Twinkle, twinkle, little star

Todo el mundo sabe que las estrellas titilan. Mucha gente, además, sabe que los planetas no titilan, y saben usar este hecho para identificar los planetas en el cielo nocturno.

Desde hace algunas semanas se puede ver el planeta Saturno cercano a la estrella Spica, la Espiga en manos de Virgo, alrededor de la medianoche en el cielo del Este. No están muuuuy cerca, pero lo suficiente para llamar la atención. Ambos brillan con la misma magnitud, así que aproveché para sacar una foto demostrando esta cuestión de titilar vs. no titilar.

Contradiciendo toda la explicación de la semana pasada acerca de la importancia de seguir con toda precisión el movimiento del cielo, he aquí una foto astronómica tomada con la cámara en la mano, sin preocuparme en absoluto de mantenerla estable. Más bien todo lo contrario. Con el teleobjetivo de 100 mm ambos, el planeta y la estrella, caben juntos en la misma foto. Por el temblor de la cámara ambos dejaron exactamente las mismas trazas caóticas. Aquí las muestro juntitas (aunque en el fotograma estaban más separadas, las acerqué para no desperdiciar el espacio negro en medio). Guau. ¿Qué es lo que salió?

Lo que vemos es, justamente, el titilar de la estrella y el no titilar del planeta. Como la exposición es larga (6 segundos), a medida que pasa el tiempo la imagen de la estrella se mueve por la foto. Así que vemos sus cambios temporales de brillo (¡y de color!) extendidos a lo largo de la traza. La imagen de Saturno hace el mismo recorrido, pero su brillo se mantiene prácticamente constante y no cambia de color. Para los detallistas: con la cámara en la mano, la velocidad de la imagen a lo largo de la traza no es constante, y por eso algunos rulos de la traza de Saturno se ven un poco más brillantes que otros, porque están más expuestos. Pero claramente el efecto es distinto en la estrella que en el planeta. La estrella titila, el planeta no.

¿Por qué titilan las estrellas y los planetas no? 

Es un fenómeno conocido desde la Antigüedad, y durante siglos se creyó que era una ilusión óptica. Aristóteles en su libro Sobre el Cielo decía que los planetas no titilan porque están cerca y nuestra visión los alcanza sin problema, mientras que las estrellas están muy lejos y la vista flaquea para alcanzarlas. Recuerden que se pensaba, incorrectamente, que la visión funcionaba al revés del verdadero mecanismo, con "algo" que salía de los ojos a "tantear" el objeto observado. Análogo al tacto, pero con dedos invisibles. Qué raro, ¿no?

El primero en sostener que no era una ilusión sino un verdadero fenómeno fue Kepler, cuándo no. Y fue Newton quien lo explicó correctamente en su tratado de Óptica. Newton dice que la causa del titilar de las estrellas es el temblor del aire. Y que para poner un telescopio, lo mejor sería ponerlo en una montaña alta (como se hace hoy en día, pero que se empezó a hacer recién a fines del siglo XIX, por razones logísticas). Nada dice sobre los planetas.

¿Y cuál es el mecanismo? 

Los rayos de luz que vienen de las estrellas viajan casi inalterados por el vacío interestelar durante milenios. Y de golpe, en el último centésimo de segundo de su largo viaje, tienen que atravesar la delgada capa de aire que nos mantiene vivos. El aire, aunque tenue, refracta la luz como si se tratara de una lente. En la atmósfera hay regiones de distinta temperatura y densidad, que refractan la luz un poco más o menos que otras. Estas celdas, que tienen unos pocos centímetros de ancho, se mueven para un lado y para otro de manera turbulenta, interceptando nuestra línea visual. Cuando la refracción aleja el rayo de luz de nuestra pupila la intensidad disminuye. Cuando lo acerca, el brillo aumenta. Nuestro ojo no alcanza a detectar el movimiento de la estrella para un lado y para otro. Pero mirando a través de un telescopio con mucho aumento se puede ver a la estrella bailando de lo lindo, y muy deformada (como en esta imagen de ε Aquilae). Hoy en día existen sistemas electrónicos capaces de compensar en tiempo real estas deformaciones. O si no, se pone el telescopio directamente por encima de la atmósfera, en órbita terrestre.

