    Y bueno, la matemática siempre da un poco de trabajo.
    Felicitaciones por el blog; lo estoy recomendando por ahí.

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