20/07/2024

El día de Pi

Hace algunos años nació la moda de celebrar el Día de Pi, el famoso número, el 14 de marzo. La razón es que, en los Estados Unidos (y casi en ningún otro lugar de todo el planeta) designan las fechas poniendo el mes delante del día. Para ellos (y para casi ningún otro ser humano) el 14 de marzo es 3/14, una grafía similar al comienzo de 3.14159... que es el desarrollo decimal de pi. Yo propongo que en el resto del mundo, donde ponemos el día delante del mes (cosa mucho más sensata, además de recomendada por las Naciones Unidas), celebremos el Día de Pi el 22 de julio. Escrito como de costumbre, 22/7 es no sólo una fecha sino una fracción. Si hacemos el cálculo: 

22/7 = 22 ÷ 7 = 3.142857.... 

Veintidos séptimos es una excelente aproximación de pi, incluso mejor que 3.14. Difiere del valor exacto en un 0.04%, mientras que 3.14 se aparta un 0.05%.  Así que celebremos esta semana, el 22 de julio, el Día de Pi como corresponde.

Pi, como sabemos, tiene infinitos decimales. Las dos son aproximaciones: 3.14 y 3.142857, así como también la otra aproximación bien conocida, 3.1416. Con la calculadora de la computadora es facilísimo tener una mejor aproximación, que en Windows 11 tiene 31 decimales:

Hoy en día es fácil obtener más decimales todavía, por ejemplo en WolframAlpha poniendo "pi with 1000 decimals":

Cualquier número de decimales que usemos, siempre es mucho menos que infinito. ¿Cuántos decimales necesitamos? Por ejemplo, ¿cuántos decimales usa la NASA en sus cálculos para aterrizar un robot en Marte exactamente donde quieren ponerlo? Sorprendentemente, muchos menos que los que puede parecer. 

Pensemos en la distancia desde el Sol hasta la nave más lejana, la Voyager 1, que ha reanudado todas sus funciones científicas:

Son más de 24 mil millones de kilómetros al momento de escribir estas líneas. Digamos 24.5 miles de millones, para redondear. Imaginemos un círculo de ese radio, abarcando todo el sistema solar en su interior: es un círculo de unos 150 mil millones de kilómetros de circunferencia, 1000 unidades astronómicas. Si calculamos el valor usando 15 decimales de pi (lo que llamamos doble precisión en los lenguajes de programación científica), el error con respecto al valor exacto es de 1 cm. ¡Un centímetro en 1000 unidades astronómicas! Claramente, 15 decimales son suficientes para aterrizar un robot en cualquier lado del sistema solar con precisión de, digamos, metros.

Vayámonos al extremo: la circunferencia del universo observable. El radio del universo es 46 mil millones de años luz. ¿Cuántos decimales de pi necesitaríamos para calcular su circunferencia con precisión del tamaño de un átomo de hidrógeno? ¿Qué mejor precisión podríamos necesitar, eh? Resulta que hacen falta apenas 36 decimales, unos pocos más de los que nos da la calculadora de Windows:

3.141592653589793238462643383279502884

Ya he escrito antes sobre pi en el blog. Los invito a visitar aquella nota para más detalles que a mucha gente la intrigan sobre el número más famoso, en particular la cuestión de los infinitos dígitos.



La ilustración del universo entero en escala radial logarítmica es de Unmismoobjetivo CC BY-SA.

13/07/2024

Velocidad warp

Por hache o por be, no pude hacer más que una salida de astrofotografía desde que tengo cámara nueva. Por suerte fue una salida muy productiva, la preciosa noche del airglow. Ya mostré todas las fotos buenas, pero me queda una. Cuando ya había terminado de fotear todo lo que había planeado, mientras mi amigo Víctor Hugo hacía unas últimas del centro galáctico, yo hice una que me faltaba de hace rato. Es una exposición larga usando una lente zoom, un poco desenfocada, cambiando la distancia focal durante la foto:

¡Díganmé si no parece un viaje interestelar a velocidad warp! Y como mi amigo Carlos me preguntó más de una vez por el motor warp de Alcubierre, me pareció que era el momento de contar algo. Fui a buscar el paper original, y resulta que fue publicado en mayo de 1994, así que cumplió hace poco exactamente 30 años. Excelente ocasión para comentarlo.