¿Y los colores iridiscentes? 

Resulta que cada color que compone la luz se refracta en un ángulo ligeramente distinto. Entonces, de la misma manera que un vidrio dispersa la luz en colores, la refracción en el aire también separa los colores de la luz estelar. Así que vemos no sólo cambios de intensidad sino de color. Cuando la estrella es muy brillante, y cuando está muy baja en el cielo, el efecto puede ser impresionante, y más de uno lo confunde con un OVNI de luces multicolores. Especialmente si van en auto, cuando las estrellas parecen "seguirnos" por falta de paralaje. A propósito, en un par de libros del siglo XIX encontré la observación, hecha por el famoso astrónomo francés François Arago, de que algunos pueblos árabes llamaban a Sirio, la estrella más brillante, Barakesch, que significaría "la estrellas de mil colores", probablemente aludiendo al titilar multicolor que aquí hemos demostrado fotográficamente. ¿Hay algún lector que sepa árabe por aquí?

¿Y por qué los planetas no titilan? 

Resulta que, aunque a simple vista tanto estrellas como planetas se ven como puntitos de luz, los planetas son mucho más grandes. Más grandes en el cielo, quiero decir; en realidad son más chicos que las estrellas, pero se ven más grandes porque están muchíiiiiisimo más cerca. Por eso, a través de un telescopio, un planeta se ve como un disquito pero una estrella se sigue viendo como un punto. Ese tamaño extendido de los planetas en el cielo es suficiente para "promediar" la refracción, ya que el movimiento de los rayos es menor que el tamaño del disco, eliminando en su mayor parte el titilar.

¿En serio? ¡Pero los planetas se ven tan chiquitos!

¡ALERTA! ¡SE APROXIMA UNA CUENTA! Si Ud. es matematicofóbico puede adelantarse hasta el último párrafo, que empieza "Es  decir".

Bueno, hagamos una cuenta sencilla, apelando a los triángulos semejantes que aprendimos en la escuela secundaria. Los rayos de luz que vienen de la estrella o planeta y que entran por la pupila forman un cono, que se va abriendo muy ligeramente a medida que nos alejamos del ojo. Queremos calcular el ancho del cono en la región más turbulenta de la atmósfera, típicamente a 12 km de altura, donde están las "celdas" de aire que distorsionan la luz y que miden unos 10 cm de ancho. Miren este dibujo, que representa los rayos de luz que entran por la retina y forman la imagen de la estrella o planeta (ojo, no está a escala, claro, si no no se ve nada). Los triángulos que nos interesan son los que se ven marcados con colores. Uno tiene su base en la fuente de luz, otro a 12 km de altura, y otro en la pupila (pongamos a = 5 mm). Los otros lados coinciden, de manera que coincide el ángulo inferior. Así que son triángulos semejantes y sus partes correspondientes son proporcionales. ¿OK? ¿Cómo que no? Es como en el Teorema de Tales, de Les Luthiers...

Lo que digo es que el cociente entre, por ejemplo, las bases, es igual al cociente entre, por ejemplo, los lados. Es decir:

b / a = (d+e) / d      (ecuación 1)

Y también:

c / a = (d+e+f) / d      (ecuación 2)

Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas, b y d. Aunque d no nos interesa y b sí tenemos que despejar las dos. Empecemos por la ecuación 2, que tiene una sola de las incógnitas, la d. Primero pasamos la d, de abajo a la derecha a arriba a la izquierda:

(c/a) d = d+e+f

De aquí es sencillo depejar d:

d = (e+f) / (c/a - 1) = (e+f) a / (c-a)   (acomodando el denominador)

