La masa del Sol

¿Cuánto pesa el Sol? O, mejor dicho, ¿cuál es la masa del Sol? Las magnitudes astronómicas son tan ajenas a la vida cotidiana que no tenemos manera de imaginarlas. Es una situación muy distinta que con un objeto común y corriente. Si pregunto: ¿cuánto mide esa mesa? la respuesta será más o menos 1 metro. Si digo: "esa mesa mide 1000 km", cualquiera se da cuenta de que no puede ser. Lo mismo si digo "esa mesa mide 1 micrón". La mesa mide un metro, poco más, poco menos. 

Pero, ¿el Sol? El Sol es inmenso, así que la masa debe ser un número grande. ¿Será \(10^{20}\) kg? ¿Será \(10^{30}\)? ¿Quizás \(10^{40}\)? Andá a saber. Y si digo que son \(10^{20}\) kg, ¿le estoy errando por poquito, o por un factor un millón? ¿O mil millones? ¿O diez mil millones? ¿Quién se da cuenta?

Bueno, la masa del Sol es \(2\times10^{30}\) kg. Hay que acordárselo de memoria, no es algo que se pueda estimar a ojímetro. Son:

2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 toneladas.

¿Y cómo sabemos que es ese número, y que no los estoy engañando? El Problema 1 en la materia  Astrofísica para Físicos Curiosos (que doy este cuatrimestre) dice: Calcule la masa del Sol. Porque la masa del Sol se puede calcular. Entonces, calculémosla. Para un físico (curioso o no) es un cálculo bastante fácil, pero probablemente no para todos los lectores de En el Cielo las Estrellas. Así que voy a hacerlo con elementos de física de la escuela secundaria. Si sufren de matemáticofobia, paren acá, nos vemos la semana que viene. 

Vamos a usar las dos leyes más famosas de Newton: la Segunda Ley, efe igual eme por a, y la ley de gravitación universal. La fuerza que siente la Tierra es la atracción gravitacional del Sol, que depende de las masas y la distancia. Esta misma fuerza, por la segunda ley, es igual a la masa de la Tierra por la aceleración. Es decir, podemos escribir dos fórmulas:

\[F =  G \frac{M m}{r^2},~~\mbox{y:}~~F = m a,\]

donde \(M\) es la masa del Sol, \(m\) es la de la Tierra, \(G\) es la constante de Newton, \(r\) es el radio de la órbita y \(a\) es la aceleración (centrípeta, es decir que apunta hacia el Sol, como se ve en la figura). Las dos efes son la misma, así que podemos igualar las dos ecuaciones, simplificar la \(m\) y obtener:

\[G \frac{M}{r^2} = a. \]

Esto por un lado, fue facilongo. De aquí podríamos despejar la masa del Sol: la constante de Newton la buscamos en una tabla de constantes universales (la midió Cavendish, como contamos), y el radio de la órbita digamos lo conocemos (o lo medimos, como hicimos hace algunos años). Nos faltaría la aceleración, que es una propiedad de la órbita de la Tierra, y la vamos a calcular ahora. Sabemos que la órbita es una elipse de Kepler, pero es casi circular, así que supongamos que es circular, para facilitar el cálculo. Una aproximación "copernicana", digamos. 

La Tierra sigue esta órbita casi circular con velocidad casi constante. Es fácil calcularla: es la longitud de la órbita, dos pi por erre, dividida por el tiempo en que la recorre, que es un año:

\[v=\frac{2\pi r}{T}.\]

Al pasar el tiempo, la velocidad de la Tierra va cambiando de dirección (sin cambiar de magnitud). Ese cambio de dirección de la velocidad es precisamente la aceleración que encontramos arriba. Los físicos la calculamos como una derivada, pero en la escuela secundaria no aprendimos derivadas. Así que, nuevamente, aproximémosla. Supongamos que en un tiempo cortito \(\Delta t\), la velocidad cambió \(\Delta v\). Lo grafico exagerando el intervalo de tiempo para que se vea mejor la geometría: 

La aceleración es ese cambio de velocidad, dividido por el tiempo en el cual se produjo:

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t}.\]

El cambio de velocidad \(\Delta v\) se puede calcular usando el ángulo que la velocidad rotó en ese tiempito, que es el ángulo que avanzó la Tierra en su órbita, \(\alpha\) (los dos ángulos tienen lados perpendiculares, así que son iguales): \(\Delta v = \alpha\times v\) (dibujo de arriba a la derecha). Y el ángulo también se puede escribir geométricamente, usando el arquito recorrido y el radio: \(\Delta s = \alpha\times r\) (dibujo de arriba, a la izquierda).  Así que:

\[ a = \frac{\alpha\, v}{\Delta t} = \frac{\Delta s\, v}{r \, \Delta t} = \frac{v}{r}\frac{\Delta s}{\Delta t}  =\frac{v^2}{r} = \frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2,  \]

donde usamos que \(\Delta s/\Delta t=v\), por la definición misma de velocidad. Ya casi estamos. Ahora tomamos esta última expresión de la aceleración y la usamos en la fórmula de más arriba:

\[ \frac{GM}{r^2}  = a = \frac{1}{r}\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}.\]

De aquí podemos despejar la masa del Sol:

\[ M = \frac{4\pi^2\, r^3}{G\, T^2}. \]

Poniendo los números (háganlo en la calculadora si no me creen):

\[M=\frac{4\pi^2 \times (150\times 10^9 \mbox{ m})^3}{6.67\times 10^{-11} \mbox{ m}^3 \mbox{ kg}^{-1}\mbox{ s}^{-2}\times (365\times 24\times 3600 \mbox{ s})^2} = 2.009\times 10^{30} \mbox{ kg}.\]

 

Fíjense que la fórmula (antes de poner los números que corresponden a la Tierra) vale para todos los planetas: relaciona el radio orbital con el tiempo que tarda en dar una órbita. Dice que el radio al cubo es proporcional al tiempo al cuadrado: \(r^3 = (GM/4\pi^2)\, T^2\). ¡Es la Tercera Ley de Kepler! Si no la conocíamos, acabamos de demostrarla, para órbitas circulares al menos. La misma ley vale para órbitas elípticas, lo cual a Kepler le costó bastante demostrar, a Newton mucho menos, y mis alumnos de Mecánica lo hacen de taquito.

Finalmente, vale la pena mencionar que, lo que esta fórmula permite calcular fácilmente, es el producto \(GM\), usando mediciones que son relativamente fáciles de hacer: el radio de la órbita (la unidad astronómica) y el período orbital (un año). Para encontrar el valor de \(M\) necesitamos el valor de \(G\), la constante universal de Newton, que hoy en día la sacamos de una tabla, pero que no fue fácil de medir con precisión debido a que la gravedad, la más familiar de las fuerzas fundamentales, es muy pero muy débil.  

