Cien años de expansión

«L'aqua che io prendo già mai non si corse.»
(El agua en que me adentro nunca ha sido cruzada.)
Dante, Divina Commedia

A los físicos nos enseñan desde chiquitos que un buen modelo es un modelo simple. La historia de la física es la historia de cómo hacer modelos simples para explicar fenómenos complejos. ¿El sistema solar? Me quedo sólo con dos cuerpos, el Sol y un planeta, dice Newton y ¡zas! salen las órbitas elípticas de Kepler. ¿La variedad de los espectros de los elementos? ¡Zas! el átomo de Bohr, y salen las líneas del hidrógeno. ¿El magnetismo y las misteriosas transiciones de fase? ¡Zas! el modelo de Ising.

En 1915 Einstein presentó al mundo la Teoría de la Relatividad General, una explicación de la gravitación distinta de la de Newton. El propio Einstein mostró cómo se modificaban las órbitas elípticas, precisamente de la manera necesaria para entender el raro movimiento de Mercurio. ¿Se podría usar para el universo entero? Einstein y Willem de Sitter hicieron primeros intentos, pero la idea posta la tuvo Alexander Friedmann. ¿Cómo hacer un modelo simple, si lo que uno pretende describir es el universo entero? ¿Qué hacer con la diversidad de galaxias, la multitud de estrellas, la complejidad de los planetas, anillos, lunas, asteroides, cometas, mares, volcanes, selvas, boas, elefantes, hierba, vacas, gente, flores? Friedmann tiró todo. Todo todo todo. Hasta las galaxias (que en aquel tiempo ni siquiera se sabía que existían). Dejó solamente la masa: la masa de las estrellas, los planetas, los elefantes y la gente. Pero sin las estrellas, los planetas, los elefantes ni la gente. Sólo su masa, como si hubiera pasado todas las estrellas, los elefantes, etcétera, por una licuadora, dejando apenas un fluido perfecto, quieto, igual en todas partes. Ah, y las ecuaciones de Einstein. 

¿Qué quedó, con semejante simplificación? Friedmann lo contó en 1922, hace exactamente 100 años. Su publicación se titula Sobre la curvatura del espacio, y empieza así, reconociendo que Einstein y de Sitter ya habían encontrado dos tipos de universos («Typen des Weltalls»):

A lo largo de cuatro páginas Friedmann muestra cómo obtener las soluciones de Einstein y de Sitter y de golpe, sin anestesia, dice: «Ahora queremos considerar el mundo no estacionario». Ah, bueno. ¿No estacionario? A ningún científico, en miles de años, se le había ocurrido algo semejante. ¿A Edgar Allan Poe, tal vez, cuando arriesgó su solución a la paradoja de Olbers? Pero Poe era un escritor. Acá el tipo viene a escribir ecuaciones, no a sarasear. Y deduce dos ecuaciones a partir de las ecuaciones de Einstein:

Hoy, por supuesto, se llaman ecuaciones de Friedmann. No las vamos a discutir en detalle, pero sí mencionaremos que R (que es una de las incógnitas de las ecuaciones de Einstein) es el radio del universo, y que las primas denotan sus derivadas temporales, ya que Friedmann quiere un universo que cambie en el tiempo. Hoy en día en lugar de R se escribe a, variable que se interpreta como una "escala" de un universo que podría ser infinito. Son las ecuaciones que describen la evolución del universo entero.

Friedmann ha hecho aquí algo notable: encontró soluciones exactas de las ecuaciones de la Relatividad General, que son difíciles y en 1922 se conocían todavía muy poquitas. Podría poner punto final y publicar el paper. Pero sus soluciones son de nuevo ecuaciones, porque había permitido que R dependiera del tiempo. Así que las resuelve, encontrando el radio del universo a lo largo del tiempo. Friedmann encuentra que hay tres soluciones posibles, ejemplificadas en el siguiente gráfico de R versus el tiempo: 

El tiempo t₀ indica el presente. La curva azul empieza con un radio cero en el extremo izquierdo del gráfico. Muestra un universo que se expande, y que a partir del tiempo t_f lo hace de manera acelerada. La curva verde es parecida, pero al tiempo inicial el universo ya tiene un tamaño finito, indicado r_i. La curva roja muestra una solución distinta, con un universo que al principio se expande pero después se contrae y desaparece. 

Friedmann termina su discusión observando que no había todavía manera de decidirse por una de las tres posibilidades. De todos modos, estima que la duración del universo P (curva roja) podría ser del orden de 10 mil millones de años, un valor compatible con la escala temporal de la Tierra que requería la geología. Hoy, 100 años después de Friedmann, la evidencia observacional apunta a que nuestro universo sería del tipo M1, el de la curva azul.

El trabajo de Friedmann no fue bien recibido. Einstein lo encontró sospechoso de contener un error matemático y publicó una notita en la misma revista con su objeción. Friedmann le escribió una larga carta con explicaciones detalladas; pero Einstein, que se había convertido en una celebridad tras la verificación de su teoría durante el eclipse solar de 1919, estaba de gira mundial y no recibió la carta en seguida. Finalmente reconoció la corrección matemática del cálculo de Friedmann en una nueva notita. Quiso agregar su opinión de que la solución no tenía sentido físico, pero una premonición (o decoro) lo hizo tachar la frase en las pruebas de galera.  

La marea empezó a cambiar en 1927, cuando Georges Lemaitre dedujo independientemente las mismas ecuaciones, mostrando que un universo en expansión era compatible con las observaciones preliminares de Hubble acerca del corrimiento al rojo de las galaxias, y que Hubble publicaría recién en 1929 (en esa época todavía se usaba la velocidad, como se lee en el eje vertical, y no el corrimiento al rojo):

Encima, en 1930 Eddington demostró que la solución estática de Einstein era inestable (incluso con la constante cosmológica). El discípulo de Friedmann, George Gamow, finalmente hizo dos predicciones cruciales: que debía haber una radiación tenue y uniforme, en la frecuencia de las microondas, llenando el universo, y que las abundancias del hidrógeno, el helio y sus isótopos debían cumplir ciertas relaciones entre sí. Ambas fueron confirmadas años después, y la teoría nacida de la mente de Friedmann por la fuerza de la lógica, terminó convirtiéndose en el modelo cosmológico aceptado.

Lamentablemente Friedmann no llegó a vivir esta vindicación. Murió en 1925 cuando tenía apenas 37 años de edad, tras enfermar de salmonella por comerse una pera no lavada que compró en una estación de tren. 🤦

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Varias de las anécdotas las encontré en: Belenkiy, Alexander Friedmann and the origins of modern cosmology, Physics Today (2012). De allí tomé la figura de los tres universos, y la frase de Dante que, parece, era favorita de Friedmann.  

El paper de Friedmann de 1922 se puede leer sin mayor dificultad con un conocimiento mínimo de Relatividad General. Friedmann publicó un segundo trabajo sobre estos asuntos, en 1924, pero es mucho más difícil. Ambos, así como el de Lemaitre, pueden encontrarse en traducciones al inglés.