Antes de poner este valor de d en la ecuación 1 observemos lo siguiente. La distancia astronómica f es mucho mayor que la altura atmosférica e. Así que en la suma (e+f) no perdemos prácticamente nada si dejamos sólo f. Del mismo modo, el tamaño de la estrella o planeta, c, es enorme comparado con el diámetro de la pupila, a. Así que en la resta (c-a) podemos dejar alegremente c. Así hacemos las cuentas los físicos, porque somos muy vagos. La verdad es que queda mucho más fácil:

d = f a / c

Ahora podemos poner este valor de d en la ecuación 1 (el primer paso distribuye el denominador d):

b/a = (d+e)/d = 1+ e/d = 1 + (e c) / (f a)

Pasando a del denominador del lado izquierdo al numerador del lado derecho y simplificando: b = a + e c /f. Éste es el resultado importante. Notemos que el ancho del haz en la alta atmósfera es igual al tamaño de la pupila más algo. Es decir, el haz de luz se ensancha hacia arriba, como esperábamos. Good. ¿Cuánto se ensancha? Depende de e, c y f. Veamos Spica y Saturno. Hay que poner todo en las mismas unidades.

Para Spica:

c = 7 diámetros solares = 9.7×10⁹ metros
f = 260 años luz = 2.46×10¹⁸ metros

Obtenemos: b = 5.05 mm (apenas más grande que la pupila: como la estrella está tan lejos, el cono de luz se va abriendo muuuuy ligeramente; ésta es la clave del fenómeno).

Para Saturno:

c = 1.14×10⁸ metros
f = 9 unidades astronómicas = 1.32×10¹² metros

Obtenemos: b = 1 metro y monedas (abarcando varias celdas de aire).

Es decir, mientras el haz de rayos de Spica es mucho más angosto que una típica celda de turbulencia, el haz de rayos de Saturno es mucho más ancho, así que aunque bailen las celdas en su interior casi no afecta la luz total que llega a la pupila y forma la imagen. De todos modos, si el aire es muy turbulento (cosa que suele ocurrir en Bariloche por efecto de la Jet Stream) hasta los planetas pueden titilar.

PS: En 2014 hice algo similar con Marte y Antares: Ares vs Anti-Ares.

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Notas varias

Hace como un año salió una foto como ésta en la APOD. El tipo la sacó colgando la cámara de un elástico, me parece, así que le quedó una linda figura de Lissajous. Con la cámara en la mano es más fácil, pero habría que probar...

Libros antiguos con la referencia de Arago: Curiosities of science, past and present: a book for old and young, de John Timbs, y: Arts and sciences: or, Fourth division of "The English encyclopedia", v. 8, editada por Charles Knight.

Cita de Newton: For the Air through which we look upon the Stars, is in a perpetual Tremor; as may be seen by the tremulous Motion of Shadows cast from high Towers, and by the twinkling of the fix’d Stars. [...] The only Remedy is a most serene and quiet Air, such as may perhaps be found on the tops of the highest Mountains above the grosser Clouds.

¡Ah, Google Books!

El título de la nota hace referencia a una canción de cuna en inglés, que empieza:

Twinkle, twinkle, little star,
How I wonder what you are.

Y que lleva una música tradicional muy conocida porque Mozart escribió unas famosas variaciones para piano (KV 265), que todo el mundo sabe tocar con un dedo: do do sol sol la la soool... fa fa mi mi re re dooo...

La canción sigue:

Up above the world so high,
Like a diamond in the sky.

Un diamante, que brilla con luces multicolores como una estrella titilando. Como Lucy in the sky with diamonds, también. Es un tema recurrente en la cultura, como se ve. Si no recuerdo mal, Tycho Brahe comparó su Stella Nova con un diamante, también.

Los astrónomos se refieren al titilar como seeing, y lo miden en segundos de arco correspondientes al diámetro de la imagen de la estrella. Hay otros factores que afectan el seeing, tales como la transparencia del aire, el brillo del cielo, etc. Hay un artículo de nuestro propio Gaviola sobre el tema: On seeing, fine structure of stellar images, and inversion layer spectra, Enrique Gaviola, Astr. Jour. 54, 155 (1949).

La imagen de la estrella a través del telescopio está basada en una de Wikipedia, autor Rnt20. La foto de Saturno y Spica es mía mía mía. Si la quieren usar, me la tienen que pedir.