Miguel Alcubierre es un físico mexicano (acento en la primera e, y pronunciando la e final) que publicó este breve trabajo en una revista científica seria. En él propone una métrica, es decir una solución de las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General, que permite viajar a velocidad mayor que la de la luz sin violar las leyes naturales. ¿Cómo es posible esto?

La Teoría de la Relatividad dice que la velocidad de la luz en el vacío (los famosos 300 mil kilómetros por segundo) son un límite universal: nada puede viajar más rápido. Esto no es un capricho de Einstein, es una consecuencia del principio de relatividad, que es muy anterior y era ya entendido por Galileo. Dice que todo movimiento es relativo: siempre es con respecto a algo. Es tan sencillo como eso, la experiencia cotidiana de que cuando vamos en auto a 60 km/h con respecto a la calle, y otro auto va paralelo a nosotros a la misma velocidad, nuestra velocidad con respecto al otro auto es cero, el otro auto aparece inmóvil. Y si nos acercamos a un semáforo, el semáforo se acerca a nosotros a los mismos 60 km/h. Durante siglos no hubo problema, y toda la ciencia de la Mecánica se construyó alrededor de este principio, cuya consecuencia matemática es que las velocidades se suman. Si camino a 2 km/h dentro de un vagón de tren que marcha a 60 km/h, hacia adelante, mi velocidad con respecto a las vías es 62 km/h. Si lo hago hacia atrás del vagón, mi velocidad con respecto a las vías es de 58 km/h. Parece una pavada, ¿no? 

Todo funcionó fenómeno durante siglos, hasta que Maxwell desarrolló la teoría del electromagnetismo y la propagación de la luz. Y resultó que las ecuaciones de Maxwell no satisfacen el principio de relatividad. Eso quería decir que la velocidad de la luz es absoluta, no relativa. La luz que sale de los faroles del tren en movimiento no viaja más rápido con respecto a las vías cuando el tren está en movimiento que cuando está detenido. A diferencia de lo anterior, esto no es una pavada. Más bien parece una idea loca e imposible. Pero una serie de experimentos a fines del siglo XIX, cada vez más delicados y precisos, lo confirmaron una y otra vez. Finalmente Einstein dijo que había que dejarse de embromar, tomarlo como un hecho de la naturaleza, abrazar el electromagnetismo tal como era y combinarlo con la mecánica, a ver qué daba. El resultado fue la Relatividad Especial, publicada por Einstein en dos papers en 1905. Es una teoría tan comprobada y que funciona tan bien que no tenemos ninguna duda de que es correcta. Así que sus conclusiones, que son extremadamente anti-intuitivas, son ciertas aunque nos cueste entenderlas. Entre ellas están las más familiares: que un objeto en movimiento se acorta en la dirección del movimiento, y que su tiempo se alarga (ambos, vistos por observadores que lo ven pasar). También, la familiar fórmula "e igual eme ce al cuadrado", la más famosa de la ciencia. Menos conocido es un hecho que, cuando estudiamos Relatividad en tercer año de física, nos resulta más raro todavía: la relatividad de la simultaneidad. Dos eventos que son simultáneos para un observador, no son simultáneos para otro observador, en movimiento con respecto al primero. Es más: dos eventos que ocurren uno antes que el otro para un observador, para otro observador pueden tener el orden invertido, con el segundo antes que el primero. ¡Chan! 


Esto sí que parece imposible, aunque me haya creído la explicación de la "paradoja" de los gemelos. ¿Qué pasa con la causalidad? Si se invierte el orden de los hechos, ¿acaso las consecuencias pueden preceder a las causas? Eso violaría la lógica, y no hay una ley de la naturaleza capaz de violar la lógica, no señor. La teoría de la Relatividad, afortunadamente, preserva la causalidad. Y lo logra, precisamente, gracias a la velocidad de la luz. No sólo es absoluta, sino que es la máxima posible. Eso es suficiente para que ni siquiera la relatividad de la simultaneidad viole el principio de causalidad. Fiú.

