La órbita de la Luna

Estamos acostumbrados a ver representaciones que muestran la órbita de la Tierra alrededor del Sol, y al mismo tiempo la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. Muestro un pedacito, con la de la Tierra en azul y la de la Luna en naranja:

Esta representación mixta se presta a confusión. A medida que la Tierra avanza en su movimiento alrededor del Sol (digamos, de derecha a izquierda) la Luna la acompaña, así que no puede describir esa órbita cerrada del dibujo. ¿Cómo es la verdadera trayectoria de la Luna alrededor del Sol?

La respuesta no es obvia. Sabemos que la Luna es un satélite de la Tierra, así que definitivamente orbita alrededor de la Tierra. Pero al mismo tiempo avanza alrededor del Sol junto con el planeta. ¿Será una cosa así?

Para que ocurra algo así, la velocidad de la Luna (vista desde el Sol) tendría que cambiar de dirección: la parte de afuera del rulo se recorre de derecha a izquierda, y la de adentro de izquierda a derecha. ¿O será algo así?:

Aquí no hay rulo. La Luna se movería sinuosamente desde afuera hacia adentro de la órbita de la Tierra y después regresaría. En los dos casos, con rulo o sin rulo, fíjense que lo que cambia es la concavidad de la órbita: en parte es cóncava hacia afuera, en otras es convexa hacia afuera.

Bueno, no es ninguna de ésas. Es un poco sorprendente, pero la órbita de la Luna es siempre convexa, como la de la Tierra. No tiene partes cóncavas "hacia afuera": siempre se curva hacia el Sol. Es difícil verlo en escala, pero es tal como aparece en este dibujo. Como la Luna orbita alrededor de la Tierra unas 12 veces por año, su órbita alrededor del Sol se parece a un dodecágono (un polígono de 12 lados) con los vértices redondeados. ¿Lo ven, inscripto dentro del círculo azul que representa la órbita de la Tierra?

Acá está en detalle de unos dos meses, con las trayectorias pintadas más finitas para que se vea el efecto. Va pasando un poquito por fuera, un poquito por dentro de la órbita de la Tierra, pero curvándose siempre hacia el mismo lado, siempre hacia el Sol. Click para verla más grande; es un efecto sutil, se ve mejor en grande.

¿Y cómo lo sé? Hay varias maneras de mostrarlo. Creo que la más fácil es la siguiente. (Los que prefieran saltarse el cálculo pueden adelantarse clickeando aquí.) Supongamos que las órbitas son círculos (en lugar de elipses), lo cual es una aproximación razonable. En un movimiento circular la aceleración está relacionada con el radio del círculo y con la velocidad angular (las "vueltas por minuto") del movimiento. La Luna, en su viaje alrededor del Sol, está sujeta a dos movimientos de este tipo superpuestos. Uno grande y lento (acompañando a la Tierra) y el otro rápido y chiquito. Las dos aceleraciones son

\( \Omega^2 R\)  y  \( \omega^2 r, \)

donde R es el radio del círculo grande (la órbita terrestre), r el del círculo chico (la órbita de la Luna), Ω es la velocidad angular de la Tierra, y ω la de la Luna.

¿Quién produce estas aceleraciones? La fuerza de la gravedad, por supuesto. La del Sol en el primer caso y la de la Tierra en el segundo. Las dos actúan superpuestas sobre la Luna. ¿Y en qué dirección actúan? Cada una apunta hacia el cuerpo que produce la atracción. Así que cuando la Luna se encuentra en la posición de luna llena (opuesta a la Tierra) las aceleraciones se suman. Y cuando pasa por la luna nueva, las aceleraciones se restan. La curvatura de la trayectoria es producida por las dos aceleraciones superpuestas, en cada punto de la órbita. Así que para que la órbita sea siempre convexa (que siempre se curve hacia el Sol) es necesario que la aceleración siempre apunte hacia el Sol. En particular, el valor mínimo que tiene la aceleración (durante la luna nueva) tiene que apuntar hacia el Sol. En ese punto la aceleración es \(\Omega^2 R - \omega^2 r\), y necesitamos que sea mayor que cero:
\[ \Omega^2 R > \omega^2 r. \]Podríamos poner las velocidades angulares, pero déjenme hacerlo de otra manera: la Tercera Ley de Kepler nos permite convertir esta relación en una relación entre masas. Kepler dice que \(m\sim\omega^2 r^3\), donde \(m\) es la masa de la Tierra (y lo mismo con las mayúsculas y la masa del Sol). Si reemplazamos nos queda:
\[ \frac{M}{R^2} > \frac{m}{r^2}. \]Reagrupemos un poco esto. Si acomodamos r a la izquierda y el resto a la derecha, descubrimos que para que la Luna tenga una órbita convexa su distancia a la Tierra debe satisfacer:\[ r > R \sqrt{m/M}. \]Perfecto, esto lo podemos calcular inclusive para todos los satélites y planetas del sistema solar buscando los valores en una tabla. Tenemos:

Planeta	R√(m/M)	Satélite regular	más lejano	Satélite	más lejano
	(km)	(km)		(km)
Tierra:	259261	384400	Luna
Marte:	129508	23460	Deimos
Júpiter:	24054000	1882700	Calisto	29541000	S/2003 J2
Saturno:	24124000	3560820	Japeto	25108000	Fornjot
Urano:	18949400	583520	Oberón	20901000	Ferdinand
Neptuno:	32340000	117647	Proteo	48390000	Neso
Plutón:	480100	64780	Hydra

En la tabla vemos que todos los satélites regulares excepto la Luna se encuentran más cerca de su planeta que lo que establece este valor crítico, así que sus órbitas no son convexas. Y también vemos que los planetas gigantes tienen satélites irregulares con órbitas convexas. (Irregulares son satélites que orbitan su planeta "al revés", de manera "retrógrada", o muy inclinados; pasaron cerca y fueron capturados, no se formaron junto con el planeta.) Los 5 satélites de Plutón están dentro del umbral: se formaron durante la colisión que formó a Caronte. Los dos de Marte son capturados pero regulares, y se encuentran por debajo del umbral (no sabemos por qué).

En algún sentido, esta distancia parece establecer una frontera natural para la región de los satélites naturales de cada planeta. Un cuerpo por fuera de esta región no está del todo "ligado" al planeta, y tiene una fuerte tendencia a escaparse y tomar su propio camino alrededor del Sol. Así que no cabe esperar que haya muchos de éstos. Si uno grafica la cantidad de satélites que se encuentran a cada distancia obtiene algo así (pongo el caso de Júpiter que es el más claro):



A pesar de que hay un puñadito que están por fuera de la distancia que calculamos, vemos que hay una especie de barrera y que están casi todos adentro, amontonados a la distancia máxima. Estoy seguro de que esto significa algo relevante en la evolución de los sistemas de satélites. Conjeturo que, de los satélites capturados, los que se encuentran dentro de este radio tienen órbitas más estables, y tienden a permanecer más tiempo ligados al planeta. En cambio los que están por fuera no duran mucho. Por eso los vemos formando una barrera a esta distancia. Tal vez haya que tenerlo en cuenta cuando empecemos a buscar lunas alrededor de los planetas extrasolares.

¿Y la Luna? ¡La Luna está por fuera del r máximo! Así que su órbita es siempre convexa, como decíamos al principio. La Luna es la única, entre los satélites regulares, que tiene una órbita convexa. Pero si se formó junto con la Tierra, ¿cómo llegó tan lejos? ¿Y significa esto que la podemos perder? Bueno, sí. De hecho, la estamos perdiendo. La Luna se aleja de la Tierra muy lentamente, y finalmente podría escapar de la influencia de la Tierra. Y así como se está alejando, en el pasado estuvo más cerca. Mucho más cerca. Se calcula que se formó (a partir de un impacto descomunal cuando la Tierra era joven), a una décima parte de su distancia actual. Bien por dentro del r calculado. En aquella época su órbita no era siempre convexa, sino sinuosa y mucho más rápida.

Si conocen a algún astrónomo, pregúntenle cómo es la trayectoria de la Luna alrededor del Sol. Estoy seguro de que más de uno meterá la pata. Como en el caso de la órbita de Plutón, que comenté hace años.

