El verdadero día de pi

En Estados Unidos se puso de moda celebrar el Día de Pi el 14 de marzo, porque ellos escriben las fechas al revés del resto del mundo, 3/14. Por supuesto, la celebración se extendió a otros países, de puro copiones. Pero 14/3 no tiene nada que ver con pi. Es mucho mejor hacerlo el 22 de julio, porque se escribe como corresponde: 22/7. Y como fracción, 22/7 = 3.142857... (periódico), que realmente es un valor cercano a pi = 3.1415926... Así que esta semana, celebremos el verdadero Día de Pi.

Ya hemos hablado sobre los decimales de pi, y sabemos que, a diferencia de 22/7, que tiene 6 decimales que se repiten, los decimales de pi no se repiten nunca. Vayan a leer esa nota y vuelvan, yo espero acá.

Más allá de que el desarrollo decimal de pi es infinito, ¿cuántos decimales de pi necesitamos realmente, en el mundo real? Sorprendentemente menos que los que imaginamos. Para la Biblia, pi vale 3. Es una aproximación medio grosera, pero a veces es suficiente. 22/7, la fecha de esta semana, es mucho mejor, ya que difiere de pi en menos de un 0.5%. En la escuela usábamos 3.1416, o incluso 3.14159, que tienen un error de menos de un milésimo por ciento. Los que seguimos carreras científicas, cuando aprendimos a programar, supimos que los números reales están representados, en la computadora, de manera aproximada. Y que cuando necesitábamos mucha precisión teníamos que usar lo que se llama "doble precisión", que nos asegura 16 decimales. Pi en doble precisión vale:

 pi = 3.14159265358979

¿Serán suficientes? Veamos.

Si calculamos la circunferencia de la Tierra usando pi en doble precisión, el error es de menos de 0.04 micrones. ¡Micrones! El error que produce la existencia del relieve terrestre, con montañas y valles, es mucho más. 

El error será mayor si queremos describir un círculo más grande. Por ejemplo, la órbita de la Tierra, si suponemos que es circular. Usando pi en doble precisión, el error en la longitud de la órbita es de un poquito menos de un milímetro. ¡Sigue siendo una buenísima aproximación! 

¿Qué pasará con un círculo del tamaño del sistema solar? Si queremos hacer viajes interplanetarios, por ejemplo, ¿podemos usar pi con doble precisión en los cálculos? En una circunferencia del tamaño de la órbita de Neptuno (unas 30 unidades astronómicas), el error es de unos 3 cm. No está mal. Vale decir, la NASA, para aterrizar una nave en un planeta, cosa que hacen con precisión de algunas decenas de metros, no necesita más que doble precisión.

Vayamos a un círculo más grande. Vayamos, directamente, al círculo más grande posible, con un radio de 46 mil millones de años luz, que es el radio del universo visible. Me da un error de menos de un milésimo de año luz. Son 3 mil millones de kilómetros, que parece mucho, pero es menos que el tamaño del sistema solar ¡en todo el universo!

 Feliz día de pi.

El día de Pi

Hace algunos años nació la moda de celebrar el Día de Pi, el famoso número, el 14 de marzo. La razón es que, en los Estados Unidos (y casi en ningún otro lugar de todo el planeta) designan las fechas poniendo el mes delante del día. Para ellos (y para casi ningún otro ser humano) el 14 de marzo es 3/14, una grafía similar al comienzo de 3.14159... que es el desarrollo decimal de pi. Yo propongo que en el resto del mundo, donde ponemos el día delante del mes (cosa mucho más sensata, además de recomendada por las Naciones Unidas), celebremos el Día de Pi el 22 de julio. Escrito como de costumbre, 22/7 es no sólo una fecha sino una fracción. Si hacemos el cálculo: 

22/7 = 22 ÷ 7 = 3.142857.... 

Veintidos séptimos es una excelente aproximación de pi, incluso mejor que 3.14. Difiere del valor exacto en un 0.04%, mientras que 3.14 se aparta un 0.05%.  Así que celebremos esta semana, el 22 de julio, el Día de Pi como corresponde.

Pi, como sabemos, tiene infinitos decimales. Las dos son aproximaciones: 3.14 y 3.142857, así como también la otra aproximación bien conocida, 3.1416. Con la calculadora de la computadora es facilísimo tener una mejor aproximación, que en Windows 11 tiene 31 decimales:

Hoy en día es fácil obtener más decimales todavía, por ejemplo en WolframAlpha poniendo "pi with 1000 decimals":

Cualquier número de decimales que usemos, siempre es mucho menos que infinito. ¿Cuántos decimales necesitamos? Por ejemplo, ¿cuántos decimales usa la NASA en sus cálculos para aterrizar un robot en Marte exactamente donde quieren ponerlo? Sorprendentemente, muchos menos que los que puede parecer. 

Pensemos en la distancia desde el Sol hasta la nave más lejana, la Voyager 1, que ha reanudado todas sus funciones científicas:

Son más de 24 mil millones de kilómetros al momento de escribir estas líneas. Digamos 24.5 miles de millones, para redondear. Imaginemos un círculo de ese radio, abarcando todo el sistema solar en su interior: es un círculo de unos 150 mil millones de kilómetros de circunferencia, 1000 unidades astronómicas. Si calculamos el valor usando 15 decimales de pi (lo que llamamos doble precisión en los lenguajes de programación científica), el error con respecto al valor exacto es de 1 cm. ¡Un centímetro en 1000 unidades astronómicas! Claramente, 15 decimales son suficientes para aterrizar un robot en cualquier lado del sistema solar con precisión de, digamos, metros.

