06/08/2022

El fin de la Edad Oscura

No nos ocuparemos del período histórico que va desde la caída de Roma hasta el Renacimiento. La Edad Oscura del título se refiere a una verdadera era de oscuridad cósmica. Tras el Big Bang caliente el universo entero fue, durante 380 mil años, un plasma ígneo, una substancia eléctrica en la cual protones y electrones andaban sueltos, sin formar átomos. En ese contexto la abundante luz que llenaba el universo no podía propagarse: el universo era opaco. Finalmente, tras 380 mil años de expansión, la temperatura fue lo suficientemente baja como para que cada electrón quedara ligado a un protón, formando átomos de hidrógeno. Este evento cósmico se llama recombinación, y a partir de allí la luz pudo viajar libremente. Esos mismos fotones siguen entre nosotros, y aunque eran en su mayor parte luz visible en aquel entonces, la irrefrenable dilatación del universo los estiró hasta convertirlos en las microondas que hoy observamos como fondo cósmico

Al terminar la recombinación del hidrógeno, el universo quedó lleno de, bueno, hidrógeno. Enfriándose. El universo quedó en total oscuridad. La noche más oscura duró cientos de millones de años. En algún momento, sin embargo, debió prenderse la primera estrella. Y después la segunda, y la tercera. Se formaron en grandes masas de hidrógeno que se fueron condensando a partir del hidrógeno neutro que llenaba el espacio. De a poco la radiación de estas estrellas, y la de los primeros quasars (se dice "cuéisar") que se encendieron en el centro de las galaxias, volvió a ionizar el hidrógeno neutro que llenaba el espacio. Este evento se llama reionización, y duró más o menos desde los 400 millones hasta los 1000 millones de años del universo temprano.

Todos estos eventos, que son cruciales para entender la evolución temprana del universo, e incluso para restringir las propiedades de la elusiva materia oscura, de la que tan poco sabemos, son en gran parte un misterio. El telescopio espacial Hubble nos ha mostrado pocos ejemplares de esa región, de los primeros cientos de millones de años del universo. La razón, como ya hemos comentado, es que la expansión del espacio dilató enormemente las luces que surgieron de aquellas estrellas, volviéndolas practicamente invisibles. Por esta razón el telescopio Webb se diseñó para ver la radiación infrarroja.  

Las primeras estrellas, las primeras galaxias. ¿Cómo eran? ¿De qué estaban hechas? ¿Ya tenían agujeros negros centrales? ¿Cómo se fueron organizando en el espacio, hasta formar la espuma filamentososas que vemos en el universo más reciente? ¿Cómo fueron creciendo, hasta convertirse en galaxias maduras con las morfologías que conocemos? ¿Tenían discos? ¿Tenían brazos espirales? ¿Había galaxias elípticas? Las primeras generaciones de estrellas, ¿cómo fueron enriqueciendo la química de las galaxias, produciendo finalmente las substancias que hace 7000 millones de años más tarde formarían nuestro planeta y la vida misma? El Webb revelará miles de estas galaxias, y en pocos años van a revolucionar lo que sabemos sobre la evolución del universo. 

 


La imagen de la evolución del universo es de Wikipedia, adaptada por mí. 

La imagen del detalle de la Edad Oscura es de Miralda-Escudé, The Dark Age of the Universe, Science 300:1904 (2003), también adaptada por mí.

Las cuatro galaxias de la Era de la Reionización son de Trussler et al., Seeing sharper and deeper: JWST’s first glimpse of the photometric and spectroscopic properties of galaxies in the epoch of reionisation (arXiv:2207.14265v1).