 

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Motivó esta nota la pregunta de Pedrito, el hijo de mi amigo Víctor Hugo. Pedrito quiso saber la masa del Sol, y Víctor me preguntó si era fácil de calcular. Le dije que sí, y le di alguna pista. No sé si lo logró. En todo caso, por si se lo olvida, o si me lo olvido yo cuando sea más grande, acá queda escrito.

Bonus track. Hay una manera alternativa, también sencilla, de calcular geométricamente la aceleración sin usar el movimiento circular; así que es más general porque vale para las verdaderas órbitas elípticas de los planetas. Es más parecida al cálculo de Newton que lo llevó a descubrir la ley de gravitación. Como se ve en la figura (abajo), podemos escribir por Pitágoras, para un desplazamiento pequeño de la Tierra:

\[(r+\delta r)^2 = r^2 + (v\, \delta t)^2\]

donde \(\delta r\) es lo que la Tierra "cae" por acción de la gravedad, ya que si no estuviera la fuerza gravitacional, seguiría un movimiento rectilíneo hasta el vértice del triángulo. Esa caída obedece a la ley del movimiento acelerado que descubrió Galileo: \(\delta r = 1/2\, a\, \delta t^2\). Así que podemos escribir:

\[r+\frac{1}{2}a\, \delta t^2 = (r^2 + v^2 \delta t^2)^{1/2} = r \left(1+\frac{v^2\delta t^2}{r^2}\right)^{1/2}.\]

Si \(\delta t\) es pequeño, se puede "desarrollar en serie" el paréntesis (a Newton le encantaban estas series). Hagan por ejemplo \((1+0.01)^{1/2}=\sqrt{1.01}=1.00498\dots \approx 1+1/2\times 0.01+\dots\) (términos pequeños que podemos ignorar). Cuánto más pequeño sea lo que aparece sumado al 1, más exacta es la aproximación (prueben con 0.001, etc.). Obtenemos:

\[ r+\frac{1}{2}a\, \delta t^2 \approx r \left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2\delta t^2}{r^2}\right),\]

de donde se despeja fácilmente que \(a=v^2/r\). 

Lunasticio

La Luna da una vuelta a la Tierra más o menos cada cuatro semanas, recorriendo el cielo entero. Emula aproximadamente en un mes lo que hace el Sol en un año. En su ciclo anual, el Sol alcanza una posición máxima hacia el norte y una hacia el sur, llamadas solsticios. La Luna hace lo mismo, pero mucho más rápido, y pasa por un lunasticio más o menos cada dos semanas:

Como la órbita de la Luna está inclinada unos 5 grados con respecto a la órbita de la Tierra, en realidad la Luna recorre una franja un poco distinta que la que recorre el Sol. La órbita terrestre está inclinada 23.5° con respecto al ecuador, y la órbita de la Luna está inclinada unos 5° con respecto a la terrestre. Así que la Luna puede alcanzar una declinación (el equivalente celeste de la latitud) de 23.5° + 5° = 28.5°, como se ve en el gráfico. 

La cosa es más complicada, ya que por acción de la gravedad del Sol, la órbita de la Luna no se mantiene constante. La intersección de los dos planos, el de la órbita de la Tierra y el de la órbita de la Luna se llama línea de nodos, y da una vuelta cada 18.6 años. Así que a veces los 5° se suman a los 23.5°, como en el esquema de arriba, y a veces se restan:

En el primer caso se dice lunasticio mayor, y en el segundo lunasticio menor. La diferencia es grande. Si comparamos el gráfico de los primeros meses de 2025 con los del 2034 (dentro de medio ciclo de precesión de la órbita lunar), se ve algo así:

Cuando la luna llena coincide con el lunasticio, entonces su recorrido en el cielo es particularmente notable. Y cuando coincide además con el solsticio, como la luna llena ocupa en el cielo la posición opuesta al Sol, es más notable todavía. Algo así ocurrió con la luna llena del 15 de diciembre pasado, muy cercana al solsticio: salió y se puso muy al norte y tuvo un recorrido muy bajito en el cielo (vista desde el hemisferio sur; muy alto vista desde el norte). Estuve ocupado y no pude contarlo antes, pero el ciclo de precesión lunar es muy lento, así que veremos casi lo mismo esta semana, con la luna llena del 13 de enero. Vista desde Bariloche, la Luna saldrá casi desde el noreste y alcanzará apenas 23 grados de elevación, en hermosa conjunción con el planeta Marte. En comparación, la luna llena del 12 de junio (coincidente con nuestro solsticio de invierno) saldrá casi por el sudeste y habrá que levantar la mirada hasta los 77 grados de elevación para verla.

El siguiente gráfico abarca un ciclo completo, desde principio de 2024 hasta fin de 2044. Se ve que actualmente estamos en una época de lunasticios mayores, que no volveremos a ver en casi dos décadas.

Los lunasticios mayores son muy notables, porque el recorrido de la luna pasa de ser muy alto a ser muy bajo, con una diferencia de 57 grados, en el transcurso de apenas dos semanas. Durante los lunasticios menores, en cambio, la diferencia es de apenas 36 grados. Todo el fenómeno es tan notable que el conocimiento de este ciclo de la Luna es extremadamente antiguo, lo tenemos desde la Prehistoria. Por ejemplo, el monumento de Stonehenge tiene en cuenta los lunasticios mayores, y por supuesto lo conocían los babilonios y los griegos, que lo calcularon con precisión. Es algo que, aunque está en nuestra civilización desde hace, no sé, 10 mil años, se ha perdido por completo fuera de los círculos especializados.

 

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La declinación lunar la calculé con el sistema de efemérides del JPL, Horizons. 

Desde Norteamérica, el 13 de enero la Luna ocultará al planeta Marte. Desde otros lugares, veremos una conjunción notable.

Planetas troyanos

A propósito del problema de tres cuerpos, que mencionamos hace poco, hubo recientemente un anuncio que me llamó la atención. Como ya comenté más de una vez, Lagrange fue el primero en encontrar una solución a un problema de tres cuerpos en una situación restringida (bueno, tal vez primero lo encontró Euler, no sé). La solución de Lagrange tiene dos restricciones: por un lado, se requiere que las tres órbitas estén en un mismo plano. Esta es una suposición habitual, nada que objetar. La segunda restricción es que uno de los objetos tenga masa casi nula, comparada con la de los otros dos. Es la situación del Sol, un planeta y un asteroide, por ejemplo. En esas condiciones, Lagrange descubrió que existen cinco soluciones al problema, que hoy llamamos puntos de Lagrange 1 a 5. Tres de ellas son inestables (L1, L2 y L3; L1 es donde está Dscovr, L2 es donde están el Webb, Gaia, etc.). Los puntos L4 y L5, en cambio, son estables, y existen órbitas estables en ellos o en su proximidad ("librando" a su alrededor, se dice). En el sistema Sol-Júpiter, es donde orbitan los asteroides troyanos, que ya hemos comentado. Los puntos L4 y L5 forman con el Sol y el planeta sendos triángulos equiláteros. 