Vayámonos al extremo: la circunferencia del universo observable. El radio del universo es 46 mil millones de años luz. ¿Cuántos decimales de pi necesitaríamos para calcular su circunferencia con precisión del tamaño de un átomo de hidrógeno? ¿Qué mejor precisión podríamos necesitar, eh? Resulta que hacen falta apenas 36 decimales, unos pocos más de los que nos da la calculadora de Windows:

3.141592653589793238462643383279502884

Ya he escrito antes sobre pi en el blog. Los invito a visitar aquella nota para más detalles que a mucha gente la intrigan sobre el número más famoso, en particular la cuestión de los infinitos dígitos.

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La ilustración del universo entero en escala radial logarítmica es de Unmismoobjetivo CC BY-SA.

El infinito, ida y vuelta

Me da un enorme gusto que la muestra El infinito, de mi amigo Pablo Bernasconi, esté nuevamente abierta al público. La puesta original, en Bariloche, quedó interrumpida en 2020 por la cuarentena covid. Desde el 15 de julio al 9 de octubre pueden disfrutarla nuevamente en el Centro Cultural de la Ciencia, en Buenos Aires.

Soy fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra, y participar en un conversatorio público con él en Bariloche. Volveremos a hacerlo el domingo 20 de agosto, en el C3. ¡Venite! 

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que ya conté, pero aprovecho la muestra de Pablo para repetirlo. El público se renueva.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Esto quiere decir que, como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. ¿Cómo verificarlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de niños y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada niño, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que juntarlos así con los naturales:

2 ↔ 1, 4 ↔ 2, 6 ↔ 3, 8 ↔ 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero). Tomá pa'vos.

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y lo mismo para todas las fracciones: entre 1/3  y 1/2 está 2/5, etc. Así que entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones. A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador dé 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y pueden ponerse en correlación con los números naturales así:

1/1 ↔ 1, 2/1 ↔ 2, 1/2 ↔ 3, 3/1 ↔ 4, 2/2 ↔ 5, 1/3 ↔ 6, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos una línea de 1 m de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 m del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 m del extremo, o sea a 0.333... m, otro que esté a pi centímetros = 0.0314159265358979... m, etc. Estos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número, y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o tan irregulares como los de pi. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista por ejemplo así:

1 ↔ 0.38602563078...
2 ↔ 0.57350762050...
3 ↔ 0.99156753207...
4 ↔ 0.25763200456...
5 ↔ 0.00005320562...
6 ↔ 0.99035638567...
7 ↔ 0.55522730567...
8 ↔ 0.05277365642...
... ↔ ...

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, podríamos elegir el número:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Este número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ₀, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ₀: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ₀. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.

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Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ₀ y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. 

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).

¡Al infinito y más allá!

El genial Pablo Bernasconi ha preparado una muestra sobre El Infinito, una especie de continuación participativa de su excelente libro. Podrá visitarse del 21 de febrero al 30 de abril, los viernes, sábados y domingos de 18 a 21, gratarola, en Soria Moria (Fundación INVAP, en Circuito Chico muy cerca de Puerto Pañuelo). Soy un fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra. ¡Además, tendremos una charla pública el 1 de marzo a las 19 hs! Los domingos sucesivos habrá más charlas. Habrá que anotarse porque el cupo es limitado, así que ya daremos detalles. La muestra será itinerante, y visitará otras ciudades durante el año.

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que hace rato tenía ganas de contar, así que aprovecho el envión que me dio la muestra de Bernasconi.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. Pero no: los dos infinitos son iguales. ¿Cómo saberlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de chicos  y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada chico, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que aparearlos con los naturales así:

2 ↔ 1, 4 ↔ 2, 6 ↔ 3, 8 ↔ 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero).

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y esto pasa para todas las fracciones. ¡Entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones! A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador de 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y puede ponerse en correlación con los números naturales:

1/1 ↔ 1, 2/1 ↔ 2, 1/2 ↔ 3, 3/1 ↔ 4, 2/2 ↔ 5, 1/3 ↔ 6, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos un segmentito de 1 cm de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 cm del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 cm del extremo, o sea a 0.3333... cm. Esos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número. Otros números serán, por ejemplo: 0.38250375632..., y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o si los dígitos nunca se repiten. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista del tipo:

1 ↔ 0.38602563078...
2 ↔ 0.57350762050...
3 ↔ 0.99156753207...
4 ↔ 0.25763200456...
5 ↔ 0.00005320562...
6 ↔ 0.99035638567...
7 ↔ 0.55522730567...
8 ↔ 0.05277365642...
... ↔ ...

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, para la lista de arriba podríamos poner:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Ese número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ₀, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ₀: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ₀. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y creó toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.

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Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ₀ y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. El título de mi nota no hace referencia a este libro sino, por supuesto, a la frase de Buzz Lightyear.

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).

And the Oscar goes to...

Nunquam praescriptos transibunt sidera fines.

Henri Poincaré

No es el que se entrega mañana: es otro premio, y otro Oscar. Corría 1885 y en el 89 el rey Oscar II de Suecia y Noruega cumpliría 60 años. "Vamos a tirar la casa por la ventana", dijo (o pudo haber dicho). ¿Qué mejor party planner que Gustaf Mittag-Leffler, su matemático favorito? Mittag-Leffler le dijo (o pudo haberle dicho) "¿Querés tirar la casa por la ventana? ¡Organicemos un concurso de matemática!". "¡Dale!", accedió Oscar. Unos fiesteros, estos suecos.

