El modelo de Ising cumple 100 años

En la Reunión Anual de la Sociedad Alemana de Física, que tuvo lugar hace exactamente 100 años (del 19 al 25 de septiembre de 1920), Wilhelm Lenz presentó un modelo "de juguete" para tratar de explicar por qué un imán pierde el magnetismo cuando se lo calienta por encima de cierta temperatura, un fenómeno descubierto algunos años antes por Pierre Curie. No logró hacerlo, pero termina su paper con optimismo: "Esperamos que sea posible explicar las propiedades de los ferromagnetos de la manera indicada" .

Lenz le propuso a Ernst Ising profundizar el estudio del modelito para su tesis de doctorado. Ising descubrió que, en versión unidimensional, el modelo no se magnetizaba a ninguna temperatura. A partir de esto, extrapoló que lo mismo ocurriría en un sistema 3D. En el resumen de su tesis dice: "Mostramos que este modelo no tiene propiedades ferromagnéticas, y que esto se extiende también al modelo tridimensional". Como los imanes verdaderos son objetos tridimensionales, y son ferromagnéticos, esto es como decir que el modelo no sirve para nada. No lo dijo así, imagino que para no herir a su director, pero podemos imaginarlo. 

Ising estaba equivocado. El caso de dimensión 2 es mucho más difícil, y fue resuelto de manera analítica por el noruego Lars Onsager mucho más tarde, en 1944, demostrando que sí tiene una transición ferromagnética. Dicen que la demostración de Onsager es tan brillante como imposible de entender. El modelo siguió juntando polvo hasta que Ken Wilson analizó las propiedades de invariancia de escala del sistema en el punto crítico usando una herramienta matemática llamada grupo de renormalización, lo cual permitió hacer cálculos analíticos e incluso exactos donde nadie se lo esperaba. Más tarde extendió las mismas ideas a la teoría cuántica de campos, lo cual también fue una revelación. Wilson ganó le premio Nobel de Física en 1982.

Esto fue una revolución en la manera de entender lo que pasa en las transiciones de fase: no sólo lo que ocurre cuando un imán deja de ser magnético, sino también lo que pasa cando un líquido se convierte en vapor, o un universo dominado por la radiación pasa a estar dominado por la materia, o una población se extingue por falta de recursos, o un material pierde la resistencia eléctrica, y un larguísimo etcétera. El modelo pasó a la historia con el nombre de Ising (¡injustamente!), y se convirtió en una herramienta fundamenteal de la física moderna, si bien una de esas que nunca van a encontrar en una charla de divulgación, a pesar de su importancia. 

La explicación moderna de los fenómenos magnéticos se basa en la mecánica cuántica del átomo. En particular, en las configuraciones electrónicas que tienen un momento magnético neto debido a la presencia de electrones no apareados. A escala macroscópica el magnetismo se produce por la alineación de estos momentos magnéticos atómicos, que puede ser permanente como en un imán. El modelo de Ising no tiene nada de esto. Lenz ideó un modelo que es una caricatura del fenómeno, que ilustra muy bien la manera en que los físicos reducimos un problema para poder analizarlo. Imaginó el imán como formado por una red de flechitas magnéticas que podían apuntar sólo en dos direcciones, hacia arriba o hacia abajo. El calor produciría un sacudirse aleatorio de estas flechitas, en competencia con la interacción magnética entre ellas. A baja temperatura el magnetismo resistiría este caos y la sustancia resultaría magnetizada macroscópicamente. A alta temperatura el desorden ganaría, rompiendo el ferromagnetismo como había observado Curie. Si graficamos las flechitas con dos colores, blanco y negro, a baja temperatura vemos un solo color predominante, indicando que el sistema está magnetizado. A alta temperatura vemos los dos colores mezclados al azar, sin magnetización neta, producto de la agitación térmica de las flechitas. Y a la temperatura de Curie vemos algo distinto: islas de los dos colores, de todos los tamaños, metidas unas dentro de otras. Es una geometría típicamente fractal, cuya invariancia de escala se ilustra en este videíto de Douglas Ashton. Este es el estado extraordinario que Wilson estudió con la renormalización y desató la revolución de las transiciones de fase. 

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W Lenz, Beiträge zum Verständnis der magnetischen Eigenschaften in festen Körpern, Physikalische Zeitschrift 21:613–615 (1920). 

E Ising, Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus, Zeitschrift für Physik 31:253–258 (1925). 

L Onsager, Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition, Physical Review 65:117–149 (1944).

K Wilson, Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture, PRB 4:3174 (1971).