La Relatividad Especial no tenía en cuenta la gravedad, ni la caída de las manzanas, ni las órbitas de los planetas. La gravedad de Newton era una fuerza instantánea, una "fantasmal acción a distancia" que viajaba instantáneamente, más rápido que la luz. A Einstein le llevó 10 años completar una nueva teoría que tuviera en cuenta la gravedad en un contexto relativista, y para confusión de los distraídos también la llamó Relatividad, pero Relatividad General. Las trayectorias de los objetos lanzados al aire son las parábolas que conocemos: muchas veces se originan en el botín izquierdo de Messi y terminan en el ángulo. Las órbitas de los planetas también son curvas, en forma de elipses, o de florcitas en el caso de Mercurio. Otro principio también descubierto por Galileo decía que todas esas trayectorias eran iguales, independientemente del objeto. Y si son todas la misma, la Relatividad General permite entender su diversidad proponiendo que, en cambio, es el espacio mismo en el que se mueven el que está curvado.

El descubrimiento de Alcubierre usa precisamente la curvatura del espacio para permitir un movimiento superlumínico, hiper-rápido como dice en su título. Es tan sencillo que no sé cómo a nadie se le había ocurrido, cuando en la ciencia ficción algo por el estilo circulaba desde hacía décadas. De hecho, en alguna entrevista leí que la idea se le ocurrió viendo un episodio de Star Trek TNG. La idea de Alcubierre es que, para que una nave vaya de A a B, hay que achicar el espacio entre la nave y B, y agrandarlo entre la nave y A. ¡Y precisamente la Relatividad General permite deformar el espacio! Así que Alcubierre diseñó una deformación apropiada, por delante y por detrás de la nave.

En la figura el espacio tiene dos dimensiones, porque se usa la tercera para representar la deformación, pero hay que imaginarse una burbuja en 3D rodeando la nave, precisamente como las burbujas warp de Star Trek. Adentro de la burbuja el espacio es "plano", y la nave está en caída libre, y de hecho está "localmente quieta". El borde de la burbuja es el que contiene toda la deformación, de manera que todo lo que está dentro se acerca hacia donde el espacio se contrae, y se aleja de donde el espacio se expande. Conceptualmente no tiene nada nuevo. De hecho, esa expansión  en la "popa" no es muy distinta de la expansión del universo entero, la del Big Bang, en la cual las galaxias pueden alejarse unas de otras a velocidades mayores que la de la luz porque es el espacio el que se dilata, arrastrándolas.

¿Entonces? ¿Podremos viajar entre las estrellas como en las películas, sin las restricciones de la inmensidad del espacio y la limitada velocidad de la luz? Todavía no lo sabemos. El paper de Alcubierre es solamente conceptual. Alcubierre habla de la "nave", pero su trabajo ni presenta el diseño de un motor, y ni siquiera propone un mecanismo de cómo lograr la necesaria deformación del espacio. De hecho, advierte que su métrica (así se dice) viola una condición física importante, y que la materia ordinaria (que dicta cómo se deforma el espacio) no podría hacerlo. En los años transcurridos no hubo muchos avances, pero algunos cada tanto sugieren que algo parecido se puede hacer con materia ordinaria. Por ahora no lo sabemos. Quién sabe si algún día algún chico brillante tendrá una idea de cómo hacerlo, y el motor de Alcubierre se convertirá en un problema de ingeniería, y poco después en prototipo, y habrá un verdadero Zefram Cochrane que lo haga realidad. ¡Qué maravilla que sea siquiera posible!

 


Las fotos son mías. La composición del final incluye un modelo del Enterprise D, que debe ser propiedad de Paramount. La ilustración de la deformación espacial en la métrica de Alcubierre es de Wikipedia (usuario AllenMcC), y recrea la única figura de su paper. La animación de la relatividad de la simultaneidad (usuario Acdx), y la de los conos del pasado y del futuro (versión de Ignacio Icke), también son de Wikipedia, CC BY-SA.