Así que convocaron a un concurso internacional, con un premio de 2500 coronas (el sueldo anual de profesor de Mittag-Leffler era de 7000 coronas). El jurado estaría formado por el propio Mittag-Leffler, más Karl Weierstrass de Berlín (el padre del cálculo moderno) y Charles Hermite de París. Dos capos mundiales indudables, para lustre del "premio Oscar". La convocatoria tenía cuatro preguntas, problemas muy difíciles para que los candidatos eligieran a discreción. Tenían tres años para hacerlo. La primera pregunta era un clásico: el problema de muchos cuerpos en interacción gravitatoria.

Newton había resuelto exactamente el caso de dos cuerpos atrayéndose mutuamente, demostrando que las órbitas eran las elipses de los planetas o las parábolas de los cometas. Pero el sistema solar tiene más de dos cuerpos en interacción. ¿Serían estables las órbitas elípticas que observamos en los planetas? ¿O podía la Tierra salir despedida hacia el espacio interestelar? ¿Eh? El propio Newton había observado que agregar apenas un solo cuerpo (el Sol, la Tierra y la Luna, por ejemplo) hacía el problema increíblemente difícil de analizar. Lagrange, 100 años después de Newton, logró resolver una versión simplificada: dos cuerpos grandes y uno pequeño, todos en un plano. Así descubrió la existencia de los puntos de Lagrange, que ya han aparecido por aquí. Habían pasado siglos, durante los cuales se produjeron grandes avances (la teoría de perturbaciones, por ejemplo), pero ni siquiera se sabía si el problema general tenía solución. El concurso especificaba de manera muy precisa lo que se pretendía:

Dado un número arbitrario de masas puntuales que se atraen unas a otras según la ley de Newton, y suponiendo que no chocan, encontrar desarrollos en serie de las coordenadas de cada partícula, que converjan uniformemente para todo tiempo.

Ninguna de las doce memorias recibidas resolvía por completo ninguno de los problemas planteados en la convocatoria. Cinco de ellas se ocupaban del problema de n cuerpos. Una de ellas era del joven Henri Poincaré, el más destacado matemático de la nueva generación. Estudiaba (como Lagrange) un problema restringido: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Su trabajo desarrollaba ideas y herramientas novedosas. En lugar de tratar de encontrar explícitamente las soluciones, Poincaré se enfocaba en el análisis de sus propiedades cualitativas, relacionadas con su estabilidad o inestabilidad. En particular, inventó un método que permitía estudiar una función del tiempo a intervalos discretos (una especie de visualización estroboscópica, que hoy se llama sección de Poincaré), para saber si las órbitas regresaban al mismo lugar, o si al menos se mantenían acotadas, o cómo se alejaban. Eran las bases de una nueva rama de la matemática, que hoy llamamos Teoría de los Sistemas Dinámicos. Su principal resultado, tras 300 páginas de novedosos desarrollos escritos en su característico estilo intuitivo y poco detallado, era que el movimiento de 3 cuerpos era estable. El jurado le pidió aclaraciones, que sumaron unas 100 páginas de apéndices, y tras varios meses de análisis concluyeron que los méritos del trabajo eran suficientes para otorgarle el premio real. Aseguraban que su publicación inauguraría "una nueva era en la historia de la mecánica celeste". Aplauso, medalla y 2500 coronas.

El trabajo sería publicado en la revista sueca Acta Mathematica. El editor recibió el manuscrito y empezó a escribirse con Poincaré pidiendo más y más aclaraciones. Pasaron meses, la publicación estaba lista, y un día Mittag-Leffler recibió un telegrama de Poincaré: "Encontré un error. Te mando una carta". ¡Paren las rotativas! Mittag-Leffler no pudo dormir esa noche. Al día siguiente llegó la carta: "¿Te acordás esas soluciones que eran estables? Son inestables" (en realidad dijo: no es verdad que las superficies asintóticas sean cerradas). ¡Aaaaaaahhhhhh!

Poincaré no sabía cuánto de su monografía se salvaría. ¿Todavía se merecía el premio? Mittag-Leffler se agarraba de los pelos. Muchas carreras prestigiosas estaban involucradas, la suya sin ir más lejos. ¡El honor de Weierstrass! ¡La corona sueca! ¡Sus adversarios se lo comerían vivo!

Mittag-Leffler decidió confiar en el joven Poincaré: le pidió que se pusiera a trabajar inmediatamente en una versión revisada y que en la introducción se hiciera el oso sobre el error. Él personalmente se encargaría de recolectar todas las versiones ya impresas (¡algunas ya distribuídas por Europa!). Lo hizo muy concienzudamente, ya que se conserva sólo una copia, la suya, con la inscripción "Toda la edición fue destruida. M.L." Lo más delicado fue convencer a los otros jurados. Le advirtió a Poincaré, eso sí, que le haría pagar la primera edición: 3500 coronas, así que Poincaré salió perdiendo plata.