30/07/2022

Rojo profundo

“There is certainly a red for everyone.”
Christian Dior

La semana pasada, cuando comenté las primeras imágenes difundidas por el Telescopio Espacial Webb, dije al final que la ciencia del Webb apenas estaba empezando. ¡No me imaginé que sería tan rápido! Al día siguiente un tweet me alertó de una publicación sobre dos notables galaxias aun más lejanas que la que ya comentamos, esa galaxia a 13100 millones de años de lookback time (no sé cómo decirlo en castellano, tal vez "antes del presente"). Una de las nuevas galaxias lejanas es ésta:

Esa manchita roja es la galaxia GLASS-z13, y los autores argumentan que es candidata a ser de hace 13400 millones de años, apenas 330 millones de años después del Big Bang, cuando el universo era muy distinto, tenía sólo el 2% de su edad actual, el 7% del tamaño y la radiación cósmica de microondas estaba más de 10 veces más caliente que ahora. La distancia actual de esta galaxia sería 33500 millones de años luz. Reguau.

¿Por qué "candidata"? Porque, a diferencia de la galaxia lejana que comentamos la semana pasada, no hay todavía un espectro para medir con precisión su distancia. Lo que hay es una especie de espectro berreta, muy ingenioso, que funciona de la siguiente manera. Webb toma fotos a través de un montón de filtros de banda ancha, como muchos aficionados actuales. Cuánta luz pasa a través de cada filtro determina el "color" de la imagen final (que por otro lado, está convertida a colores visibles para que podamos verla). Estas son las imágenes filtro por filtro de GLASS-z13:


Es como hacer un espectro de muy baja resolución, con sólo siete longitudes de onda. ¿Ven cómo la galaxia se distingue (manchita señalada con dos rayitas) en las cuatro longitudes de onda más larga? (puse "rojo" y "azul" entre comillas, porque en realidad es todo infrarrojo). En las tres más "azules" no hay luz. Por eso la imagen a colores, que puse al principio, se ve tan roja. Las estrellas, en cualquier galaxia, emiten luz en todas las longitudes de onda. ¿Dónde fue a parar la radiación de longitud más corta de esta galaxia? Acá es donde la cosa se pone interesante.

Durante los primeros 380 mil años después del Big Bang el universo estaba tan caliente que protones y electrones andaban cada uno por su lado, formando una sustancia eléctrica llamada plasma, que es opaca a la radiación electromagnética (como la superficie del Sol). Finalmente se enfrió lo suficiente para que se formaran átomos (casi todo hidrógeno, con un electrón unido a un protón), en un gran evento cósmico llamado recombinación. El universo se hizo transparente, y la radiación electromagnética pudo viajar libremente por siempre jamás, y es la que hoy vemos como radiación cósmica de fondo, o de microondas. Ahora bien, el hidrógeno es transparente a buena parte de la radiación electromagnética, ¡pero no a toda! Cualquier fotón que tenga una energía de más de 13.6 electronvoltios (una longitud de onda de 91 nanómetros, o sea ultravioleta), como sabe calcular cualquier alumno de Cuántica I, es capaz de ionizar el hidrógeno: le da toda su energía al electrón, que se separa del núcleo y viaja libre (como antes de la recombinación). Las estrellas producen mucho ultravioleta, y en esa época toda esa radiación muy energética resultaba absorbida por el hidrógeno, que se volvía a ionizar. Cuando vemos GLASS-z13, la vemos como era en esa época, así que le faltan todos los colores desde los 91 nanómetros para arriba, que fueron absorbidos por el hidrógeno. 

¿Pero cómo, la foto de Webb no es infrarroja? ¿Qué tiene que ver el ultravioleta? ¡Es que el universo se expandió! Hay que entender que la expansión del universo no son las galaxias alejándose unas de otras, sino que es un estiramiento de todo el espacio mismo. Así que la longitud de onda de 91 nm de entonces se estiró, se estiró y se estiró, y ahora la vemos como entre 1500 y 2000 nm (entre los filtros F150W y F200W), que es donde desparece la imagen de la galaxia. Los autores calculan un estiramiento de unas 14 veces (redshift z = 13, de ahí el nombre), y eso la ubica a 13400 millones de años antes del presente. ¿Por qué "candidata", entonces? Bueno, la desaparición de las longitudes de onda más cortas podría deberse a su absorción por alguna cosa más reciente que la luz se encontró en su camino hacia nosotros, polvo típicamente. Futuros espectros que el propio JWST pueda hacer confirmarán (o no) el resultado, pero a mí me parece bastante sólido, por otros detalles que me ahorro aquí.

