sábado, 31 de agosto de 2013

La órbita de la Luna

Estamos acostumbrados a ver representaciones que muestran la órbita de la Tierra alrededor del Sol, y al mismo tiempo la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. Muestro un pedacito, con la de la Tierra en azul y la de la Luna en naranja:


Esta representación mixta se presta a confusión. A medida que la Tierra avanza en su movimiento alrededor del Sol (digamos, de derecha a izquierda) la Luna la acompaña, así que no puede describir esa órbita cerrada del dibujo. ¿Cómo es la verdadera trayectoria de la Luna alrededor del Sol?

La respuesta no es obvia. Sabemos que la Luna es un satélite de la Tierra, así que definitivamente orbita alrededor de la Tierra. Pero al mismo tiempo avanza alrededor del Sol junto con el planeta. ¿Será una cosa así?


Para que ocurra algo así, la velocidad de la Luna (vista desde el Sol) tendría que cambiar de dirección: la parte de afuera del rulo se recorre de derecha a izquierda, y la de adentro de izquierda a derecha. ¿O será algo así?:


Aquí no hay rulo. La Luna se movería sinuosamente desde afuera hacia adentro de la órbita de la Tierra y después regresaría. En los dos casos, con rulo o sin rulo, fíjense que lo que cambia es la concavidad de la órbita: en parte es cóncava hacia afuera, en otras es convexa hacia afuera.

Bueno, no es ninguna de ésas. Es un poco sorprendente, pero la órbita de la Luna es siempre convexa, como la de la Tierra. No tiene partes cóncavas "hacia afuera": siempre se curva hacia el Sol. Es difícil verlo en escala, pero es tal como aparece en este dibujo. Como la Luna orbita alrededor de la Tierra unas 12 veces por año, su órbita alrededor del Sol se parece a un dodecágono (un polígono de 12 lados) con los vértices redondeados. ¿Lo ven, inscripto dentro del círculo azul que representa la órbita de la Tierra?

Acá está en detalle de unos dos meses, con las trayectorias pintadas más finitas para que se vea el efecto. Va pasando un poquito por fuera, un poquito por dentro de la órbita de la Tierra, pero curvándose siempre hacia el mismo lado, siempre hacia el Sol. Click para verla más grande; es un efecto sutil, se ve mejor en grande.


¿Y cómo lo sé? Hay varias maneras de mostrarlo. Creo que la más fácil es la siguiente. (Los que prefieran saltarse el cálculo pueden adelantarse clickeando aquí.) Supongamos que las órbitas son círculos (en lugar de elipses), lo cual es una aproximación razonable. En un movimiento circular la aceleración está relacionada con el radio del círculo y con la velocidad angular (las "vueltas por minuto") del movimiento. La Luna, en su viaje alrededor del Sol, está sujeta a dos movimientos de este tipo superpuestos. Uno grande y lento (acompañando a la Tierra) y el otro rápido y chiquito. Las dos aceleraciones son

\( \Omega^2 R\)  y  \( \omega^2 r, \)

donde R es el radio del círculo grande (la órbita terrestre), r el del círculo chico (la órbita de la Luna), Ω es la velocidad angular de la Tierra, y ω la de la Luna.

¿Quién produce estas aceleraciones? La fuerza de la gravedad, por supuesto. La del Sol en el primer caso y la de la Tierra en el segundo. Las dos actúan superpuestas sobre la Luna. ¿Y en qué dirección actúan? Cada una apunta hacia el cuerpo que produce la atracción. Así que cuando la Luna se encuentra en la posición de luna llena (opuesta a la Tierra) las aceleraciones se suman. Y cuando pasa por la luna nueva, las aceleraciones se restan. La curvatura de la trayectoria es producida por las dos aceleraciones superpuestas, en cada punto de la órbita. Así que para que la órbita sea siempre convexa (que siempre se curve hacia el Sol) es necesario que la aceleración siempre apunte hacia el Sol. En particular, el valor mínimo que tiene la aceleración (durante la luna nueva) tiene que apuntar hacia el Sol. En ese punto la aceleración es \(\Omega^2 R - \omega^2 r\), y necesitamos que sea mayor que cero:
\[ \Omega^2 R > \omega^2 r. \]Podríamos poner las velocidades angulares, pero déjenme hacerlo de otra manera: la Tercera Ley de Kepler nos permite convertir esta relación en una relación entre masas. Kepler dice que \(m\sim\omega^2 r^3\), donde \(m\) es la masa de la Tierra (y lo mismo con las mayúsculas y la masa del Sol). Si reemplazamos nos queda:
\[ \frac{M}{R^2} > \frac{m}{r^2}. \]Reagrupemos un poco esto. Si acomodamos r a la izquierda y el resto a la derecha, descubrimos que para que la Luna tenga una órbita convexa su distancia a la Tierra debe satisfacer:\[ r > R \sqrt{m/M}. \]Perfecto, esto lo podemos calcular inclusive para todos los satélites y planetas del sistema solar buscando los valores en una tabla. Tenemos:

Planeta R√(m/M)Satélite regularmás lejanoSatélitemás lejano
(km) (km) (km)
Tierra: 259261 384400 Luna
Marte: 129508 23460 Deimos
Júpiter:240540001882700 Calisto29541000 S/2003 J2
Saturno:241240003560820 Japeto25108000 Fornjot
Urano: 18949400583520 Oberón20901000 Ferdinand
Neptuno:32340000117647 Proteo48390000 Neso
Plutón: 480100 64780 Hydra

En la tabla vemos que todos los satélites regulares excepto la Luna se encuentran más cerca de su planeta que lo que establece este valor crítico, así que sus órbitas no son convexas. Y también vemos que los planetas gigantes tienen satélites irregulares con órbitas convexas. (Irregulares son satélites que orbitan su planeta "al revés", de manera "retrógrada", o muy inclinados; pasaron cerca y fueron capturados, no se formaron junto con el planeta.) Los 5 satélites de Plutón están dentro del umbral: se formaron durante la colisión que formó a Caronte. Los dos de Marte son capturados pero regulares, y se encuentran por debajo del umbral (no sabemos por qué).

En algún sentido, esta distancia parece establecer una frontera natural para la región de los satélites naturales de cada planeta. Un cuerpo por fuera de esta región no está del todo "ligado" al planeta, y tiene una fuerte tendencia a escaparse y tomar su propio camino alrededor del Sol. Así que no cabe esperar que haya muchos de éstos. Si uno grafica la cantidad de satélites que se encuentran a cada distancia obtiene algo así (pongo el caso de Júpiter que es el más claro):



A pesar de que hay un puñadito que están por fuera de la distancia que calculamos, vemos que hay una especie de barrera y que están casi todos adentro, amontonados a la distancia máxima. Estoy seguro de que esto significa algo relevante en la evolución de los sistemas de satélites. Conjeturo que, de los satélites capturados, los que se encuentran dentro de este radio tienen órbitas más estables, y tienden a permanecer más tiempo ligados al planeta. En cambio los que están por fuera no duran mucho. Por eso los vemos formando una barrera a esta distancia. Tal vez haya que tenerlo en cuenta cuando empecemos a buscar lunas alrededor de los planetas extrasolares.

¿Y la Luna? ¡La Luna está por fuera del r máximo! Así que su órbita es siempre convexa, como decíamos al principio. La Luna es la única, entre los satélites regulares, que tiene una órbita convexa. Pero si se formó junto con la Tierra, ¿cómo llegó tan lejos? ¿Y significa esto que la podemos perder? Bueno, sí. De hecho, la estamos perdiendo. La Luna se aleja de la Tierra muy lentamente, y finalmente podría escapar de la influencia de la Tierra. Y así como se está alejando, en el pasado estuvo más cerca. Mucho más cerca. Se calcula que se formó (a partir de un impacto descomunal cuando la Tierra era joven), a una décima parte de su distancia actual. Bien por dentro del r calculado. En aquella época su órbita no era siempre convexa, sino sinuosa y mucho más rápida.

Si conocen a algún astrónomo, pregúntenle cómo es la trayectoria de la Luna alrededor del Sol. Estoy seguro de que más de uno meterá la pata. Como en el caso de la órbita de Plutón, que comenté hace años.

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2 comentarios:

  1. Hola, señor. Su blog es de lo mejor, por supuesto.
    Le consulto: en la fórmula de Kepler que transcribe: m=w. r3 , ¿no equivoca el exponente 3 por el 2? Gracias.
    Saludos

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    Respuestas
    1. Gracias, Sergio. Es un cubo. La TERCERA ley de Kepler, el cuadrado del período es proporcional al CUBO del semieje.

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