La corazonada de Mittag-Leffler fue afortunada. Cuando llegó la versión revisada, era mucho mejor que la original. Poincaré había hecho algunas suposiciones precipitadas, pero gran parte del trabajo se sostenía. Lo crucial era la conclusión sobre la estabilidad, donde había saltado el error. Ahora había descubierto que el caos era inevitable, y para su caracterización era crucial su técnica estroboscópica. Poincaré había descubierto el caos determinista, que quedaría en animación suspendida hasta que lo redescubriera Edward Lorenz en la década de 1960, con las primeras computadoras, y tendría su gran desarrollo 20 años después.

No fue la única vez que Poincaré se adelantó a su tiempo: también fue el primero en observar la importancia de las simetrías en la física, y descubrió que las transformaciones de Lorentz (que formuló en su forma actual) dejaban invariantes a las ecuaciones de Maxwell. Tuvo la relatividad especial antes que Einstein, e incluso dedujo la existencia de las ondas gravitacionales. Dicen los especialistas que en cada sección de cada uno de sus papers hay una idea original. Capo total. Bueno, le horrorizaron los transfinitos de Cantor, de los cuales tengo planeado escribir algo en breve. Nadie es perfecto.

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Esta historia es archiconocida. Para refrescar detalles y encontrar imágenes revisé esta nota en el Instituto Mittag-Leffler de Suecia: From order to chaos. Las fotos son del rey Oscar II, y de Poincaré y Mittag-Leffler muchos años después (en 1906).

El epígrafe de la nota es el que usó Poincaré en su monografía: Los astros nunca atravesarán los confines prescriptos.

Mittag-Leffler fue un activo feminista, defensor de los derechos de las mujeres en la actividad académica. Logró que la Universidad de Estocolmo nombrara por primera vez en el mundo una profesora, la matemática Sofía Kovalevskaya. Como miembro de la Academia Sueca fue quien defendió que el Premio Nobel de Física de 1903 incluyera a María junto a Pierre Curie. Mittag era el apellido de su madre, que él agregó delante del paterno.

La imagen del atractor de Lorenz es de la Wikipedia, usuario Dan Quinn (CC BY-SA).

El fin de la aberración

El diseño de sistemas ópticos ha estado plagado de dificultades técnicas desde sus orígenes. Todos los astrónomos y los fotógrafos lo saben: es imposible liberarse por completo de las aberraciones, que son las diferencias entre el objeto y su imagen.

La primera aberración en ser corregida fue la aberración cromática. Cualquiera que haya jugado con un prisma sabe que el vidrio refracta cada color que compone la luz de manera distinta. La luz que atraviesa una lente también se descompone en colores, enfocándose cada uno en un punto distinto y produciendo imágenes de muy baja calidad. Para reducir la aberración cromática a niveles tolerables se necesita un sistema compuesto por dos lentes, cada una de un vidrio distinto (crown y flint), de manera que cada una compense la aberración de la otra. Estas lentes compuestas, llamadas acromáticas, fueron inventadas independientemente por los ópticos ingleses Moor Hall y Dollond a mediados del siglo XVIII; la historia es interesante y ya la conté aquí.

Me llamó la atención hace poco la solución definitiva, completa, perfecta y matemática, a otra aberración: la aberración esférica. Ésta produce imágenes desenfocadas, blandas y horribles. Por supuesto, existen también métodos para reducirla, siempre de manera aproximada. Además, cuanto menos aberración esférica tiene una lente, más cara es. Y aún así, cuando uno mira en las esquinas de la imagen... ¡aaaahhhh!

Resulta que dos físicos mexicanos, de la UNAM y Monterrey, han resuelto el problema de la aberración esférica, llamado problema de Wasswerman-Wolf: dada la superficie del frente de una lente, encontrar la superficie de atrás de manera que la imagen esté completamente  libre de aberración esférica. La solución es única, exacta y algebraica, y contiene el símbolo de raíz cuadrada más grande ever:

Junto a un tercer colega, inmediatamente encontraron la solución a otro problema, el de Levi-Civita: una lente libre de aberración esférica y astigmatismo. La demostración usa la técnica de variaciones que hemos comentado en otra ocasión. Esta es la visualización de un ejemplo, con una lente loca de forma arbitraria:



¿Desembocará esto en la fabricación de lentes asféricas mejores y más baratas que las actuales? Quizás. Ojalá. Astrónomos, microscopistas y fotógrafos estaremos agradecidos.

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Los artículos son:

González-Acuña and Chaparro-Romo, General formula for bi-aspheric singlet lens design free of spherical aberration, Appl. Opt. 57:9341-9345 (2018).

González-Acuña, Chaparro-Romo and Gutiérrez-Vega, General formula to design a freeform singlet free of spherical aberration and astigmatism, Appl. Opt. 58:1010-1015 (2019).

La ilustración de la aberración esferica es de Wikipedia, obra de MgIg. La fórmula la tomé de un artículo de divulgación del propio González-Acuña. El video es una visualización publicada por los autores como parte del segundo artículo.

Heh, un millón

En el Cielo las Estrellas celebra UN MILLÓN DE VISITAS. El evento ocurrió en las semanas antes del eclipse solar, así que no tuve ocasión de contarlo hasta ahora:

Muchas gracias a mi puñado de lectores.

Un millón. Es un número fácil de imaginar: mil por mil, un cuadrado de mil por mil. No es lo que llamaríamos una cifra astronómica. En Argentina, un auto mediano de medio pelo pronto costará un millón de pesos. Pero en el lenguaje cotidiano, un millón es una cifra enorme e indeterminada, como hemos repetido un millón de veces.