Lagrange encontró que, en su problema restringido, L4 y L5 son estables si la masa del planeta es menor que el 3.85% de la masa total del sistema. Esa condición se satisface en el sistema solar para el Sol con Júpiter, y por lo tanto para todos los planetas. Hoy en día se conocen asteroides troyanos de casi todos, incluso de la Tierra. 

Pero, ¿qué pasa si el tercer cuerpo no tiene masa nula? ¿Qué pasa si en lugar de un asteroide es una luna, o incluso otro planeta? Hace 20 años Laughlin y Chambers demostraron que incluso dos planetas iguales pueden orbitar juntos el Sol, cada uno como troyano del otro, los dos girando alrededor de la estrella a la misma velocidad (resonancia 1:1, se llama). La condición de estabilidad es que la masa combinada de los dos planetas no supere el 3.81% de la masa total (¡que es casi la misma condición que en el caso de Lagrange! ¿casualidad?). Las órbitas se ven así, dibujadas en un sistema que gira a la velocidad orbital (media) de los planetas.

Cada planeta se mueve en una de esas medialunas onduladas (se ven varias líneas porque hay varias órbitas dibujadas). No vayan a creer que van y vienen, insisto: esto está dibujado en un sistema de coordenadas que rota a la velocidad orbital. Las medialunas representan que los planetas se mueven a veces un poquito más rápido y a veces un poquito más lento, y se van acercando y alejando. Se llama "osculación". Muchas palabras técnicas en esta nota.

La cuestión es que el resultado me sorprendió, pero en el fondo yo ya sabía que esto era posible. A veces pasa que uno no sabe lo que sabe. Hasta lo había contado acá: dos lunas de Saturno, Jano y Epimeteo, hacen una danza de este tipo. Jano es apenas tres veces más pesado que Epimeteo, y ambos tienen masas despreciables con respecto a Saturno. Es un poco distinto, pero según Laughlin y Chambers no habría problema en que fueran más pesados.

El resultado me sorprendió, como dije, pero lo que me interesó para contar acá no es ese paper de hace 20 años, sino uno más reciente, que muestra un sistema planetario en formación (PDS 70, en Centauro) en el cual hay al menos dos planetas confirmados. Nuevas imágenes del radiotelescopio ALMA muestran que, en el punto L5 del planeta PDS 70b, parece haber otro planeta, o al menos una gran cantidad de material formando un nuevo planeta:

En la foto están marcados la órbita del planeta (es casi circular, pero la vemos inclinada con respecto a nuestra línea visual), el planeta (círculo continuo) y la masa en su L5 (círculo punteado). Juzgando por el brillo, la masa sería de hasta dos Lunas (nuestra Luna), pero podría haber un planeta más grandecito dentro de esa nube de escombros. El resto del anillo es materia que está en órbita de la estrella sin haber formado todavía planetas: es un disco circumestelar, que eventualmente desaparecerá en algunos millones de años, cuando terminen de formarse los planetas. Cerquita del borde interno del disco, en la posición de las 3 horas, se ve el otro planeta confirmado, PDS 70c.

Es una preciosidad, y es curioso reflexionar que algo así se da de bruces contra la definición de planeta adoptada por la IAU. Claramente PDS 70b no ha "limpiado su órbita". Qué, ¿entonces no lo vamos a llamar "planeta?" Pff. Esto demuestra la vacuidad, por no decir estupidez, de la famosa definición. ¿Le vamos a decir de la manera que me niego a repetir, pero que empieza con "planeta" y termina con "enano". 

El descubrimiento parece sólido, pero incluso si no llegara a confirmarse (ha habido "exotroyanos" ya desenmascarados), la galaxia es inmensa, y nada impide que existan estos planetas troyanos. En algún lugar debe haber alguno. Me encanta.

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El paper de los planetas troyanos es Laughlin & Chambers, Extrasolar trojans: The viability and detectability of planets in the 1:1 resonance, The Astronomical Journal 124:592–600 (2002).

El paper del presunto exotroyano es de unos españoles:  Balsalobre-Ruza et al., Tentative co-orbital submillimeter emission within the Lagrangian region L5 of the protoplanet PDS 70 b, Astronomy & Astrophysics (2023) (preprint).

La imagen del sistema protoplanetario PDS 70 es de ALMA (ESO/NAOJ/NRAO) /Balsalobre-Ruza et al.

El problema de tres cuerpos

El mismísimo Isaac Newton (acá nomás, a menos de una milla de donde escribo estas líneas), fue el primero en investigar el movimiento de tres cuerpos que se atraen mutuamente por acción de la gravedad. A pesar de que el mismo problema, pero con dos cuerpos, le había resultado manejable y completamente resoluble (además de conseguirle fama y fortuna), el de tres cuerpos resultó notoriamente difícil. Durante siglos los más grandes matemáticos y físicos de cada época lo estudiaron, encontrando en su análisis tanto una fuente de inspiración como un rompedero de cabeza. Euler, Lagrange, Poincaré y Hilbert están entre ellos. Notablemente, Poincaré descubrió que el problema, en un sentido amplio, no tenía solución, lo cual desembocó en toda una rama de la física-matemática, la Teoría del Caos. Ya hemos contado en el blog la historia accidentada del trabajo de Poincaré.

En breve el Problema de Tres Cuerpos llegará a la cultura popular, gracias a una serie de Netflix basada en una exitosa novela de Liu Cixin. Ya veremos qué tal les sale. La novela cuenta la historia de la comunicación con los habitantes del planeta Trisolaris, que orbita tres soles a la vez. El complicado baile orbital de los tres soles hace que la vida en Trisolaris sea muy difícil, ya que la naturaleza caótica de la órbita hace que a veces se calcinen y otras se congelen, de manera impredecible. Una facción de científicos terrestres pretende ayudar a los trisolarianos a encontrar una solución del problema de los tres cuerpos, para que puedan vivir mejor. 

