Planetas por la tangente

Este cuatrimestre di las clases sobre movimiento gravitatorio en el curso de Mecánica Clásica del Balseiro. Puse en la guía de problemas un fenómeno curioso, que el año pasado tomamos en el parcial (y casi nadie lo resolvió). El problema dice así:

Si la masa del Sol súbitamente se reduce a la mitad, ¿qué órbita seguirá la Tierra? ¿Escapará del sistema solar?

No voy a explicar aquí los detalles del cálculo. Pero la idea de lo que ocurre es fácil de entender. La Tierra (al igual que todos los planetas) se mantiene en su órbita gracias a un balance entre la intensidad de la atracción gravitatoria del Sol y su propio movimiento en la órbita. Es decir, evita caer directamente hacia el Sol porque su velocidad orbital la mantiene moviéndose "de costado". Y no escapa "por la tangente" con esa velocidad porque la atracción del Sol curva su trayectoria. Eso es una órbita, ni más ni menos.

Si el Sol reduce su masa, su atracción gravitatoria se reduce. Pero la velocidad de la Tierra es la misma. Y ahora resulta una velocidad demasiado grande para la atracción que está ejerciendo el Sol. Empieza a "escapar por la tangente". Si la masa del Sol se reduce un poco, la órbita de la Tierra pasa de ser casi circular a ser un óvalo muy estirado (una elipse muy excéntrica): el planeta se aleja y se aleja, pero su velocidad no le alcanza para escapar, y regresa. Y repite esta órbita elíptica.

Cuanto más se reduce la masa del Sol, más se estira esta elipse. Se empieza a parecer a las órbitas de los cometas periódicos (como el cometa Halley) que son elipses finitas y largas. Cuando la masa perdida por el Sol llega al 50%, el punto más alejado de la elipse se ha ido al infinito, y la órbita se convierte en una parábola. No se cierra sobre sí misma como las elipses, y la Tierra escapa del sistema solar.

Hice una animación del fenómeno. Aclaro que no es un dibujo animado, sino una representación rigurosa del fenómeno físico. Agarré la Ley de Newton efe igual eme por a, puse la fuerza gravitatoria, y encontré la trayectoria. Eso se llama integrar numéricamente la ecuación diferencial. Lo hice en Mathematica, que es super amigable para hacer esto y representarlo gráficamente. Por si les interesa, el comando está al final de la nota.

Por disparatada que les parezca la situación, este mecanismo podría ser el origen de al menos algunas de las llamadas runaway stars, y de algunos rogue planets. Son estrellas o planetas eyectados de sus sistemas, cuando una de las estrellas pierde la mitad de su masa debido a intensos vientos estelares o una explosión de supernova. La estrella que vemos aquí al lado es Dseda Ophiuchi, una famosa runaway que se mueve raudamente por el gas interestelar, comprimiéndolo y formando esta hermosa bow shock. La estrella es brillante y se ve fácilmente a simple vista en invierno. La bow shock no.

Estrellas o planetas vagabundos, portadores de devastación, abundan en la ciencia ficción. Un caso destacado es el de la película Cuando los mundos chocan, una joyita de 1951. Una estrella vagabunda llega desde la profundidad del espacio y va a destruir la Tierra. Construyen una nave para mudarse a uno de sus planetas, y eligen a los afortunados al azar. Despegan a último momento, y la Tierra es destruída. No hay Bruce Willis ni Will Smiths que la salven. Impresionante.

Curiosamente, en mis exploraciones numéricas me pareció observar que sólo una reducción súbita de la masa del Sol produce la eyección del planeta. O sea, una supernova. En estrellas muy masivas puede haber intensos vientos estelares al comienzo de su existencia, y lo mismo al final de la vida de una estrella como el Sol, en la fase de supergigante. Esas etapas son cortas comparadas con la vida de una estrella, pero largas comparadas con las órbitas de los planetas, así que no son súbitas. En mis cálculos, si la reducción es gradual el planeta no llega a escapar. No estoy seguro por qué. Tal vez haya que tener en cuenta órbitas no circulares, pero no sé, habrá que calcularlo. O tomarlo en el parcial...

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Papers sobre el origen de las runaway stars:

The origin of runaway stars, R Hoogerwerf, JHJ de Bruijne & PT de Zeeuw, astro-ph/0007436v1 (2000).

First detection of a magnetic field in the fast rotating runaway Oe star dzeta Ophiuchi, S Hubrig, Astron. Nachr. 332, 147-152 (2011).

On the origin of the O and B type stars with high velocities (the run-away stars) and some related problems, A Blaauw, Bull. Astron. Inst. Nether. 15, 265-290 (1961).

La foto de ζ Oph es de NASA/JPL-Caltech/Spitzer.

El comando de Mathematica para ilustrar el fenómeno es:

x0 = 1; y0 = 0; vx0 = 0; vy0 = 1; tmax = 25;
masa[t_] := Piecewise[{{1, t <= tmax}, {0.5, t > tmax}}];
ti[t_]   := Piecewise[{{0, t <= tmax}, {tmax, t > tmax}}];
tf[t_]   := Piecewise[{{tmax, t <= tmax}, {2 tmax, t > tmax}}];
sol = NDSolve[
    {(masa[t] x[t])/(x[t]^2 + y[t]^2)^(3/2) + x''[t] == 0,
     (masa[t] y[t])/(x[t]^2 + y[t]^2)^(3/2) + y''[t] == 0,
     x[0] == x0, y[0] == y0, x'[0] == vx0, y'[0] == vy0}, {x,y}, {t,0,2tmax}];
Animate[Show[
  ParametricPlot[Evaluate[{x[s1],y[s1]}/.sol], {s1,ti[s],tf[s]}, PlotStyle->Thick, PlotRange->{{-7,7},{-7,7}}],
  Graphics[{Blue, Disk[Flatten[{x[s], y[s]}/.sol], 0.2]}, PlotRange->{{-7,7},{-7,7}}],
  Graphics[{Orange, Disk[{0,0}, 0.5 Sqrt[masa[s]]]}], ImageSize->{400, 400}]
 ,{{s, 0, "tiempo"}, 0, 2tmax, Appearance->{"Labeled","Open"}, ImageSize->Tiny}]