Para los pueblos antiguos, tal vez con una matemática bien desarrollada pero con menos pasión por cuantificar todo, un millón es prácticamente infinito. Les presento a Heh, dios egipcio del espacio y del tiempo infinitos. La palabra heh, y su jeroglífico, en el lenguaje y la escritura egipcia significan un millón. Y también el concepto de infinito, que tal vez para los egipcios fuera lo mismo. En su jeroglífico, Heh está representado semiarrodillado, con los brazos abiertos y en alto, sosteniendo el cielo como un Atlas: 𓁏. Un apropiado protector de la astronomía. Voy a colgar el jeroglífico de Heh en el Balseiro, en la entrada de las "aulas egipcias" (no, lamentablemente no tienen forma de pirámide).

Heh es uno de los ocho dioses primordiales, que en colisión cataclísmica produjeron el Sol y el comienzo del mundo. A veces se lo representa con cabeza de rana, que también en Occidente es un símbolo de la eternidad, vaya uno a saber por qué. En cada mano sostiene una hoja de palma, símbolos de una larga vida y del concepto "todo".

Como deseo de longevidad su representación es habitual en amuletos y en iconografía real. Está bellamente representado, por ejemplo, en el trono ceremonial de Tutankamón, el famoso rey que murió a los 18 años. Ironías del destino.

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La imagen de Heh es de Jeff Dahl (CC BY-SA 4.0).

La foto del trono es de Linda De Volder, de una reproducción de
The Cinquantenaire Museum Exhibition: Tutankhamun, his tomb and his treasures, Bruselas.

Espacio y tiempo

No, no voy a hablar de Relatividad. En general no me gusta repetir notas, pero hoy lo voy a hacer. Es que esta historia es muy buena, y cada vez que empezamos las clases de Mecánica Clásica me viene a la memoria y me da ganas de contarla de nuevo.

Atención: La nota de hoy contiene escenas de matemática explícita, que pueden afectar la sensibilidad de algunos lectores. Si Ud. sufre de matematicofobia, le recomiendo por ejemplo esta nota sobre la Noche Estrellada de van Gogh. Las fórmulas se ven bien en cualquier navegador. Si la recibís por email, mejor andá a verla en la web.

Más de uno recordará, de la escuela secundaria, el valor de la aceleración de la gravedad: 9.8 m/s². Es la intensidad de la atracción gravitatoria de la Tierra, la aceleración hacia abajo que experimenta cualquier objeto cerca de la superficie del planeta. Ahora agarren una calculadora y calculen: \(\pi^2\) = 9.8... ¡es casi el mismo número! Esto es muy raro, porque el valor de la aceleración de la gravedad depende del sistema de unidades, son nueve coma ocho metros por segundos al cuadrado, mientras que pi al cuadrado no depende de nada, es una constante matemática universal. ¿Es realmente una coincidencia, o se esconde algo detrás?

Se esconde algo, una historia interesante que resumiré drásticamente.

Galileo descubrió que el período de oscilación de un péndulo es constante: no depende de la amplitud de la oscilación (mientras ésta sea pequeña), ni de la masa suspendida, y sólo depende de la longitud del aparato (desde el punto de suspensión hasta el objeto pesado que pendula). Claramente un péndulo era un dispositivo ideal para medir el tiempo con precisión, un viejo anhelo desde la Antigüedad. En el siglo XVII el astrónomo holandés Christiaan Huygens, como ya contamos, puso manos a la obra e inventó el reloj de péndulo, que se convirtió en el instrumento más preciso para medir el tiempo hasta bien entrado el siglo XX.

El período de un péndulo, que se calcula de manera sencilla en todos los cursos elementales de Física, es una raíz cuadrada (si llegaron hasta acá, no se me van a echar atrás ahora):
\[
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
\]
En esta fórmula T es el período (es decir, el tiempo que tarda el peso en ir y volver: tic-tac-tic), L es la longitud y g es la aceleración de la gravedad. Vemos que si L vale 1 (en las unidades que sean), el péndulo tiene un período de 2 segundos si la aceleración de la gravedad vale \(\pi^2\) en esas mismas unidades (porque se simplifica el \(\pi\) del numerador con el del denominador...). Ese es el origen de la coincidencia.

El período del péndulo, al depender sólo de su longitud, relaciona además el espacio y el tiempo. La unidad de tiempo, el segundo, está basada en la duración del día, lo cual es, digamos, "natural". El péndulo se convirtió entonces en el candidato ideal para definir una unidad de longitud también "natural", en lugar de las unidades "antropomórficas" de pulgadas, pies, codos, palmos, pasos, etc, totalmente arbitrarias, definidas de manera distinta en cada país, que se usaban desde tiempo inmemorial.

Huygens y otros científicos del siglo XVII no tardaron en observar que un péndulo que tarda un segundo en llegar de un extremo al otro de su oscilación (es decir, un período de dos segundos), tenía una longitud confortablemente a escala humana: unas 39 pulgadas. Y propusieron la definición de la unidad de longitud basada en este fenómeno: la longitud de un péndulo que, entre el tic y el tac, dejara pasar un segundo exacto.

¡Era una excelente idea! La Royal Society la apoyó rápidamente: se lo llamó seconds pendulum. Hubo propuestas similares en Francia y en Italia, donde un tal Tito Livio Buratini propuso llamar "metro" a la nueva unidad. Los avances tecnológicos a lo largo del siglo XVIII, con la Revolución Industrial, permitieron construir péndulos y relojes cada vez más precisos. Pero pasó el tiempo y no se llegó a ninguna decisión acerca de la unidad de longitud.