Muerte y resurrección de la estrella

La semana pasada apareció una estrella nueva en el cielo, una "nova stella", una nova.  La descubrió un aficionado japonés, Koichi Itagaki, cuando brillaba con magnitud 6 (el límite de lo que puede verse a simple vista desde un lugar oscuro). Yo pude verla desde el balcón de casa recién en su tercer día, cuando se despejó el cielo. Ya brillaba con magnitud 5, todavía invisible a simple vista desde el centro de Bariloche, especialmente con la niebla que se estaba formando. En esta foto de campo ancho se la puede ver, pero sólo si la descargan y miran la imagen al 100%, porque reducida dentro del blogspot no creo que la puedan discernir.

La nova es fácil de encontrar en el cielo, usando como referencia las constelaciones del Delfín y la Flecha. Ambas son constelaciones de estrellas tenues, pero sus siluetas son fáciles de identificar con binoculares. La nova se encuentra en un campo sin otras estrellas brillantes, así que no hay problema en identificarla. Esta segunda foto, tomada la noche siguiente con una exposición más prolongada (1 minuto) muestra muchas más estrellas, y hasta la verde nebulosa planetaria Messier 27:

¿Cómo sabemos que es una estrella nueva? Bueno, por suerte siempre hay alguien que sacó una foto del mismo lugar del cielo antes de la aparición de la nova. Fíjense esta impresionante animación.

¿Y qué es una nova? ¿Son realmente estrellas nuevas? No. Son estrellas resucitadas. Casi todas las estrellas nacen en grupos más o menos grandes, que pueden tener entre una docena hasta miles de estrellas. Con el tiempo se dispersan, pero algunas quedan ligadas de a dos, girando una alrededor de otra. Hay muchas estrellas binarias de este tipo. En general una es más grande, más masiva que la otra. Y por esa razón quema su combustible más rápido, lo agota y empieza a extinguirse. Se convierte en gigante, se despoja de la mayor parte de su masa y expone al universo su núcleo moribundo, ya con poco hidrógeno para fusionar, enfriándose de a poco. Una enana blanca. (En la foto de arriba se ve casualmente la nebulosa M27, que es la parte expulsada de una estrella de este tipo.)

Pero, con el tiempo, a su compañera más liviana le empieza a pasar lo mismo: se convierte en gigante. Si la enana blanca está suficientemente cerca, parte de las capas exteriores (casi puro hidrógeno) de la gigante puede pasar a la enana, acumulándose de a poco en su superficie. Y, cuando se acumula una cantidad suficiente se produce una nueva (y breve) etapa de fusión de hidrógeno. Sólo que, en lugar de ocurrir en lo profundo del núcleo de una estrella, contenida por el peso de la inmensa masa de hidrógeno, ocurre en la superficie. Lo vemos como una explosión, un cataclismo termonuclear que hace aumentar el brillo de la estrella decenas de miles de veces en un santiamén. Después, a lo largo de semanas o meses, vuelve a extinguirse.

La explosión no destruye a la enana ni a la compañera, y el fenómeno puede repetirse a los pocos años. Se estima que en la Vía Láctea se producen varias decenas de novas por año, pero no se las ve a todas, naturalmente. En años recientes, con los instrumentos más modernos, se vienen descubriendo unas 10 por año. Pero la aparición de una tan brillante que pueda verse a simple vista es un fenómeno bastante inusual. En Wikipedia hay una lista con las más notables, 66 desde fines del siglo XIX. Son un puñado por década, y Nova Delphini 2013 está en lugar 19 por magnitud. Ojo, que la historia de Nova Del 2013 no está terminada. Durante las próximas semanas o meses novas como ésta (novas "lentas") pueden dar sorpresas. Ver esta nota en la AAVSO.

---

La imagen animada es de Ernesto Guido, Nello Ruocco y Nick Howes.

De vajillas y telescopios

Compré unos platos para la cocina de mi Grupo y, naturalmente, elegí el modelo Galaxia de Rigolleau. Miren qué belleza, parece Messier 74. Mientras luchaba para sacarle la etiqueta (¿con qué la pegan?) algo capturó mi atención. Nunca lo había visto fuera de un contexto astronómico. Y no me refiero al modelo.