GLASS-z13 no es la única galaxia de este tipo que encontraron: en este primer trabajo identificaron cinco, dos de ellas muy brillantes, la que acabamos de comentar y otra, GLASS-z11. En algún sentido, esta última es más interesante todavía, porque se la ve más grandecita:

A partir de estos pocos píxels los astrónomos pueden estimar la morfología y la masa de la galaxia (usando la fórmula de Sérsic, astrónomo argentino de la década de 1960). Esta galaxia, tan joven y chiquita como es (mil millones de masas solares, 100 veces menos que la Vía Láctea), tiene sin embargo forma de disco. 

¿Es GLASS-z13 la galaxia más antigua conocida, como anunciaron algunos titulares? No tiene mayor importancia. En astronomía, los récords de este tipo son tan efímeros como irrelevantes. Este trabajo fue el primero que apareció, pero en días sucesivos aparecieron varios más, con estudios independientes de otras imágenes. En algunas incluso se empiezan a observar lo que posiblemente sea su interacción, que las llevó a fusionarse y crecer, como esta Cadena de Cinco a z = 10 (se las distingue mejor en el filtro F200W):

En breve habrá un montón de estas galaxias de la era temprana del hidrógeno neutro del universo (los primeros 400 millones de años). Eso es lo importante: una población, a partir de la cual se pueda empezar a entender la dinámica de cómo se formaron las galaxias, cómo eran sus estrellas, de dónde salieron sus agujeros negros, qué le hicieron al pobre hidrógeno neutro (más sobre esto la semana que viene) y cómo encaja todo lo que se descubra en los modelos astrofísicos.



La imagen color de la galaxia GLASS-z13 es de: JWST NIRCam (Naidu et al. 2022). Image composite: Gabriel Brammer (Cosmic Dawn Center, Niels Bohr Institute, University of Copenhagen). Raw data: T. Treu (UCLA) and GLASS-JWST. Apareció en el Twitter feed de Naidu, y me llevó al paper, de donde usé las imágenes de GLASS-z11 y GLASS-z13:

Naidu et al., Two Remarkably Luminous Galaxy Candidates at z ~ 11-13 Revealed by JWST (arXiv:2207.09434v1)

En seguida aparecieron más (y el miércoles dejé de contar):

Adams et al., Discovery and properties of ultra-high redshift galaxies (9 < 𝑧 < 12) in the JWST ERO SMACS 0723 Field (arXiv:2207.11217v1).

Yan et al., First Batch of Candidate Galaxies at Redshifts 11 to 20 Revealed by the James Webb Space
Telescope Early Release Observations
(arXiv:2207.11558v1). De aquí es la imagen de la Cadena de Cinco. ¡En este trabajo hay candidatas a redshift 20! Como ésta a z = 20.4, 177 millones de años post Big Bang, con el fondo de microondas casi para el agua del mate (bueno, no, es la temperatura de fusión del nitrógeno sólido, 50 y pico kelvins):

Finkelstein et al., A Long Time Ago in a Galaxy Far, Far Away: A Candidate z ~ 14 Galaxy in Early JWST CEERS Imaging (preprint).

Atek et al., Revealing Galaxy Candidates out to 𝑧 ~ 16 with JWST Observations of the Lensing Cluster SMACS0723 (arXiv:2207.12338v1).

Donnan et al., The evolution of the galaxy UV luminosity function at redshifts z ~ 8-15 from deep JWST and ground-based near-infrared imaging (arXiv:2207.12356v1). 

También es muy recomendable la "versión científica" de las primeras imágenes:

Pontoppidan et al., The JWST Early Release Observations (arXiv:2207.13067v1).

Y finalmente, el primer análisis de la evolución química de tres galaxias en esa temprana época (éste sí, hecho con espectros posta):

Curti et al., The chemical enrichment in the early Universe as probed by JWST via direct metallicity measurements at z ~ 8 (arXiv:2207.12375v2).