¿Y qué pasó con el metro? Finalmente, durante la Revolución Francesa, se estandarizaron las unidades de medida. La Asamblea consideró la longitud basada en el seconds pendulum, pero finalmente adoptó el famoso diezmillonésimo de cuarto del meridiano de París como definición del metro (del mismo tamaño que el del péndulo de 1 segundo). Más tarde lo inmortalizaron con dos rayitas marcadas en una barra de platino-iridio que guardaron bajo siete llaves. La propuesta de usar el péndulo fue abandonada porque el dispositivo dependía del lugar de la Tierra donde se lo usara. Además, a alguna gente le molestaba la cuestión de definir la unidad de longitud en base a una unidad de tiempo.

El segundo contraataca. La historia no terminó allí. Los propulsores de definir el metro basándose en el segundo tuvieron su vindicación. Durante el siglo XX se redefinió el segundo, usando un fenómeno atómico en el que se basan los relojes más precisos de hoy en día. Y finalmente se redefinió el metro. No en base al movimiento de un péndulo, sino en base a otro fenómeno que liga el espacio y el tiempo de manera absoluta, la velocidad de la luz en el vacío. Estableciendo que esta velocidad es exactamente 299 792 458 metros por segundo es como se define hoy en día el metro. Es decir, un metro es la distancia que recorre un rayo de luz en 1 / 299 792 458 segundos. Parece algo mucho más complicado que un péndulo, pero en realidad es algo muy sencillo de medir en los laboratorios modernos, de manera que en todos los países se puede usar la misma unidad de longitud sin necesidad de viajar a París...

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Notas varias... 

El período (ver la fórmula de arriba) depende de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad. Un péndulo muy preciso sirve para medir la aceleración de la gravedad, que puede variar de manera minúscula a lo largo de la superficie de la Tierra debido a la forma achatada del planeta, las montañas, las rocas de distinta densidad... Se convierte en un instrumento de geodesia de precisión. Muchos astrónomos (gente particularmente interesada en medir con exactitud el tiempo) se involucraron en la teoría y aplicaciones del seconds pendulum y la geodesia. Uno de ellos fue Bessel, el ganador de la carrera para medir la distancia a las estrellas que conté en Viaje a las Estrellas. De hecho, me enteré de estos temas mientras investigaba sobre la vida de Bessel para Viaje a las Estrellas. La mayor parte de lo que cuento aquí está en este trabajo: Why does the meter beat the second? de P. Agnoli y G. D'Agostini.

El minuto y el segundo también fueron inventos de los astrónomos (durante la Edad Media), basados en la división sexagesimal de los grados del círculo que, como las 24 horas del día, habíamos recibido de Babilonia.

Las naranjas de Kepler

Desde hace meses tenía agendado escribir algo sobre este asunto, y de golpe, el 10 de agosto, se produjo una novedad sensacional. Así que me alegro de haberlo postergado. Se trata de la demostración de la Conjetura de Kepler. Es un problema de geometría que ha llevado 403 años zanjar, desde que nuestro viejo conocido Johannes Kepler, el descubridor de las leyes del movimiento planetario, lo planteó en 1611.

El problema es muy sencillo de formular: si uno tiene una cantidad de esferas iguales, ¿cómo hay que acomodarlas para que ocupen el menor espacio posible? Por ejemplo, si tengo que empaquetar naranjas, ¿cómo las acomodo para que me entre la mayor cantidad en un cajón?

Uno puede preguntarse cómo llegó Kepler, un astrónomo, a semejante cuestión. La verdad que no lo sé. Aparentemente el problema surgió en un intercambio epistolar con el astrónomo inglés Thomas Harriot, quien puede (o no) haber apuntado su telescopio a la Luna algunos meses antes que Galileo. Todo tiene que ver con todo.

Kepler conjeturó que la mejor manera de acomodar las naranjas era el empaquetamiento que hoy llamamos fcc (face-centered cubic), familiar a cualquier estudiante de física porque hay substancias que acomodan sus átomos en una red cristalina de esta manera. La red fcc aprovecha el espacio en un 74%. Es decir, el espacio vacío entre las naranjas es apenas un 26% del total.

Kepler conjeturó que este empaquetamiento era el óptimo, pero no pudo probarlo. Doscientos años pasaron, doscientos años de frustración y desesperanza para generaciones de verduleros y artilleros, que no sabían cómo acomodar las naranjas y las balas de cañón (respectivamente). El primer avance significativo hacia una solución lo consiguió Gauss, el príncipe de las matemáticas, quien pudo demostrar que, efectivamente, la red fcc es óptima para cualquier arreglo regular de las esferas. Quedaba una cuestión que, con ser menor, demostró ser muy peliaguda: ¿no habría alguna manera irregular de acomodar mejor las naranjas?

Durante el siglo XX la red fcc tuvo finalmente su gloria. Como anticipé, resultó ser uno de los sistemas cristalográficos en que se acomodan los átomos (una red de Bravais, se dice). El cloruro de sodio, la familiar sal de cocina, cristaliza acomodando sus cloros y sus sodios de esta manera (ver la nota al pie...). Durante la década de 1970 un ingeniero llamado Gordon Lang usó una generalización del problema a 8 dimensiones para diseñar un módem que permitió transmitir paquetes de datos por las ubicuas redes de cables telefónicos (en lugar de instalar redes de datos especializadas) abriendo la Internet al mundo. Todo tiene que ver con todo...