Me encontré con esto. ¡El plato Galaxia está hecho de vidrio flint! Para la mayor parte de la gente, imagino, esto no significa gran cosa. Pero para un astrónomo aficionado el vidrio flint es un viejo conocido. Es un vidrio especial que se usa para hacer sistemas ópticos. No tenía idea de que también se usara para algo cotidiano como un plato. Parece que sí, pero nadie lo publicita en las etiquetas (busqué en la Web, y resulta que las lámparas eléctricas también son de vidrio flint, y probablemente muchos objetos más).

¿Qué es el vidrio flint? Hay varios tipos de vidrio. El más común es el llamado crown. A pesar de su nombre, no tiene coronita. Es el vidrio común de ventana. Hecho con arena de sílice, ceniza y caliza, se lo conoce desde la Antigüedad. Es el que usó Galileo para hacer las lentes de sus telescopios. Y, como todos sabemos, por un telescopio de Galileo se ve muy mal. ¿Por qué? Porque una lente no es como una ventana, cuyas superficies son paralelas. Una lente es más parecida a un prisma, con una parte gruesa y una parte fina. Y cuando la luz pasa por un prisma, ya sabemos lo que ocurre, aunque no sea la luz del lado oscuro de la Luna: el vidrio dispersa cada color de manera distinta, descomponiendo la luz blanca en un arco iris. Esto es una calamidad para un telescopio, una calamidad llamada aberración cromática.

El vidriero ingenioso se pregunta: ¿no se podría corregir este defecto, con una segunda lente que recomponga los colores? Sí, se podría. Una segunda lente, con la curvatura al revés, compensaría la dispersión de los colores. Una lente cóncava puesta detrás de una lente convexa, por ejemplo. Claro que esta segunda lente no tiene que tener el mismo poder de refracción que la primera, si no también se compensaría la refracción, y la lente se convertiría en una ventana. No se puede hacer un telescopio con una ventana. ¡Se necesita una lente!

He aquí que los vidrieros ingleses inventaron un nuevo tipo de vidrio: más duro, más denso, más brillante que el vidrio crown. ¡El vidrio flint! La diferencia consistía en reemplazar parte del calcio por plomo. Esto daba un vidrio precioso para hacer objetos decorativos, a punto tal que se lo llamó cristal (o cristal de plomo), a pesar de que no es un cristal sino un vidrio, desde el punto de vista de su estructura microscópica. Los conocidos adornos Swarovski son de vidrio de plomo, por ejemplo. Era muy difícil de fabricar, especialmente en calidad óptica, libre de imperfecciones y burbujas. Los vidrieros ingleses mantuvieron el secreto y tuvieron el monopolio durante más de un siglo, hasta que su industria languideció porque el Estado les imponía enormes retenciones a la exportación (toda Europa quería el cristal inglés). Finalmente fue reinventado por vidrieros del Continente. Algunos habrán leído en Viaje a las Estrellas la historia del vidriero suizo de mal carácter que Fraunhofer contrató para hacer sus famosos telescopios a principios del siglo XIX.

Bueno, pero me fui por las ramas. En mil setecientos treinta y pico un abogado de Londres, astrónomo aficionado, llamado Chester Moor Hall, se cansó de la aberración cromática y decidió hacer el intento con una lente compuesta de vidrio flint y vidrio crown (como la de aquí al lado). Hizo su diseño pero, consciente del valor de su invento si llegara a funcionar, le encargó las lentes a dos ópticos distintos. Estos dos, dueños de los mejores talleres de Londres, eran tipos súper ocupados. Su negocio no estaba en hacer lentes individuales, así que ambos subcontrataron el trabajo. ¡Y los dos se lo encargaron al mismo vidriero! El afortunado fue George Bass, que tenía un taller de segunda categoría. Aún ignorando que las dos lentes eran para un mismo cliente, de todas maneras Bass sospechó algo. Eran dos lentes encargadas el mismo día, del mismo tamaño, que se apoyaban perfectamente una sobre la otra. Mmmmm... Bass las talló y las pulió. Podemos imaginarlo tomando una con la mano izquierda y la otra con la mano derecha. Las superpone y mira a través. ¡Maravilla! ¡La aberración cromática había desaparecido!