23/07/2022

Primeras luces del JWST

Las primeras imágenes del Telescopio Espacial Webb son extraordinarias, tal como preveíamos habiendo visto las pruebas de ingeniería que se hicieron durante la puesta a punto de los instrumentos durante los últimos meses. Evidentemente, los objetos fotografiados fueron elegidos cuidadosamente: dos imágenes que muestran la evolución del universo, dos sobre la evolución de las estrellas, y una sobre ¿la evolución de la vida? 

La más impresionante es el Primer Campo Profundo (no dejen de descargar la imagen a resolución completa; esto no es algo para ver en el celu, eh).

La imagen es muy compleja, y voy a describir someramente lo que muestra. Vemos unas pocas estrellas de nuestra propia galaxia: son los puntos brillantes que tienen 6 rayos (y dos más cortitos), producidos por la peculiar geometría del telescopio, a los que nos tenemos que acostumbrar (el Hubble y muchos otros telescopios producen 4 rayitos alrededor de las estrellas brillantes). En medio de la imagen vemos un gran cúmulo de galaxias: son las galaxias blancuzcas, más bien grandecitas. Los cúmulos de galaxias son los ladrillos que forman el universo. Recordemos que cada galaxia es una colección de cientos de miles de millones de estrellas, que no podemos ver individualmente en fotos como esta, ni siquiera con el Webb. Este cúmulo está tan lejos que la luz que vemos es tan antigua partió al mismo tiempo que se estaban formando el Sol y la Tierra. Con todo, son las galaxias más cercanas de la foto. Mezcladas entre ellas vemos una cantidad de arcos rojos y anaranjados: también son galaxias, con formas muy distintas de las que estamos habituados. Son galaxias mucho más lejanas que las del cúmulo, que actúa como una gigantesca lente natural distorsionando y amplificando la luz que lo atraviesa, obedeciendo a la Relatividad General. Finalmente, esparcidas por el campo, vemos miles y miles de puntitos pequeños: son más y más galaxias, hasta el confín de los tiempos.

El telescopio midió la distancia a algunas de ellas produciendo unos exquisitos espectros de su luz. Las más lejanas se ven como pequeños puntitos rojos, y hay una identificada cuya luz partió hace 13100 millones de años, cuando el universo era un bebé. ¡Sería como verme a mí cuando tenía 2 añitos y medio! ¿Se imaginan si un arqueólogo pudiera ver una población humana de hace 95 mil años? Los telescopios son realmente como máquinas del tiempo, nos muestran el pasado del universo. Ese universo medía la décima parte de lo que mide ahora, y las galaxias eran muy distintas. En sus espectros, sin embargo, Webb identificó la presencia de elementos pesados, indicando que a pesar de ser tan distintas, ya habían pasado por una o más generaciones de estrellas, que enriquecieron su química con respecto al hidrógeno y helio primordiales, que vienen del origen del universo

Vale la pena comentar que el campo fotografiado es pequeñísimo, como un granito de arena a la distancia de un brazo extendido: si sostenemos una birome con el brazo en alto, la bolita de la punta está eclipsando la luz de cien mil galaxias, cada una de ellas con sus centenares de miles de millones de estrellas, más sus planetas, sus lunas, sus cometas, y la mar en coche. También vale la pena destacar lo fácil que le resulta al Webb obtener esta imagen, incluídos los exquisitos espectros, en una exposición de 12 horas. Los campos profundos del Hubble (menos profundos que este, recordemos) llevan semanas. Una comparación con el mismo campo, fotografiado por el Hubble, muestra el enorme salto que representa el telescopio Webb: no es marginalmente mejor que el Hubble, es una generación nueva de instrumentos, tanto ópticamente como en sus sensores. Noten no sólo la multitud de galaxias pequeñitas, sino también los detalles de las más grandes. Esta comparación abarca más o menos el ancho de un pelo sostenido con el brazo extendido.