En 1998, un matemático llamado Thomas Hales (continuando ideas del húngaro Lászlo Fejes Tóth, algún día tengo que contar un chiste sobre Fejes Toth, Eördos, y otros matemáticos húngaros), Hales, decía, demostró que la conjetura de Kepler era "muy probablemente cierta". Su demostración involucraba un gigantesco cálculo computacional, lo cual le restaba valor formal a la prueba. Pocos años después, el propio Hales inició un programa para completar una verdadera prueba formal de la conjetura. También usando computadoras, pero de otra manera, usando más bien su poder de cálculo lógico que numérico. El 10 de agosto de 2014 el proyecto, llamado Flyspeck, anunció la finalización exitosa del programa. El cálculo llevó 6 días y medio de cómputo. ¡Un poco anticlimático para un problema de 400 años!

Como se ve en la serie de fotos que improvisé con bolitas, hay dos maneras de apilar esferas de manera muy parecida. Las dos tienen el mismo factor de empaquetamiento, 74%. Tal como apreció Kepler, el truco es que cada capa forme una red hexagonal, con cada esfera tocando a seis a su alrededor. La capa siguiente, para no desperdiciar espacio, se acomoda con las bolitas en los huecos de la capa de abajo, tocando tres. La diferencia está en la tercera capa. Si lo intentan se darán cuenta: hay dos tipos de huecos entre las bolitas de la segunda capa. Hay huecos sobre bolitas de la primera, y huecos sobre huecos. Las bolitas de la tercera capa pueden ir directamente sobre bolitas de la primera capa (fcc hcp, hexagonal close packing) o sobre huecos (hcp fcc). (¡Gracias a Nico Borda, que me hizo notar que las había puesto al revés!)

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Notas...

El aficionado a la química no dejará de notar que los átomos de cloro y de sodio son de distinto tamaño, contradiciendo la condición de que las esferas sean iguales. Pasa que los cloros forman una fcc por su lado, y los sodios otra por el suyo, y ambas fcc's se intercalan bellamente.

La nota que me motivó inicialmente para escribir sobre la conjetura de Kepler fue The unplanned impact of Mathematics, de Peter Rowlet (Nature, 475, 14 july 2011), que está muy buena. De allí está tomada la ilustración, que es de David Parkins. La noticia de la demostración reciente me la dio Gabriela.

La vida de Pi

¿Quién no recuerda al número π (pi), la constante más famosa de la Matemática? Cada tanto me preguntan sobre pi, cuánto vale, si es infinito, por qué no lo conocemos exactamente, por qué es tan importante, y un largo etcétera. Aclarando anticipadamente que los físicos estudiamos estos temas de manera mucho más superficial que los matemáticos, voy a decir un par de cosas sobre el tema. Y voy a poner "pi" en lugar de π porque no me gusta la letra griega que imprime esta tipografía de blogspot.

¿Pi es infinito?

No. Pi es un número finito. Una cantidad infinita es lo siguiente: si tomo otro número, este nuevo número es menor que el primero. Y esto debe pasar para todos y cualquier número que pueda elegir. Cualquiera cualquiera cualquiera. ¿Pasa esto con Pi? No. Tomo el número 2. Dos es menor que pi, fenómeno. Tomo el número 4. Cuatro es mayor que pi. Zas. Listo. Pi no es infinito.

¿Pero, no dicen que tiene infinitos decimales?

Esto es otra cosa. Efectivamente, hay números que, en su desarrollo decimal (la representación de los números que aprendemos en la escuela) tienen infinitos decimales. Algo que uno no aprende en la escuela es que la representación decimal no es lo mismo que el número. Hoy en día, a lo mejor, una persona que reflexiona sobre el tema aun sin haberlo estudiado en la Facu sospecha esto, porque existe otra representación que se ha vuelto popular: la representación binaria, la que se usa en las computadoras modernas. Pi en representación binaria es 11.00100100001111...

En todo caso, lo que vale la pena decir es que pi es un número irracional. Esto significa que no es igual a ninguna fracción de números enteros, tipo 22/7 (que difiere de pi menos de un 0.1%). NINGUNA. No existen números enteros tales que su cociente sea igual a pi. Esto es una verdad matemática, es decir, ha sido demostrado como teorema matemático (como la infinitud de los números primos, de la que ya hemos hablado). Como consecuencia de esto, la representación decimal de pi tiene infinitos decimales. Esto (a diferencia de lo anterior, la irracionalidad) es trivial: si tuviera finitos decimales, por ejemplo 3.14159 y basta, entonces pi sería igual a 314259/100000, y esto no es verdad por el teorema.

Ojo: Si es irracional, entonces tiene infinitos decimales. Al revés, no. Hay números cuya representación decimal tiene infinitos decimales, pero son cociente de números enteros. Por ejemplo, 1/3 = 0.333333.... sin fin. Lo mismo 1/7 = 0.142857142857142857.... Etcétera. Son los desarrollos decimales que en la escuela llamábamos periódicos. La diferencia es que en un número irracional no hay repetición de ninguna cadena de cifras. La única representación es la completa.

