sábado, 4 de mayo de 2013

La vida de Pi

¿Quién no recuerda al número π (pi), la constante más famosa de la Matemática? Cada tanto me preguntan sobre pi, cuánto vale, si es infinito, por qué no lo conocemos exactamente, por qué es tan importante, y un largo etcétera. Aclarando anticipadamente que los físicos estudiamos estos temas de manera mucho más superficial que los matemáticos, voy a decir un par de cosas sobre el tema. Y voy a poner "pi" en lugar de π porque no me gusta la letra griega que imprime esta tipografía de blogspot.

¿Pi es infinito?

No. Pi es un número finito. Una cantidad infinita es lo siguiente: si tomo otro número, este nuevo número es menor que el primero. Y esto debe pasar para todos y cualquier número que pueda elegir. Cualquiera cualquiera cualquiera. ¿Pasa esto con Pi? No. Tomo el número 2. Dos es menor que pi, fenómeno. Tomo el número 4. Cuatro es mayor que pi. Zas. Listo. Pi no es infinito.

¿Pero, no dicen que tiene infinitos decimales?

Esto es otra cosa. Efectivamente, hay números que, en su desarrollo decimal (la representación de los números que aprendemos en la escuela) tienen infinitos decimales. Algo que uno no aprende en la escuela es que la representación decimal no es lo mismo que el número. Hoy en día, a lo mejor, una persona que reflexiona sobre el tema aun sin haberlo estudiado en la Facu sospecha esto, porque existe otra representación que se ha vuelto popular: la representación binaria, la que se usa en las computadoras modernas. Pi en representación binaria es 11.00100100001111...

En todo caso, lo que vale la pena decir es que pi es un número irracional. Esto significa que no es igual a ninguna fracción de números enteros, tipo 22/7 (que difiere de pi menos de un 0.1%). NINGUNA. No existen números enteros tales que su cociente sea igual a pi. Esto es una verdad matemática, es decir, ha sido demostrado como teorema matemático (como la infinitud de los números primos, de la que ya hemos hablado). Como consecuencia de esto, la representación decimal de pi tiene infinitos decimales. Esto (a diferencia de lo anterior, la irracionalidad) es trivial: si tuviera finitos decimales, por ejemplo 3.14159 y basta, entonces pi sería igual a 314259/100000, y esto no es verdad por el teorema.

Ojo: Si es irracional, entonces tiene infinitos decimales. Al revés, no. Hay números cuya representación decimal tiene infinitos decimales, pero son cociente de números enteros. Por ejemplo, 1/3 = 0.333333.... sin fin. Lo mismo 1/7 = 0.142857142857142857.... Etcétera. Son los desarrollos decimales que en la escuela llamábamos periódicos. La diferencia es que en un número irracional no hay repetición de ninguna cadena de cifras. La única representación es la completa.

Ojo bis: Una voz de alerta sobre el hecho importante de que la representación decimal no es lo mismo que el número, es el hecho de que algunos números tienen dos representaciones decimales distintas.  El mismo número, eh. Por ejemplo, 0.99... (cero punto nueve nueve sin fin), representa el mismo número que 1.00... (uno punto cero cero sin fin). Ambos desarrollos decimales representan el número 1. Ojo al cuadrado: Esto no es lo mismo que decir que 0.99 y basta (dos decimales) es aproximadamente igual a 1. Dije 0.99... sin fin. Ése número es el 1.

¿Hasta qué punto se ha logrado determinar pi?

De nuevo: una cosa es el número, otra es su representación decimal. Pi es un número muy bien conocido, se conocen tanto sus propiedades como muchas maneras de calcularlo. En muchos sentidos, conocemos pi exactamente. No se trata de una frontera del conocimiento ni nada por el estilo. Por ejemplo, sabemos que pi es un número computable, a pesar de ser irracional. Es decir, un programa de computadora finito, que uno puede escribir en una hoja de papel, puede calcular todos sus decimales, uno tras otro, sin problema. Nunca terminará, por supuesto. Pero esa no es la cuestión. Hay otros números para los cuales no existe un programa capaz de calcularlos. No que no conocemos tal programa: no existe, no puede existir. Es muy loco. Es una de las grandes contribuciones de Alan Turing, de quien ya hemos hablado.

Hay muchas series (sumas de infinitos términos, pero que se pueden expresar de manera compacta dando un término general) que son iguales a pi. En un sentido, esas series son pi. En otro sentido, esas series son las que se usan para calcular pi. Por ejemplo:

pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...

Fíjense que no hay nada raro, ni misterioso, ni desconocido en esa serie. No hay que ir calculando incógnitas a cada paso, ni nada por el estilo. Un niño de 8 años podría ir calculando, agregando términos sin parar. En los numeradores está siempre el número 4, en los denominadores los impares en orden, y los signos se alternan. Y punto. Tenés para entretenerte hasta el Día del Arquero.

Usando series como ésa se calculan decimales de la representación de pi, que tienen propiedades interesantes. Por ejemplo, algunas series "convergen más rápido", es decir van dando los decimales correctos sumando menos términos. Y hay también otras maneras, siempre así "iterativas", de calcular decimales. Se conocen, no sé, trillones de decimales. Hoy en día cualquiera puede hacerlo. En mi computadora (acabo de probar) tardé 1 segundo en calcular y mostrar un millón de decimales (y la mayor parte de ese segundo debe haber sido el tiempo que el programa tardó en imprimirlos en la pantalla).

¿Qué ocurre con el número φ (phi, o fi)?

Phi es otro número irracional, mucho menos famoso que pi, y que aparece en otros contextos. Por la misma razón su representación decimal tiene infinitos decimales. También es computable, así que lo podemos calcular sin ninguna "indeterminación".

Así de raros como parecen, los números irracionales son la mayor parte de los números. Holgadamente. Hay muchísimos más números irracionales que números racionales (que son las fracciones de enteros). No hay mayor misterio en ellos, a pesar de lo que querían creer los Pitagóricos (que descubrieron su existencia, otro día cuento esto). Sólo tienen propiedades diferentes y, muchas veces, sorprendentes.

¿Qué determina cuántos dígitos conocemos?

Si el número es computable, esa cantidad está determinada sólo por las ganas de calcular: no hay límite para la cantidad de dígitos que pueden calcularse. Por esa razón, en el caso de pi, a lo largo de la Historia ese número ha ido aumentando. Ninguna aplicación científica requiere más de un par de docenas de decimales de pi. Los motivos han sido otros, pero siempre alguien quiso conocer algún decimal más, no sé, para ganar una apuesta, mostrárselo a la novia, regodearse en su capacidad de cálculo, probar una nueva computadora antes de diseñar un arma de destrucción masiva, lo que fuere. Como dije: no hay nada misterioso en esa cantidad de dígitos, no es una "frontera del conocimiento humano", no comienza la Era del Diezmillonésimo Dígito, no es una revolución científica ni nada por el estilo.

¿Por qué es tan importante?

No estoy muy seguro. Pero su definición, que expresa la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro, evidentemente lo conecta con la trigonometría, y las propiedades de círculos, elipses y tantas otras curvas que aparecen en las leyes naturales. Así que pi aparece por todos lados en la ciencia, incluyendo la Física, la Estadística y otras ciencias inesperadas además de la Teoría de los Números...  

Bueno, después de tanto abuso de italics y bold me cansé. Hay más cosas para contar sobre pi, simpáticas e interesantes. Pero sigo otro día.

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