Moor Hall no protegió su invento. Era un abogado exitoso, le bastaba con que su telescopio fuera el mejor del mundo. A Bass tampoco se le ocurrió sacar algún provecho. Parece inclusive que alguno de ellos se lo contó a algún amigo, porque de a poco varios talleres de Londres empezaron a fabricar estas lentes acromáticas. Hasta que Bass se lo contó, 20 años después de su invención, a su colega John Dollond, dueño de un muy exitoso taller. Dollond sí se dio cuenta del valor comercial del invento, y se apuró a patentarlo previa publicación en las Philosophical Transactions de la Royal Society (sin mencionar a Hall, ni a Bass, ni a Euler quien le había mandado por carta una idea similar). Parece que tenía ciertos escrúpulos, porque nunca se atrevió a exigir sus derechos de patente. Igual, con "su" invento, se convirtió en el óptico de los ricos y famosos, lo cubrieron de honores, premios y la mar en coche. Pero al morir John su hijo Peter echó los escrúpulos por la borda, persiguiendo ferozmente a los ópticos que usaban el diseño de su padre. Bah, el diseño de Moor Hall, fabricado por Bass, que se lo contó a su padre, quien lo patentó. Muchos talleres terminaron en la ruina, ya que las cortes sostuvieron la validez de la patente con argumentos tirados de los pelos, a pesar del testimonio de muchos ópticos, incluído el pobre Bass, quien fue llevado en silla de ruedas a contar la historia ante los jueces.

Finalmente la patente expiró y el precio de las lentes acromáticas cayó a la mitad. Fue una revolución en la construcción de telescopios. El taller del famoso Ramsden, cuyos oculares seguimos usando, floreció en esta época. Y como ya conté, el flint escapó del monopolio inglés a principios del siglo XIX, y los astrónomos de todo el mundo tuvieron acceso a telescopios acromáticos. Y pudieron ver el universo como nunca antes.

---

Me enteré de todo esto mientras investigaba para Viaje a las Estrellas, principalmente en The life and times of the telescope, de Fred Watson.

El universo a escala

Años luz. Parsecs. Millones de kilómetros. Trillones de kilómetros. El universo es gigante; los planetas, las estrellas y las distancias entre ellos están tan fuera de la escala humana que es muy difícil hacerse una idea. Uno puede quemarse las pestañas calculando kiloparsecs y mega años luz, y nada. Cree que lo entendió, pero no: la imagen mental seguro que es incorrecta.

Para ayudar a aprehender estos tamaños y estas distancias inhumanas no queda más recurso que hacer un modelo a escala. ¿Querés hacer tu propio modelo? ¡Acá te entrego el UNIVERS-O-MATIC, una calculadora de modelos del universo!

¿Cómo se usa? Lo único que hay que hacer es decidir el tamaño que va a tener el Sol en nuestro modelo. Lo ponemos en el casillero (en milímetros), y presionamos el botón. Las tablas se llenan de números que nos dan los tamaños y distancias de una selección de objetos del sistema solar y más allá. Además, para ayudar a la visualización (y a la construcción, por qué no) del modelo, se indican algunos objetos cotidianos con el tamaño aproximado. Si quieren más objetos, pídanlos en los comentarios.

UNIVERS-O-MATIC

Tamaño del Sol: mm

Si el Sol mide...

El sistema solar a escala

	Tamaño		Distancia desde el Sol
Mercurio:	--	--	--
Venus:	--	--	--
Tierra:	--	--	--
Luna:	--	--	--
Marte:	--	--	--
Júpiter:	--	--	--
Saturno:	--	--	--
Urano:	--	--	--
Neptuno:	--	--	--
Plutón:	--	--	--
Voyager 1:	--	--	--
Nube de Oort:	--	--	--

El resto del universo

	Tamaño		Distancia desde el sistema solar
Proxima:	--	--	--
Alfa Centauri A:	--	--	--
Alfa Centauri B:	--	--	--
Sirio:	--	--	--
Betelgeuse:	--	--	--
Nebulosa de Orión:	--	--	--
Cúmulo Ω Centauri:	--	--	--
Vía Láctea:	--	--	--

¿Cómo funciona? Es un programa escrito en JavaScript, incluído en esta misma página (pero invisible para ustedes). Funciona en cualquier navegador moderno (espero) que tenga JavaScript habilitado. No: JavaScript no es lo mismo que Java, ese otro lenguaje también popular en la Web hoy en día. No sé por qué tienen nombres tan parecidos.

