El Mundial, el Barroco, San Pedro y los planetas

Di una charla sobre esta historia en el Instituto Balseiro. Pueden verla aquí.
 
Hace once mundiales (¡once!) el profesor de Historia entró al aula, saludó a los alumnos que lo esperábamos de pie junto a los pupitres ingleses de roble y fundición, miró el pizarrón y preguntó: "¿El profesor de Latín también está con lo del Mundial?" El profesor de Latín había dibujado con tiza esto:

Se parecía, claro, al popular logo del Mundial '78, que en esos días estaba por todos lados. Pero el profesor de Latín no había dicho nada de la Copa del Mundo. Imagino que le interesaba el fútbol, aunque fuera superficialmente: el profesor Abilio Bassets era un hombre culto y se interesaba por todo. Ese día nos había estado explicando el geométrico plan de la Plaza San Pedro, en Roma. Delante de la imponente basílica diseñada por Miguel Ángel, Gian Lorenzo Bernini había construido una magnífica plaza seca, ceñida por una cuádruple columnata monumental con esta forma. El año pasado así la fotografié desde la cima de la cúpula:

Bassets nos explicó que Bernini, genial arquitecto barroco, heredero del Renacimiento, había querido representar a la Iglesia recibiendo con los brazos abiertos a los fieles. La misma idea del artista que creó el logo del Mundial 78, por supuesto: abrazar a los visitantes. Y festejar los goles.

Dos detalles de la explicación me fascinaron: la parte ovalada de la plaza era una elipse, y si uno se paraba en los focos las cuatro filas de columnas resultaban alineadas, quedando visible sólo la más interior. ¿Sería posible? A los 13 años, yo acababa de aprender que las elipses eran las curvas que seguían los planetas en sus caminos alrededor del Sol, y sabía dibujarlas. Entendí, con los años, que las elipses se habían vuelto muy populares en la arquitectura post-renacimiento, seguramente por el rol prominente que jugaban en la astronomía. Y que moverse por una plaza donde lo que parece una muralla inexpugnable se vuelve transparente cuando uno llega al foco, el lugar del Sol, encajaba perfectamente con la teatralidad del Barroco. Así que el año pasado me pasé un buen rato disfrutando del efecto:

Ahora bien, resulta que lo que nos contó Bassets sólo es aproximadamente cierto. Los puntos especiales de la plaza no son los focos (que estarían donde están las fuentes), sino que están más cerca del obelisco central, marcados con adoquines especiales de mármol blanco y pórfido, donde dice "centro del colonnato ~".

Lo comprobé tratando de verificar la definición geométrica de la elipse: que la suma de las distancias de cada foco a cualquier punto de la curva es la misma. No era. Lo hice caminando, esquivando turistas y vallados, pero no daba. Desde las fuentes, que parecían mejor posicionadas, daba un poco mejor, pero tampoco. Me pregunté si sería porque no podía caminar desde el centro de la fuente, así que intenté hacerlo en Google Earth:

Me fui sin saber lo que pasaba. Pasó un año, y me acordé de googlearlo. No me costó descubrir la verdad: la plaza no es elíptica. Hay un uso informal de las palabras óvalo y elipse como si fueran lo mismo, pero los óvalos en realidad son curvas trazadas con arcos de círculos, con distintos centros y radios, parecidas a elipses pero más fáciles de dibujar. Encontré un trabajo presentado en una conferencia de matemática que discute precisamente el caso de la Plaza San Pedro. Una elipse y un óvalo con las mismas proporciones que la plaza son casi idénticos:

La elipse es la curva azul y el óvalo, trazado con cuatro círculos, es la negra. Bernini eligió el óvalo, y puso las fuentes en los lugares donde hubieran estado los focos de la elipse:

El plano de la izquierda (A) muestra los cuatro círculos usados para trazar el óvalo. Uno de los grandes, además, abarca hasta la escalinata de San Pedro (seguro que a propósito). Las columnatas recorren algo más que la curva de los círculos más pequeños. Además, sus centros están en los puntos marcados con los adoquines de pórfido, centros de las columnatas. Ésta es la clave. Resulta que, siendo la curva circular, sus perpendiculares son radios y permiten alinear las cuatro columnatas de manera que todas las filas se crucen en un punto, el centro del círculo (izquierda en la figura de abajo). Si la curva fuera una verdadera elipse, ¡las perpendiculares no se cruzarían en un punto! Dibujarían, en cambio, esta complicada envolvente:

Es decir, al caminar por la plaza uno vería que la columna interior oculta las otras tres sólo en una dirección, cambiante al movernos alrededor del obelisco. No tendría el efecto realmente sorprendente de desmaterialización que produce la conjunción simultánea de toda la columnata, cuando el bosque de columnas parece desaparecer. Bernini sacrificó la geometría y la astronomía por el arte.

La construcción de la plaza terminó en 1667. Al mismo tiempo, en la campiña inglesa, el joven Isaac Newton se tomaba un año sabático en casa de su madre a causa de la peste, durante el cual inventó el cálculo infinitesimal, descubrió la ley de la gravitación, y demostró que las órbitas de los planetas tenían que ser las elipses que había descubierto Kepler. ¿Cómo se compara la "elipse" de Bernini con las órbitas de los planetas? Salta a la vista que es demasiado excéntrica: midiendo en Google Earth el cociente entre la distancia entre las fuentes y el eje mayor me da una excentricidad de 2/3. El planeta más excéntrico conocido en tiempos de Bernini era Mercurio, con una excentricidad apenas mayor que 1/5. Plutón no llega a 1/4. Dibujadas, la órbita de Mercurio (naranja), la columnata (azul) y un círculo (verde) se comparan así:

Al comenzar un nuevo Mundial en condiciones precarias, nos encomendamos a Messi...

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El artículo citado, de donde tomé algunas de las figuras, es:

Carlini & Magrone, Ellipses and ovals in the physical space of St. Peters Square in Rome, Proceedings of the 16th Conference of Applied Mathematics APLIMAT 2017, Bratislava.

Las fotos son mías.