Curiosamente, aunque el movimiento general de un sistema de tres cuerpos en interacción gravitatoria es caótico, existen soluciones periódicas. Yo conocía sólo las de Lagrange y las herradura (o tadpole), y me sorprendió leer sobre las demás. Durante 300 años se conocieron tres familias de soluciones: las eulerianas (conocidas ya por Euler y Lagrange en el siglo XVIII), las BHH (descubiertas recién en 1975), y las que tienen forma de ocho (descubiertas por Moore en 1993). Algunas se ven aquí (una figura en ocho se ve en la segunda fila, a la derecha):

Y de golpe, en 2013, se descubrieron once familias más, por métodos computacionales. Pero eso no fue todo. En 2017, Li y Liao descubrieron ¡695 familias!, incluyendo las de forma de ocho y las 11 del 2013, más 600 que nunca nadie había visto. He aquí algunos ejemplos:

En estos gráficos, cada color muestra la trayectoria de uno de los cuerpos (todos de la misma masa). La de arriba a la izquierda parece "sencilla". Y las otras parecen caóticas, pero no: son periódicas; esas trayectorias complicadas se cierran sobre sí mismas y se repiten, como la órbita de la Tierra alrededor del Sol hace cada año. Qué loco, ¿no?

Más de 200 de estas nuevas órbitas periódicas pueden revisarse en este sitio. Allí algunas están animadas, así:

Trabajos aún más recientes han encontrado soluciones periódicas a sistemas en los cuales sólo dos de los cuerpos tienen la misma masa, e incluso cientos de órbitas en sistemas con las tres masas distintas. Tipo Sol, Júpiter y Marte. Menos mal que la órbita de Marte no es así, si no, ¡pobre Kepler! Sorprendentemente, todas estas órbitas descubiertas computacionalmente satisfacen una Tercera Ley de Kepler generalizada, lo cual sugiere que debe existir alguna estructura elegante subyacente a todas ellas, todavía por ser descubierta. 

¡Último momento! Acabo de leer en New Scientist que se han descubierto de golpe 12000 nuevas soluciones. No sé más, porque no tengo acceso al artículo completo. Si surge algo interesante, ya lo contaré. 

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Leí sobre esto en el paper On the periodic solutions of the three-body problem, de Shijun Liao and Xiaoming Li (nunca sé cuál es el nombre y cuál el apellido de los chinos, así que los dejo enteros), National Science Review 6:1070–1071 (2019). 

El video no recuerdo de dónde lo saqué. Tal vez Twitter, y le perdí el rastro.

¡Feliz(zces) Año(s) Nuevo(s)!

El 4 de enero, a las 13:17 hora argentina, comenzó un nuevo año. Un nuevo año anomalístico. ¡Feliz año anomalístico nuevo!

El año anomalístico es mi favorito de todos los años de la Tierra, sobre todo porque me encanta el nombre. Se llama así porque, en mecánica orbital, se llama anomalía (andá a saber por qué) al ángulo entre el objeto en órbita y su periapsis. En este caso el perihelio, que es el punto de máximo acercamiento al Sol en la órbita elíptica de la Tierra (en la figura el óvalo está muy exagerado para que se note mejor). Esto también me gusta: que empieza en un punto particular de la órbita, cosa que no ocurre el 1 de enero. El año anomalístico, entonces, es el tiempo que transcurre de un perihelio al siguiente. Dura 365.259636 días, 5 cienmilésimos más que el año calendario promedio.

El año que festejamos el fin de semana pasado, en cambio, es el de los almanaques: el año civil o año calendario, de 365 o 366 días. Es el único que dura una cantidad entera de días, porque a la órbita de la Tierra no le importa cuánto dura un día, y es el que rige los aniversarios de todo tipo. En nuestro calendario actual, el gregoriano, la duración promedio del año civil a lo largo de los siglos se puede calcular fácilmente teniendo en cuenta los bisiestos cada 4 años, excepto los años múltiplos de 100 (1900 no fue bisiesto), salvo cuando son también múltiplos de 400 (2000 sí fue bisiesto): 365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 = 365.2425 días.

El calendario gregoriano pretende aproximar el año trópico, medido de equinoccio de marzo a equinoccio de marzo, que dura 365.24219 días. La diferencia es de menos de una parte por millón, lo cual habla muy bien de Clavius y los astrónomos del siglo XVI que diseñaron la reforma del calendario juliano, que era  de 365.25 días. Cuando terminan los 366 días de un año bisiesto hemos dado un poquito más de una vuelta alrededor del Sol.

El año sideral, en cambio, es el tiempo que tarda la Tierra en completar una órbita, medido con respecto a un sistema de referencia fijo, tal como las estrellas lejanas. Actualmente dura 365.256363004 días. Bueno, eso duró en el año 2000, que se usa como referencia. Es distinto del año trópico debido a la precesión de los equinoccios, un fenómeno que se conoce desde hace miles de años. Y es distinto del año anomalístico debido a la precesión del perihelio. Un lío, sí. ¿Se creían que un año es un año es un año?

Y tenemos también el año dracónico, que se mide entre dos pasos sucesivos del Sol por la línea formada por la intersección de la órbita de la Luna con la de la Tierra. También se lo llama eclíptico, porque sólo en esa línea se producen los eclipses. Y el año lunar, que dura exactamente 12 ciclos lunares (unos 354.37 días), y que es la base de muchos calendarios antiguos y el islámico moderno. Y el año sótico o canicular, medido con respecto a Sirio, usado por los antiguos egipcios. Y el año de Gauss, y el de Bessel...

La ciencia: 26 siglos complicándolo todo.

Los pétalos de Venus

Hace poco descubrí esta curiosidad sobre la órbita de Venus. Me pareció increíble no haberlo visto nunca antes, porque es una preciosura. Resulta que el año de Venus dura 224.8 días (días terrestres). Es un 38% más corto que el nuestro, que dura 365.25 días, porque Venus orbita el Sol más cerca que la Tierra. Curiosamente, 13 años venusinos coinciden (casi) exactamente con 8 años terrestres: 13×224.8 ≃ 8×365.25 = 2922. Es decir, cada 8 años (2922 días), Venus y la Tierra se vuelven a encontrar en la misma posición en sus órbitas. Esto se llama resonancia 13:8. Ya hemos mencionado un fenómeno parecido que involucra a Plutón y Neptuno, una resonancia 3:2, que hace que cada tres vueltas de Neptuno, Plutón complete dos.

La resonancia 13:8 produce un efecto tan sorprendente como invisible. Me apareció en Twitter, en una visualización hecha por un matemático inglés que sigo habitualmente. Había algunas cosas de su video que no me satisfacían, así que hice la mía propia. Aquí está. Son Venus (blanco) y la Tierra (azul), moviéndose alrededor del Sol (amarillo), y dejo dibujado una rayita rosa cada tanto uniendo ambos planetas, para que se vea por dónde estuvieron. Es un gif medio grande, tengan paciencia.