¿Tiene sentido hacer realmente un modelo de este tipo? Tal vez sí. Vean éste, qué bonito, la Galaxia en un jardín. A esa escala el Sol con todas sus estrellas vecinas caben en una hoja. Es una obra de Jon Lomberg, famoso artista "espacial". La foto es suya, también.

---

¡Anote! Si quieren usar el script pueden tomarlo de aquí o pedírmelo amablemente. Sólo les pido que mencionen su origen y lo linkeen a En el cielo las estrellas. La imagen de Saturno con la Vía Láctea detrás está hecha con Celestia. El nombre UNIVERS-O-MATIC es un homenaje a Cortázar, en el cincuentenario de Rayuela, por analogía con el RAYUEL-O-MATIC descripto en La vuelta al día en 80 mundos.


UNIVERS-O-MATIC by Guillermo Abramson is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.

Sombras nada más...

Me encanta cuando un fenómeno físico aparece repetido con escalas muy diferentes, en situaciones aparentemente distintas. Hace algún tiempo comenté el caso de las espirales en las nubes, en el mar y en Saturno. Hoy tengo otro caso para mostrar.

Ésta es la Nebulosa Anillo (Messier 57), una preciosa nebulosa planetaria en la constelación de la Lira. Las nebulosas planetarias no tienen nada que ver con los planetas: el nombre les quedó por razones históricas, ya que sus primeros observadores notaron que tenían un aspecto de planeta vistas en el telescopio. Como podemos ver en esta foto tan detallada, no se trata de un planeta. Estas nebulosas son el resultado del final de la vida de algunas estrellas similares al Sol. Cuando empiezan a quedarse sin combustible se hinchan enormemente y expulsan la mayor parte de su materia en forma de vientos estelares. En una etapa posterior el núcleo supercaliente de la estrella queda desnudo, formando lo que se llama una enana blanca, que hace brillar por fluorescencia el material expulsado. Eso es lo que vemos en esta imagen: el "envoltorio" de una estrella moribunda alejándose de la enana blanca. Esta imagen es tan detallada que se distingue que este envoltorio no es una esfera extendiéndose por igual en todas direcciones. Estamos viendo más bien un tubo hueco, un barril, con unas escarpadas y rugosas paredes (la parte anaranjada) rodeando un espacio lleno de un material azul. Los distintos colores corresponden a la fluorescencia de distintas composiciones químicas.

La imagen del Telescopio Espacial Hubble fue combinada hace poco con la de un telescopio de radiación infrarroja (el Gran Telescopio Binocular) para formar esta imagen, que muestra la región más allá del anillo, unos pétalos rojo oscuros. Ese color es "representativo", ya que el infrarrojo, como lo esencial, es invisible a los ojos. La imagen original tiene unos abrumadores 6000 pixels de ancho, y pueden encontarla acá.

Éste es un recorte de la imagen completa. Se ven glóbulos más densos de gas, oscuros, que forman una estructura como de rayos de una rueda porque están siendo empujados y evaporados por la radiación de la estrella central. Clickear la imagen para agrandarla, como siempre.

Y ahora vean ésto. Es la región fuera del "acantilado" que forma la pared del barril. Se ven muchos más rayos que apuntan exactamente hacia la enana blanca, la estrella brillante blanco-azulada del medio de la nube azul. Se los ve mucho más continuos y longilíneos que los glóbulos radiales del medio. Bueno, ¡resulta que son sus sombras! Proyectadas en el material difuso exterior, vemos rayos de luz (infrarroja) y de sombra (infrarroja) correspondientes a las regiones más densas de la nebulosa, que obstruyen parte de la radiación estelar.

Es exactamente lo mismo que vemos al atardecer, cuando el Sol proyecta rayos y sombras crepusculares de los objetos del horizonte (nubes o montañas) sobre los vapores o polvo de nuestra atmósfera.

Son los rayos crepusculares de una estrella en el ocaso de su existencia. 

---

Las imágenes de M57 son de NASA/ESA/STScI/C.R. O'Dell (Vanderbilt University)/D. Thompson (Large Binocular Telescope Observatory). La publicación original es ésta. Recomiendo la nota y especialmente las imágenes de alta resolución. La foto del ocaso sobre el Cerro Catedral es mía.