A propósito de la mar en coche, la imagen más cercana compartida en la primera tanda no es una foto, sino un espectro de la atmósfera de un planeta pasando por delante de su estrella, un mini eclipse durante el cual el Webb pudo pispear fugazmente la composición química de sus gases. No es una imagen atractiva como una foto, pero esconde tesoros que recién se van a empezar a analizar. Esa curva con subidas y bajadas muestra que hay vapor de agua y cuánta hay, que hay nubes y bruma, que hay vientos. Algún día, observando alguno de estos planetas lejanos (no este), Webb nos mostrará que existe algún gas que delate la presencia de vida. El proyecto del Webb se inició en 1995, el mismo año que se descubrió el primero de estos planetas alrededor de otras estrellas. ¡Hoy conocemos miles! El proyecto original seguramente ni siquiera contemplaba este tipo de observaciones de atmósferas a mil años luz de distancia. 


Las imágenes se ven hermosamente multicolores. Esto me sorprendió un poco. Webb no ve luz, sino radiación infrarroja, que desde el punto de vista de la astronomía es mejor que la luz, porque es más penetrante en el espacio interestelar e intergaláctico. Observen los filamentos anaranjados en la imagen del Quinteto de Stephan (recortada y achicada aquí abajo, vayan a ver la original): son de polvo, que se ve oscuro en fotos de luz visible. Pero la radiación infrarroja no es distinta de la luz, es el mismo fenómeno físico. Es luz, sólo que luz que no podemos ver. Para construir imágenes que podamos apreciar nosotros, primates visuales, los astrónomos le asignan a cada color infrarrojo un color de luz visible. Lo que vemos como azul en las fotos del Webb es un infrarrojo completamente invisible para el ojo humano. Yo no sabía cómo iba a quedar, y me daba un poco de miedo de que no fueran imágenes tan atractivas como las del Hubble, que durante más de una generación han capturado la imaginación de la gente. Afortunadamente, el resultado es magnífico. 

Las cuatro fotos que vimos en la primera tanda son hermosas, pero son sólo astrofotos. Esas galaxias lejanas, por ejemplo, ¿cómo son? ¿cuántas hay? ¿cuánto pesan? ¿cómo son sus estrellas, de qué están hechas? ¿cómo llegaron a convertirse en "vías lácteas"? ¿Cómo son sus agujeros negros centrales? Esconden un tesoro de información codificada en su luz, y la ciencia del Webb recién empieza. 

 


Las imágenes son de NASA/ESA/STScI/JWST/HST. A pesar de que las noticias titularon "la NASA revela..." es importante recordar que el JWST, al igual que el HST, es un proyecto multinacional, como casi todos los grandes proyectos científicos.

16/07/2022

El infinito, ida y vuelta

Me da un enorme gusto que la muestra El infinito, de mi amigo Pablo Bernasconi, esté nuevamente abierta al público. La puesta original, en Bariloche, quedó interrumpida en 2020 por la cuarentena covid. Desde el 15 de julio al 9 de octubre pueden disfrutarla nuevamente en el Centro Cultural de la Ciencia, en Buenos Aires.


Soy fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra, y participar en un conversatorio público con él en Bariloche. Volveremos a hacerlo el domingo 20 de agosto, en el C3. ¡Venite! 

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que ya conté, pero aprovecho la muestra de Pablo para repetirlo. El público se renueva.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Esto quiere decir que, como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. ¿Cómo verificarlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de niños y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada niño, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que juntarlos así con los naturales:

2 ↔ 1, 4 2, 6 3, 8 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero). Tomá pa'vos.

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y lo mismo para todas las fracciones: entre 1/3  y 1/2 está 2/5, etc. Así que entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones. A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador dé 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y pueden ponerse en correlación con los números naturales así:

1/11, 2/12, 1/23, 3/14, 2/25, 1/36, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos una línea de 1 m de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 m del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 m del extremo, o sea a 0.333... m, otro que esté a pi centímetros = 0.0314159265358979... m, etc. Estos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número, y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o tan irregulares como los de pi. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista por ejemplo así:

10.38602563078...
20.57350762050...
30.99156753207...
40.25763200456...
50.00005320562...
60.99035638567...
70.55522730567...
80.05277365642...
......

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, podríamos elegir el número:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Este número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ0, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ0: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ0. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.


Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ0 y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. 

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).