La animación abarca 8 años terrestres y después se reinicia. Para simplificar el dibujo usé órbitas circulares en lugar de elípticas, y una resonancia exacta 13:8 (como dije arriba, en realidad es casi exacta). El dibujo se parece a esas artesanías de hilos tensados sobre clavos que hacíamos en la escuela, y que eran populares en la década de 1970, ¿no? Cuando el ciclo termina, queda dibujada una linda flor de cinco pétalos:

Si se fijan en la animación, hay cinco ocasiones de máximo alejamiento, cuando los planetas se encuentran en posiciones opuestas con el Sol en medio. Se llaman conjunciones superiores, que en la animación van dibujando las cáusticas entre los pétalos centrales, cuyas cúspides forman un pentagrama: una estrella de cinco puntas. 

También podemos ver que hay cinco ocasiones de máximo acercamiento, que se llaman conjunciones inferiores (la animación empieza en una de éstas). Debido a la resonancia 13:8, cada conjunción inferior sucesiva ocurre 144 grados en dirección contraria al movimiento orbital. 144 es el doble de 72, que es 360 dividido 5, así que tras 5 conjunciones inferiores los planetas se encuentran nuevamente en la posición inicial. Por eso el dibujo que resulta tiene la simetría de un pentágono. Si en lugar de dibujar los dos planetas en órbita alrededor del Sol dibujamos la perspectiva geocéntrica, el resultado se llama pentagrama de Venus. Es esta preciosura:

En esta representación hice el grosor de las líneas de este nudo pentagonal representando la proximidad entre Venus y la Tierra (una exclusiva de En el cielo las estrellas, que no vi en ningún otro lado). Los extremos de los cinco rulos interiores son las conjunciones inferiores, donde Venus está más cerca de la Tierra (unos 40 millones de kilómetros), se pone retrógrado durante más o menos un mes, y es casi invisible porque es la fase nueva. 

En general, estas curvas se llaman epicicloides, y son frecuentes en obras antiguas. Por ejemplo, en Astronomía Nova, Kepler nos muestra la de Marte:

Como Marte y la Tierra no están en resonancia, la florcita no se cierra ni por asomo. Justamente el movimiento de Marte fue crucial para Kepler, ya que le permitió descubrir las leyes del movimiento de los planetas, en sus órbitas elípticas (fíjense que la florcita no está centrada en el círculo zodíaco exterior). No me sorprende que estos curiosos objetos geométricos lo hayan hipnotizado al punto de tratar de acomodar todas las órbitas en poliedros regulares, como ya había hecho en el Mysterium Cosmographicum:

O que, en Harmonices Mundi (obra en la que expone su Tercera Ley), haya procurado acomodar los movimientos planetarios en escalas musicales, donde las resonancias juegan un rol ya conocido desde Pitágoras.

Fue Laplace quien descubrió, basado en la mecánica celeste de Newton, la existencia de estos fenómenos de resonancia orbital, que no tiene mayor relación con la música. El universo está lleno de belleza matemática. A veces más escondida, a veces menos.
 

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Los 8 años de la resonancia son responsables de que los tránsitos de Venus delante del Sol se produzcan en pares de dos, separados por 8 años, cada par más de 100 años después del anterior.

El programa para dibujar los dos pentagramas de Venus lo hice en Mathematica. El que lo quiera para jugar, me lo pide y listo.

En teoría musical, dos frecuencias relacionadas por el cociente 3:2 se dice que están separadas por una quinta perfecta, una de las consonancias de la música occidental. El cociente 13:8 no es, que yo sepa, ninguno de los intervalos usuales de la música. El más cercano que encontré es una disonancia llamada tritono, 13:9. Curiosamente, son tritones los que celebran el nacimiento de Venus.

La relación entre la resonancia 13:8 y los 72 grados del pentagrama no me resultaba obvia, así que me convencí con este gráfico que dejo aquí para algún curioso, pero sin mayor explicación. El segundo cruce se produce al año y medio, en la fase 216 =  360 - 144.

Feliz Año Anomalístico Nuevo

El 1 de enero empezó el año 2021 de la Era Común. El año del calendario civil, que usamos desde 1582, es una aproximación de "días enteros" del año trópico. Así que, dentro de lo posible: ¡Feliz 2021, año 2 de la Era del Covid!

El año trópico es el tiempo que tarda la Tierra en recorrer su órbita entre dos equinoccios de marzo, recorriendo un ciclo completo de estaciones. El nuevo año trópico comenzará el 20 de marzo a las 06:37 hora argentina. Así que ¡Feliz Año Trópico Nuevo adelantado!

¿Pero el año no es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol? Ése es el año sideral, para el cual se referencia el movimiento de la Tierra con respecto a las estrellas lejanas. Tras un año sideral el Sol vuelve a estar en la misma posición con respecto a las estrellas. El año sideral es 21 minutos más largo que el año trópico, lo cual llevó a la reforma del calendario que ya hemos contado. Podemos definir su comienzo en cualquier momento de la órbita, así que ¡Feliz Año Sideral Nuevo!

Pero hay un punto especial de la órbita: el perihelio, cuando la Tierra alcanza su mayor aproximación al Sol. El perihelio es hoy, 2 de enero a las 10:51 hora argentina. El tiempo entre un perihelio y el siguiente se llama año anomalístico. Es mi favorito, por el nombre más que nada. Yo por mí haría vitel toné y pan dulce para el año anomalístico. Así que ¡Feliz Año Anomalístico Nuevo!

El año juliano, de exactamente 365 días y un cuarto (el anterior a la reforma gregoriana) se sigue usando en astronomía, pero sólo para cálculos. No hay un comienzo del año juliano: se cuentan días enteros desde el mediodía del 24 de noviembre de 4174 a.C., fecha gregoriana (¡no la medianoche! los astrónomos trabajan de noche, así que es mejor que la fecha cambie a mediodía). Hoy la fecha juliana es 2459216. ¡Felicidades!

Existen, además, años que combinan el movimiento de la Tierra con el de la Luna, como el año dracónico (también lindo nombre), relacionado con los eclipses. El actual va desde el Gran Eclipse Patagónico el 14 de diciembre de 2020 hasta el eclipse antártico del 4 de diciembre de 2021, algo menos de 355 días. Están también el año lunar, el año vago, el año heliacal, el año sotíaco, el año gaussiano, el año besseliano... Ay, la ciencia, 2500 años complicándolo todo.

 

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Las imágenes del Sol que usé en el gif son de NASA/Solar Dynamics Observatory.

Las casilunas de la Tierra

Cuando comenté hace poco acerca de la nueva lunita de la Tierra, un asteroide capturado por nuestro planeta de manera transitoria, una lectora preguntó si se trataba de Cruithne. No, pero está relacionado, así que ha llegado la hora de hablar de Cruithne.