06/07/2024

Estrellas gigantes

Hace poco mostré la relación entre la luminosidad y el color de las estrellas, que descubrieron hace algo más de 100 años Ejnar Hertzsprung y Henry Norris Russell, y que hoy conocemos como diagrama HR. El diagrama HR original tenía un puñado de estrellas, pero hoy en día podemos poner miles o millones. Les muestro uno que hice con todas las estrellas del satélite Hipparcos:


Lo más notable de este diagrama es que muestra que la luminosidad y el color no son magnitudes independientes: están relacionadas. El 90% de las estrellas aparecen organizadas en una franja diagonal, que hoy llamamos secuencia principal. Esta secuencia corre desde el extremo superior izquierdo, donde están las estrellas más luminosas y azules, hasta abajo a la derecha, donde están las menos luminosas, que son más rojas. Esto se debe a la ley de Planck, que expresa la energía radiada por un objeto caliente para cada longitud de onda. En un gráfico, la ley de Planck se ve así (para tres temperaturas típicamente estelares):

Vemos aquí dos cosas importantes: que los cuerpos más calientes radian mucha más energía (la curva más alta es la de 8000 K), y que la mayor parte de esta radiación está concentrada alrededor de cierta longitud de onda, que es más corta (más azul) si el objeto es más caliente. Así que las estrellas más azules son las más calientes y más luminosas, y las más fresquitas y rojas radian menos. Todo muy sensato.

Pero además de la secuencia principal, hay una minoría de estrellas en una rama más horizontal, arriba a la derecha. Son estrellas más bien rojas (o sea, no muy calientes), pero tan luminosas como las más azules. ¿Cómo es posible esto? Hay un detalle en la ley de Planck que permite entenderlo: el eje vertical del gráfico muestra la energía radiada por unidad de superficie del cuerpo caliente (en las unidades dice por metro cuadrado). Así que hay una manera para que una estrella menos caliente radie tanto como una más caliente: ¡con más metros cuadrados! Para estar en la posición en que están en el diagrama HR, deberían ser estrellas gigantes, mucho mayores que las de la secuencia principal del mismo color. Hertzsprung las bautizó, naturalmente, gigantes rojas. Si se fijan en el eje vertical, la diferencia entre las gigantes y la secuencia principal es de por lo menos 5 magnitudes. Los aficionados saben que 5 magnitudes corresponden a un factor 100 de diferencia de luminosidad. Así que las gigantes deben tener por lo menos 100 veces más superficie. Como la superficie de una esfera crece con el cuadrado del radio, esas gigantes deben ser al menos 10 veces más grandes que el Sol. Eso por lo menos: 10 magnitudes corresponden a un factor 100 veces más grandes, y las más rojas pueden ser hasta cientos de veces más grandes (y en algunos casos son tan inmensas que se pueden medir, a pesar de la distancia).

Hertzsprung también bautizó a las estrellas de la secuencia principal como enanas. Es un nombre que hoy en día ha caído en desuso mayormente para evitar confusión, ya que las del extremo izquierdo serían "enanas azules" a pesar de ser también muy grandes. El nombre persiste para las más rojas, que se siguen llamando "enanas rojas". Proxima, por ejemplo, de la que hemos hablado recientemente, es una enana roja. Pero para evitar la confusión con otros tipos estelares, lo mejor es llamarlas "estrellas de la secuencia principal". En términos más técnicos, son las que corresponden a la clase de luminosidad V (cinco, en cardinales romanos).

Poco años después, al desarrollar la teoría que explica cómo y por qué brillan las estrellas, los astrónomos comprendieron que la secuencia principal está tan poblada porque allí las estrellas pasan la mayor parte de sus vidas. Las gigantes rojas (y las supergigantes, aún más grandes) son una etapa final y más breve, como ya hemos contado. Volveremos sobre esto otro día. 



La unidad de temperatura en el gráfico de la ley de Planck es el kelvin. No "grado kelvin", simplemente kelvin. Es la unidad de temperatura del Sistema Internacional de Unidades. El tamaño de un kelvin es igual al de un grado Celsius, así que es fácil imaginárselos. El cero de la escala está -273°C, así que en miles de grados, son casi lo mismo.

En el diagrama HR, la estrellita amarilla marca el Sol, que no está en el catálogo Hipparcos, pero la agregué para mostrar su posición. En el eje horizontal está graficado el índice de color B-V, que ya comenté varias veces, por ejemplo en esta nota sobre una estrella súper roja.

