Pi cuadrado

Atención: La nota de hoy contiene escenas de matemática explícita, que pueden afectar la sensibilidad de algunos lectores. Si Ud. sufre de matematicofobia, le recomiendo por ejemplo esta nota sobre las sondas Voyager, que tiene cierta actualidad a la luz de noticias recientes.

Más de uno recordará, de la escuela secundaria, el valor de la aceleración de la gravedad: 9.8 m/s². Es la intensidad de la atracción gravitatoria de la Tierra, la aceleración que experimenta cualquier objeto cerca de la superficie del planeta. Siempre me pareció una rara coincidencia que ese valor fuera tan parecido a \(\pi^2\) = 9.8... Lo curioso es que el valor de la aceleración de la gravedad depende del sistema de unidades, son nueve coma ocho metros por segundos al cuadrado, mientras que pi al cuadrado no depende de nada, es una constante matemática universal. ¿Es realmente una coincidencia, o se esconde algo detrás?

Se esconde algo, una historia interesante que resumiré drásticamente así pueden ir a comprar pan dulce.

El péndulo. Galileo había descubierto que el período de oscilación de un péndulo es constante: no depende de la amplitud de la oscilación (mientras ésta sea pequeña), ni de la masa suspendida, y sólo depende de la longitud del aparato—desde el punto de suspensión hasta el objeto pesado que pendula. Estaba claro que un péndulo era un dispositivo ideal para medir el tiempo con precisión, un viejo anhelo desde la Antigüedad. En el siglo XVII el astrónomo holandés Christiaan Huygens, como ya contamos, puso manos a la obra e inventó el reloj de péndulo, que se convirtió en el instrumento más preciso para medir el tiempo hasta bien entrado el siglo XX.

El período de un péndulo, que se calcula de manera sencilla en todos los cursos elementales de Física, es una raíz cuadrada (si llegaron hasta acá, no se me van a echar atrás ahora):
\[
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
\]
donde T es el período (es decir, el tiempo que tarda el peso en ir y volver: tic-tac-tic), L es la longitud y g es la aceleración de la gravedad. En esta fórmula vemos que si L vale 1 (en las unidades que sean), el péndulo tiene un período de 2 segundos si la aceleración de la gravedad vale \(\pi^2\) en esas unidades (porque se simplifica el \(\pi\) del numerador con el del denominador...). Ese es el origen de la coincidencia...

Espacio y tiempo. El período del péndulo, al depender sólo de su longitud, relacionaba además el espacio y el tiempo. La unidad de tiempo, el segundo, está basada en la duración del día, lo cual es, digamos, "natural". El péndulo se convirtió entonces en el candidato ideal para definir una unidad de longitud también "natural", en lugar de las unidades "antropomórficas" de pulgadas, pies, codos, palmos, pasos, etc, totalmente arbitrarias, definidas de manera distinta en cada país, que se usaban desde tiempo inmemorial.

El propio Huygens, y luego otros científicos del siglo XVII, no tardaron en observar que un péndulo que tarda un segundo en llegar de un extremo al otro de su oscilación (es decir, un período de dos segundos), tenía una longitud confortablemente a escala humana: unas 39 pulgadas. Y propusieron la definición de la unidad de longitud basada en este fenómeno: la longitud de un péndulo que, entre el tic y el tac, dejara pasar un segundo exacto. Se lo llamó seconds pendulum (en inglés).

Enter the meter. Era una excelente idea, y la Royal Society la apoyó rápidamente. Se sucedieron propuestas similares en Francia y en Italia, donde un tal Tito Livio Buratini propuso llamar "metro" a la nueva unidad. Pasó el tiempo, sin embargo, sin que se llegara a una decisión. Lo cual no estuvo mal, ya que los avances tecnológicos que se sucedieron a lo largo del siglo XVIII, con la Revolución Industrial, permitieron construir péndulos y relojes cada vez más precisos.

Abro paréntesis. A propósito, noten que el período, como muestra la fórmula de arriba, no sólo depende de la longitud del péndulo, sino de la aceleración de la gravedad. Si construimos un péndulo muy preciso podemos usarlo para medir la aceleración de la gravedad, que puede variar de manera minúscula a lo largo de la superficie de la Tierra debido a la forma achatada del planeta, a montañas, a valles, a la existencia de rocas de distinta densidad... Es decir, se convierte en un instrumento de geodesia de precisión. El nombre de muchos astrónomos (gente particularmente interesada en medir con exactitud el tiempo), aparece ligado al uso del seconds pendulum y la medición de la Tierra. Uno de ellos fue Bessel, el ganador de la carrera para medir la distancia a las estrellas que conté en Viaje a las Estrellas. Existe un péndulo de Bessel, mejor que el de Kater que incontables alumnos de Física hemos usado en el laboratorio de física experimental. Uno de estos años voy a proponer comparar el desempeño de ambos en el Balseiro. Cierro paréntesis.

¿Y qué pasó con el metro? Finalmente, durante la Revolución Francesa, se estandarizaron las unidades de medida. La Asamblea consideró la longitud basada en el péndulo, pero finalmente adoptó el famoso diezmillonésimo de cuarto del meridiano de París como definición del metro, más tarde inmortalizado con dos rayitas marcadas en una barra de platino-iridio que guardaron bajo siete llaves. La propuesta de usar el seconds pendulum fue abandonada justamente porque el dispositivo dependía del lugar de la Tierra donde se lo usara. Además, definía la unidad de longitud en base a una unidad de tiempo, cosa que a alguna gente le molestaba.

El segundo contraataca. La historia no terminó allí. Los propulsores de definir el metro basándose en el segundo tuvieron su vindicación. Durante el siglo XX se redefinió el segundo, usando un fenómeno atómico en el que se basan los relojes más precisos de hoy en día. Y finalmente se redefinió el metro. No en base al movimiento de un péndulo, sino en base a otro fenómeno que liga el espacio y el tiempo de manera absoluta, la velocidad de la luz en el vacío. Estableciendo que esta velocidad es exactamente 299 792 458 metros por segundo es como se define hoy en día el metro. Es decir, un metro es la distancia que recorre un rayo de luz en 1 / 299 792 458 segundos. Parece algo mucho más complicado que un péndulo, pero en realidad es algo muy sencillo de medir en los laboratorios de hoy en día, de manera que en todos los países se puede usar la misma unidad de longitud sin necesidad de viajar a París...

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Notas varias... 

Me enteré de estos temas mientras investigaba sobre la vida de Bessel para Viaje a las Estrellas. Luego leí la mayor parte de lo que cuento aquí en este trabajo: Why does the meter beat the second? de P. Agnoli y G. D'Agostini.

El minuto y el segundo fueron un invento medieval de los astrónomos, basado en la división sexagesimal de los grados del círculo que, como las 24 horas del día, habíamos recibido de Babilonia.

He configurado el blog para poder escribir fórmulas y ecuaciones mejor formateadas, como esa preciosa raíz cuadrada del período del péndulo. Espero que les guste a mis lectores...