Cruithne es un asteroide cercano a la Tierra, grandecito, cuya órbita es muy peculiar. A pesar de que la forma de su órbita alrededor del Sol es muy distinta de la de la Tierra, tarda también 1 año en recorrerla. Se dice que está en una resonancia 1:1 con la Tierra. Probablemente tampoco sea una situación estacionaria, pero se sospecha que es mucho más estable que la de la lunita transitoria 2020 CD3.

Hice una peliculita mostrando el movimiento de Cruithne desde dos puntos de vista: en el sistema de referencia en el cual la Tierra orbita (similar al gif de aquí al lado), y en el que acompaña a la Tierra en su movimiento alrededor del Sol. Después de Cruithne muestro también otros asteroides con órbitas parecidas:

Como el período orbital de Cruithne es en realidad un poquito menos que 1 año, ese riñón que le vemos recorrer no se cierra, y poco a poco se va moviendo alrededor del Sol. A lo largo de cientos de años llegará a acercarse a la Tierra "por detrás". Habrá un intercambio de energía, Cruithne se frenará un poquito y la Tierra empezará a adelantarse. Así que a lo largo del tiempo el asteroide describirá una especie de herradura, que es el nombre que tienen estas órbitas. Un caso parecido, dos lunas en herraduras mutuas, es el de Jano y Epimetheo, satélites de Saturno, que ya conté una vez.

Alguien habrá notado que estas órbitas en herradura rodean los puntos de Lagrange L₄, L₃ y L₅, que ya hemos comentado en ocasión de los asteroides troyanos. El asteroide 2010 TK7, que muestro en el video a continuación de Cruithne, tiene una órbita parecida pero que sólo rodea el punto L₄. Así son las órbitas de los troyanos, ya que nunca los encontramos exactamente en los puntos L₄ o L₅. Se llaman órbitas  renacuajo (tadpole). 2010 TK7 es el único troyano conocido de la Tierra.

Finalmente, el video muestra tres asteroides en órbitas más raras todavía. Son parecidas a la de Cruithne, pero vistas desde la perspectiva de la Tierra el riñón que describen parece rodearnos, como si fueran satélites de la Tierra. Por supuesto que no lo son; son asteroides en órbitas muy excéntricas, que los llevan desde afuera a adentro de la órbita de la Tierra. También están en resonancia 1:1, y parecen dar vueltas a nuestro alrededor (un movimiento llamado libración). Estos asteroides se llaman cuasisatélites.

Curiosamente, la existencia de todas estas órbitas se había demostrado teóricamente mucho antes de que, a fines del siglo pasado, empezaran a descubrirse munditos que efectivamente las recorren. Conocemos un puñado, pero seguramente hay muchos más. Todos ellos pasan cerca de la Tierra, son muy fáciles de acceder (incluso más fácil que la Luna), y son buenos candidatos a ser visitados, o incluso colonizados, en algún futuro post-coronavirus.

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El gif de Cruithne es de Wikipedia, usuario Jecowa (CC BY-SA), así como la figura de las órbitas en herradura, que es del usuario Jrknti (CC BY-SA), y la de la herradura que muestra los puntos de Lagrange (Public Domain). El video lo hice con Celestia.

Después de que Lagrange descubriera los co-orbitales en L₄ y L₅, y Poincaré el caos en el problema de 3 cuerpos, las órbitas herradura fueron descriptas por Ernest Brown en 1911, en un larguísimo paper del Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. En el mismo volumen Willem de Sitter publica un trabajo pionero (más largo aun) aplicando la Teoría de la Relatividad al problema gravitatorio (calcula incluso una precesión anómala, y muchas cosas más), y usa la palabra "general" para referirse al sistema de referencia no inercial, que tal vez haya inspirado a Einstein para designar su teoría, para la cual faltaban años. Es interesante ver que Einstein no era el único tratando de reconciliar la relatividad especial con la gravedad. A propósito, ¡el paper de de Sitter también empieza citando el problema de tres cuerpos de Poincaré!

La distancia al Sol

¿A qué distancia está el Sol? ¿A qué distancia están los planetas? ¿Y las estrellas? ¿Cuánto mide el universo? Los astrónomos se lo preguntaron desde la Antigüedad. Aristarco de Samos incluso midió la distancia a la Luna y al Sol, hace 2500 años, con instrumentos muy precarios y resultados más o menos. Después de la Revolución Copernicana la cuestión se hizo apremiante, porque la distancia al Sol se convirtió en el ingrediente crucial para calcular el tamaño del sistema solar. La Tercera Ley de Kepler del movimiento planetario permitió calcular la relación entre las órbitas de los planetas comparando sus períodos, que se podían medir directamente. Por ejemplo, el año de Marte dura 687 días, 1.9 veces más que el año terrestre. Kepler dice entonces que la distancia de Marte al Sol es 1.9^2/3 = 1.5 veces la de la Tierra. Genial, pero ¿a qué distancia está la Tierra del Sol?

En el siglo XVII Edmond Halley, de cometaria fama, se dio cuenta de que se podrían utilizar los tránsitos de Mercurio y de Venus, esos minieclipses que podemos ver cuando los planetas interiores pasan delante del Sol. Con la fuerza de su prestigio promovió campañas internacionales, especialmente durante los raros tránsitos de Venus, para combinar observaciones desde todos los rincones del mundo y medir, de una vez por todas, la famosa unidad astronómica, la distancia de la Tierra al Sol. Hubo tránsitos de Venus en 1761 y 1769, cuya observación arrojó un resultado de 153 millones de kilómetros (400 veces más que lo que le había dado a Aristarco). Más de un siglo después, los tránsitos de 1874 y 1882 permitieron refinar ese valor a 149.59 millones de kilómetros.

Hoy en día conocemos la distancia al Sol con precisión de algunos metros, y la verdad que no necesitamos seguir midiendo. Pero los tránsitos de Mercurio, mucho más frecuentes que los de Venus, son una oportunidad para medir el tamaño del sistema solar de manera directa y al alcance de los aficionados de hoy en día. Así que durante el tránsito de noviembre de 2019 me uní a un proyecto coordinado por el Prof. Udo Backhaus desde Essen, Alemania, para hacerlo. La idea del método es tratar de medir este ángulo:

El ángulo β_S está relacionado con la distancia d_S mediante una sencilla fórmula trigonométrica. Por supuesto, uno no puede medir directamente β_S porque uno no está en el Sol, está en la Tierra. Ahí es donde aparece el tránsito: en lugar de medir la paralaje del Sol, uno mide la paralaje de Mercurio:

Claro que uno tampoco mide directamente el ángulo β_M, porque uno no está en Mercurio. Pero observando simultáneamente Mercurio contra el Sol desde dos sitios en la Tierra, conocidas sus latitudes y longitudes, todo puede calcularse con trigonometría. Así que el 11 de noviembre me dispuse a fotografiar el tránsito a intervalos regulares, con la cámara montada al telescopio:

Estos eventos diurnos siempre producen un poco de ansiedad. ¿Me habré equivocado, habrá sido ayer? Pero no, el tránsito empezó con precisión astronómica:

Estos tránsitos duran horas, parece que no terminan más. Hubo algunas nubes en la segunda mitad, pero logré juntar unas cuantas imágenes útiles. Lo más difícil para comparar las imágenes tomadas por dos telescopios aficionados, montados de manera portátil en muchos casos, y con cámaras acopladas de manera impredecible, era saber cómo están orientadas estas fotos. A falta de manchas solares, a Udo se le ocurrió hacer dos fotos en cada toma, apagando el motor de seguimiento del cielo entre una y otra. La eclíptica, y por lo tanto la orientación absoluta de las imágenes, queda determinada por la deriva del Sol. Así:

Udo nos pidió que hiciéramos esto, que midiéramos las posiciones de Mercurio en las fotos, y que le mandáramos los resultados. En el mejor estilo de las campañas de los siglos XVIII y XIX, él se encargó de procesar los datos de todos y combinarlos para calcular la paralaje solar. Por ejemplo, la paralaje entre Gifhorn, Alemania, y Bariloche, puede apreciarse en esta imagen combinada de las 13:00 UT. Conocido el tamaño del disco solar (medio grado, 1938" ese día), cada una de estas combinaciones permite medir directamente la paralaje de Mercurio para nuestras ciudades, y calcular un valor de la paralaje solar. En este caso resulta ser de 12.9", un poquito grande con respecto al valor correcto de 8.79", pero nada mal ya que, como se ve, Mercurio es muy chiquito y difícil de enfocar y medir.

Udo usó, además de nuestras observaciones, las que tomó el Solar Dynamics Observatory en órbita de la Tierra, que son de mucha mejor calidad. La combinación de sus imágenes con las mías, por ejemplo, es esta secuencia:

Una serie de observaciones así permite fitear los valores de la posición de Mercurio, obteniendo un mejor resultado que con pares de observaciones individuales. En este caso la paralaje solar da 9.0" ± 0.4". ¡Vamos Bariloche!

Combinando todos los resultados de todos los participantes, Udo finalmente calculó una paralaje solar de 9.1". Con respecto al valor exacto de 8.79" nuestra medición resultó errada en apenas un 2.3%. Esta paralaje corresponde a una distancia al Sol de 145 millones de kilómetros.

Termino esta nota con las palabras finales de Udo:

Por supuesto, ya lo sabíamos antes del proyecto. Pero ahora no sólo tenemos la distancia, sino un método para determinarla nosotros mismos. Y conocemos las dificultades de obtener un resultado satisfactorio, incluso con equipos y comunicaciones modernos. Edmond Halley tuvo esta idea durante el tránsito de Mercurio de 1677. Para sucesivas generaciones de astrónomos resultó extremadamente difícil llegar a un resultado (e incluso a un acuerdo). Ahora podemos entender por qué la recopilación y evaluación de estos resultados necesitaba décadas. Nos paramos sobre las espaldas de gigantes. 

Uno de los participantes, Aldo Kleiman, de Rosario, respondió: Hay belleza en una vista del cielo, en el estudio científico de una fórmula matemática, y sin duda en el Transit of Mercury Internet Project. 

¡Gracias Udo, y gracias a todos los participantes!

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Para los quisquillosos: la distancia de la Tierra al Sol no es un número fijo, porque la órbita no es redonda. Pero la unidad astronómica sí, ya que desde 2012 se la define exactamente como 149597870700 metros. Por otro lado, las distancias que entran en la Tercera Ley de Kepler son la mitad del eje mayor de las elipses que siguen los planetas en sus órbitas medias. Finalmente, la paralaje solar se define como paralaje horizontal media, que es el ángulo β_S de la figura, cuando los sitios 1 y 2 están separados un radio ecuatorial medio terrestre y la Tierra está a su distancia media al Sol.

Las ilustraciones de la paralaje son de Udo Backhaus y están tomadas del sitio del proyecto.

La foto del tránsito de Mercurio desde Gifhorn es de B. Brandt, quien dijo: "Fue una experiencia increíble, una tensión de locos, pero al final más momentos de felicidad que de estrés." (¿Será el futbolista noruego? Tengo que averiguar.) (P.D.: Björn se comunicó conmigo, y resulta que no, no es el futbolista noruego que sospechaba.)

Visitante interestelar

Hace menos de dos años, por primera vez, se descubrió un objeto que venía de la profundidad del espacio interestelar. Delatado por su órbita hiperbólica, se encuentra todavía cruzando nuestro sistema solar a gran velocidad. Bautizado 'Oumauma, es todavía un objeto misterioso que comentamos aquí. Nos preguntamos si era taaaaan raro: el universo debe estar lleno de estos escombros que han salido eyectados de sus sistemas de origen, pero ¿cuál sería la probabilidad de que apuntaran justo hacia nosotros, justo ahora? También lo comentamos, y curiosamente los cálculos indicaban que debería haber objetos interestelares todo el tiempo atravesando el sistema solar, e incluso muchos capturados en órbita solar. 

Así que, bueno, era inevitable que ocurriera de nuevo. Tenemos otro objeto que viene de las estrellas: C/2019 Q4 (Borisov). Está por ahora clasificado como cometa, tal como pasó con 'Oumauma. Pero, a diferencia de éste, Borisov sí tiene una coma y una cola, que se ven en esta foto. Así que es realmente un cometa interestelar. Se encuentra actualmente a unas 3 unidades astronómicas del Sol, viniendo del norte del sistema solar, y todavía se está acercando. En diciembre tendrá su máxima aproximación, tanto al Sol como a la Tierra, a unas 2 unidades astronómicas de ambos. No será un objeto brillante, pero no hay duda de que será cuidadosamente escudriñado por muchísimos telescopios terrestres y espaciales. Esta imagen que hice en Celestia muestra su órbita (roja) y su posición actual, además de la órbita de 'Oumauma en amarillo:

Es interesante que, en esta época de telescopios robot que barren el cielo incansablemente y sin pestañear, C/2019 Q4 fue descubierto por un astrónomo aficionado, Gennady Borisov, usando un telescopio construído por él mismo. Debe ser uno de los astrónomos más felices del mundo en este momento. Los que sepan ruso pueden ver una entrevista aquí: https://youtu.be/gPf0N.