29/06/2024

La galaxia Salchicha

Las galaxias no fueron siempre gigantes, como la Vía Láctea, la de Andrómeda, Centaurus A o Messier 87. Como ya hemos contado, fueron creciendo al chocar entre sí y fusionarse, algo que sigue ocurriendo. ¿Cómo habrá sido la historia del crecimiento de la Vía Láctea? Los astrónomos tratan de desentrañarlo revisando el movimiento de grandes poblaciones de estrellas, algo que recién ahora es posible gracias a las mediciones del telescopio espacial Gaia, de la Agencia Espacial Europea. La mezcla de las estrellas "canibalizadas" es gradual, de manera que se las puede identificar aunque hayan pasado miles de millones de años de la colisión que desintegró la galaxia de la que provenían.

Y no sólo estrellas. La semana pasada mostré una foto de la Nube Menor de Magallanes, en la que veíamos varios de sus cúmulos globulares. A medida que la Vía Láctea fue absorbiendo a sus galaxias satélites, los cúmulos globulares (similares a los de la Nube Menor) no se desarmaron, y pasaron a integrar la población de globulares de la Vía Láctea. También ellos tienen movimientos peculiares (y composición química) que los delata. Uno de ellos es éste, NGC 5286:


Es un lindo cúmulo para observar en la constelación del Centauro, especialmente porque contrasta su multitud de estrellitas con la mucho más cercana estrella M Centauri, que está a apenas a 4 minutos de arco de él en el cielo. Claro que el cúmulo está a 36 mil años luz, en el halo de la galaxia, mientras que M Cen está a sólo 260 años luz, en el disco. 

NGC 5286 ha sido identificado como perteneciente a una galaxia satélite grandecita (tipo Nube Mayor de Magallanes, ponele) llamada "la Salchicha de Gaia". La colisión de la galaxia Salchicha fue derecho por el medio de la Vía Láctea, de manera que sus estrellas, hasta el día de hoy, tienen velocidades que apuntan fuertemente en la dirección radial, y tienen órbitas muy elongadas. Imaginen la diferencia entre las órbitas de los cometas del sistema solar (muy elongadas) y las de los planetas (bien redonditas, como también es la órbita del Sol en la galaxia). El nombre de la galaxia viene justamente del aspecto de sus estrellas cuando se grafican las velocidades en un diagrama de velocidades como éste:

Es un esfuerzo de imaginación, ya sé. Pero el nombre pegó. La Salchicha habría colisionado hace mucho tiempo, tal vez 8 mil millones de años o más, contribuyendo con una cantidad significativa de estrellas y gas a la (entonces) joven Vía Láctea. Hay otro cúmulo, en Carina, que ha sido identificado como su posible núcleo: NGC 2808. Es extremadamente pesado y grande, un rival de Omega Centauri, sólo que mucho más lejano y por eso menos vistoso en el cielo. No tengo fotos, pero he aquí una del Hubble:

Y otro posible cúmulo que heredamos de la Salchicha es uno que mostré la semana pasada, NGC 362, el "otro" globular vecino a la Nube Menor de Magallanes:

Se cree que la colisión con la Salchicha fue la últma colisión "grande" de la Vía Láctea, pero un paper de hace pocos días sostiene que hubo otra más reciente. Esta arqueología galáctica se está desarrollando rápidamente (y Gaia sigue midiendo), así que se están detectando nuevas poblaciones y reclasificando algunas. NGC 5286, por ejemplo, también ha sido clasificado como perteneciente a una colisión más reciente, llamada Pontus. Lo que sí es seguro es que viene de otra galaxia. Qué cosa extraordinaria, ¿no?



El paper original de la galaxia Salchicha creo que es: Belokurov et al., Co-formation of the disc and the stellar halo, MNRAS 478, 611–619 (2018). El gráfico anotado con la Salchicha es de la nota de prensa de Carnegie Melon, que adapta una figura del paper. 

La identificación de NGC 5286 es otro paper del mismo grupo: Myeong et al., The Sausage globular clusters, ApJL 863:L28, (2018). Hay otro, de este año: Belokurov et al., In-situ versus accreted Milky Way globular clusters: a new classification method and implications for cluster formation, MNRAS 528, 3198–3216 (2024).

La reclasificación de NGC 5286 como miembro de la galaxia Pontus está en: Malhan, A New Member of the Milky Way’s Family Tree: Characterizing the Pontus Merger of Our Galaxy, ApJL 930:L9 (2022).

La foto de NGC 2808 es de NASA/ESA/STSci/Hubble. Las demás son mías.