El cometa, como dijimos, se acercó al sistema solar viniendo del norte (de Cassiopea), así que cruzará el plano de la eclíptica alejándose hacia el sur. Para fin de año, cuando se encuentre en su punto de máximo acercamiento a la Tierra y, presuntamente, de máximo desarrollo de su cola cometaria por la proximidad al Sol, lo tendremos en el hemisferio sur:

Desde la Tierra lo veremos en la constelación austral de la Hidra, no lejos de Corvus, Crater y el Centauro:

A medida que pasen los días tendremos una órbita mejor definida. Al día de hoy, la excentricidad de la órbita es aproximadamente 3. ¡Enorme! Recordemos que las órbitas elípticas, cerradas, de los planetas, tienen excentricidad menor que 1, y que las órbitas parabólicas de los cometas tienen excentricidad 1. Cualquier órbita con excentricidad mayor que 1 es hiperbólica y no está ligada al Sol. Unos pocos cometas tienen excentricidad apeeeeenas mayor que 1, y el otro interestelar, 'Oumauma, tiene una excentricidad (grande) de 1.2. La velocidad de Borisov con respecto al Sol, cuando se encontraba en el espacio interestelar, era de más de 30 km/s, comparable a la de los planetas interiores del sistema solar. Es extremadamente improbable que un objeto de nuestra propia nube de cometas, reptando a algunos metros por segundo en sus lejanísimas órbitas, haya cambiado tanto su velocidad para lanzarse hacia el sistema solar interior. Borisov viene, con casi absoluta certeza, de más allá. (En la nota sobre 'Oumanuma hay más detalles acerca de las órbitas hiperbólicas.)

Sabremos mucho más de este raro objeto en los próximos meses. Seguramente volverá a aparecer por aquí.

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La foto del cometa de Borisov es del Canada-France-Hawaii Telescope. La foto de Borisov es de G Borisov. Las órbitas están hechas por mí, en Celestia, usando efemérides del JPL (Horizons).

El cometa de Borisov todavía está clasificado como cometa. Seguramente recibirá una designación de interestelar, 2I, como lo marqué en Celestia. El que quiera los archivos para Celestia, me los pide amablemente y listo.

La sombra de la Tierra

¿Recuerdan el eclipse de Luna que vimos en enero?

Durante los eclipses de Luna podemos ver la sombra de la Tierra sobre nuestro satélite. La parte oscurecida tiene un borde circular, con un radio bastante más grande que la propia Luna. Hace 2500 años los astrónomos griegos observaron este fenómeno y concluyeron acertadamente que se debe a que la Tierra es redonda, unas 3 o 4 veces más grande que la Luna. Tomá mate y avivate.
  
Al día siguiente del eclipse vimos salir nuevamente la luna llena (se ve también "llena" uno o dos días antes y después del plenilunio). Y nos preguntamos dónde estaría la sombra de la Tierra, que la Luna nos había revelado la noche anterior. Claro, aunque no la veamos, la sombra siempre está. Un programa como Cartes du Ciel permite mostrar la sombra de la Tierra en el cielo (a la distancia de la Luna) aunque no haya eclipse. Preparé dos mapas: uno durante el eclipse, y uno de la noche siguiente:

Vemos que la Luna se movió bastante hacia el Este (hacia la derecha), mientras que la sombra de la Tierra ¡está casi en el mismo lugar! Claro: la Luna tiene que dar una vuelta completa en un mes, mientras que la Tierra, arrastrando su sombra como cualquier hijo del vecino, se mueve mucho más lentamente para completar una vuelta alrededor del Sol en un año.

En un acercamiento podemos ver qué grande es la sombra. La parte interior es la umbra, que corresponde a la parte oscura de la Luna eclipsada. El anillo que la rodea es la penumbra, también visible durante el eclipse, pero menos notable. Esta estructura de umbra y penumbra se debe a que el Sol no es un punto luminoso sino que tiene un tamaño. Es 400 veces más grande que la Luna, pero como se encuentra 400 veces más lejos de nosotros vemos a los dos casi del mismo tamaño en el cielo, lo cual permite los eclipses totales como el que disfrutaremos el 2 de julio desde las regiones centrales de Argentina y Chile.

En un diagrama que muestra "de costado" la iluminación de un planeta podemos entenderlo mejor:

El dibujo no está a escala, por supuesto, pero el fenómeno representado es correcto. La parte gris oscuro es la umbra. Cuando la Luna (o lo que sea) se mete dentro, tenemos un eclipse (parcial o total). La parte gris claro es la penumbra. Puse dos planetas para mostrar que el tamaño de la umbra (llamada a veces el "cono de sombra") de un planeta depende tanto de su tamaño como de su distancia al Sol. Obviamente el de la Tierra se extiende al menos hasta la órbita de la Luna, lo cual permite los eclipses. Pero ¿hasta dónde llega? ¿Y cómo se compara con los de los otros planetas? ¿Cuál será el más grande del sistema solar? No tuve más remedio que calcularlo, porque podría ser finito y largo o gordito y corto, para la variedad de planetas que tenemos. Aquí está el resultado:

Planeta	Umbra (u.a.)	Órbita (u.a.)
Mercurio	0.0014	0.395
Venus	0.0064	0.72
Tierra	0.0092	1.00
Marte	0.0075	1.5
Júpiter	0.58	5.2
Saturno	0.87	9.6
Urano	0.73	19
Neptuno	1.1	30

Las distancias en esta tabla están expresadas en unidades astronómicas (la distancia de la Tierra al Sol). Vemos que la umbra de la Tierra se extiende por casi un centésimo de u.a., casi 1 millón 300 mil kilómetros. Por otro lado, vemos que la de Mercurio es cortita: son apenas 21 mil kilómetros. Lógico: Mercurio es súper chiquito y está muy cerca del Sol; ambos efectos contribuyen a una umbra corta. Pero hay algunas sorpresas. La umbra más larga no es la del gigante Júpiter. Si bien se extiende más de media unidad astronómica en el espacio, la de Saturno (que es más chico pero está más lejos) le gana. De hecho, los tres planetas que se encuentran más allá de Júpiter tienen umbras más largas. La mayor de todas es la de Neptuno, el más pequeño de los cuatro pero el más lejano, ¡con un cono de sombra que mide más de 150 millones de kilómetros! Por otro lado, vemos que ninguna de las umbras alcanza la órbita del planeta siguiente, así que no hay eclipses totales entre planetas. Pero en algún sistema planetario podrían existir, ¡qué magnífico!

Finalmente, en mi diagrama de sombras hay un sector de un gris mediano. Se llama antiumbra, y se extiende desde el vértice de la umbra hasta el infinito. Es la región donde ocurren, por ejemplo, los eclipses anulares de Sol, y los tránsitos planetarios, que son como eclipses anulares de Sol entre planetas. Otro día contaré algo más sobre la antiumbra. Basta por hoy.

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Imágenes, diagramas y cálculos, todos míos, qué embromar. Pero los pueden usar.

No dejen de visitar el sitio sobre el Gran Eclipse Argentino aquí, para saber de las actividades que habrá en San Juan y animarse a ir.