Ojo bis: Una voz de alerta sobre el hecho importante de que la representación decimal no es lo mismo que el número, es el hecho de que algunos números tienen dos representaciones decimales distintas.  El mismo número, eh. Por ejemplo, 0.99... (cero punto nueve nueve sin fin), representa el mismo número que 1.00... (uno punto cero cero sin fin). Ambos desarrollos decimales representan el número 1. Ojo al cuadrado: Esto no es lo mismo que decir que 0.99 y basta (dos decimales) es aproximadamente igual a 1. Dije 0.99... sin fin. Ése número es el 1.

¿Hasta qué punto se ha logrado determinar pi?

De nuevo: una cosa es el número, otra es su representación decimal. Pi es un número muy bien conocido, se conocen tanto sus propiedades como muchas maneras de calcularlo. En muchos sentidos, conocemos pi exactamente. No se trata de una frontera del conocimiento ni nada por el estilo. Por ejemplo, sabemos que pi es un número computable, a pesar de ser irracional. Es decir, un programa de computadora finito, que uno puede escribir en una hoja de papel, puede calcular todos sus decimales, uno tras otro, sin problema. Nunca terminará, por supuesto. Pero esa no es la cuestión. Hay otros números para los cuales no existe un programa capaz de calcularlos. No que no conocemos tal programa: no existe, no puede existir. Es muy loco. Es una de las grandes contribuciones de Alan Turing, de quien ya hemos hablado.

Hay muchas series (sumas de infinitos términos, pero que se pueden expresar de manera compacta dando un término general) que son iguales a pi. En un sentido, esas series son pi. En otro sentido, esas series son las que se usan para calcular pi. Por ejemplo:

pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...

Fíjense que no hay nada raro, ni misterioso, ni desconocido en esa serie. No hay que ir calculando incógnitas a cada paso, ni nada por el estilo. Un niño de 8 años podría ir calculando, agregando términos sin parar. En los numeradores está siempre el número 4, en los denominadores los impares en orden, y los signos se alternan. Y punto. Tenés para entretenerte hasta el Día del Arquero.

Usando series como ésa se calculan decimales de la representación de pi, que tienen propiedades interesantes. Por ejemplo, algunas series "convergen más rápido", es decir van dando los decimales correctos sumando menos términos. Y hay también otras maneras, siempre así "iterativas", de calcular decimales. Se conocen, no sé, trillones de decimales. Hoy en día cualquiera puede hacerlo. En mi computadora (acabo de probar) tardé 1 segundo en calcular y mostrar un millón de decimales (y la mayor parte de ese segundo debe haber sido el tiempo que el programa tardó en imprimirlos en la pantalla).

¿Qué ocurre con el número φ (phi, o fi)?

Phi es otro número irracional, mucho menos famoso que pi, y que aparece en otros contextos. Por la misma razón su representación decimal tiene infinitos decimales. También es computable, así que lo podemos calcular sin ninguna "indeterminación".

Así de raros como parecen, los números irracionales son la mayor parte de los números. Holgadamente. Hay muchísimos más números irracionales que números racionales (que son las fracciones de enteros). No hay mayor misterio en ellos, a pesar de lo que querían creer los Pitagóricos (que descubrieron su existencia, otro día cuento esto). Sólo tienen propiedades diferentes y, muchas veces, sorprendentes.

¿Qué determina cuántos dígitos conocemos?

Si el número es computable, esa cantidad está determinada sólo por las ganas de calcular: no hay límite para la cantidad de dígitos que pueden calcularse. Por esa razón, en el caso de pi, a lo largo de la Historia ese número ha ido aumentando. Ninguna aplicación científica requiere más de un par de docenas de decimales de pi. Los motivos han sido otros, pero siempre alguien quiso conocer algún decimal más, no sé, para ganar una apuesta, mostrárselo a la novia, regodearse en su capacidad de cálculo, probar una nueva computadora antes de diseñar un arma de destrucción masiva, lo que fuere. Como dije: no hay nada misterioso en esa cantidad de dígitos, no es una "frontera del conocimiento humano", no comienza la Era del Diezmillonésimo Dígito, no es una revolución científica ni nada por el estilo.

¿Por qué es tan importante?

No estoy muy seguro. Pero su definición, que expresa la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro, evidentemente lo conecta con la trigonometría, y las propiedades de círculos, elipses y tantas otras curvas que aparecen en las leyes naturales. Así que pi aparece por todos lados en la ciencia, incluyendo la Física, la Estadística y otras ciencias inesperadas además de la Teoría de los Números...  

Bueno, después de tanto abuso de italics y bold me cansé. Hay más cosas para contar sobre pi, simpáticas e interesantes. Pero sigo otro día.

Pi cuadrado

Atención: La nota de hoy contiene escenas de matemática explícita, que pueden afectar la sensibilidad de algunos lectores. Si Ud. sufre de matematicofobia, le recomiendo por ejemplo esta nota sobre las sondas Voyager, que tiene cierta actualidad a la luz de noticias recientes.

Más de uno recordará, de la escuela secundaria, el valor de la aceleración de la gravedad: 9.8 m/s². Es la intensidad de la atracción gravitatoria de la Tierra, la aceleración que experimenta cualquier objeto cerca de la superficie del planeta. Siempre me pareció una rara coincidencia que ese valor fuera tan parecido a \(\pi^2\) = 9.8... Lo curioso es que el valor de la aceleración de la gravedad depende del sistema de unidades, son nueve coma ocho metros por segundos al cuadrado, mientras que pi al cuadrado no depende de nada, es una constante matemática universal. ¿Es realmente una coincidencia, o se esconde algo detrás?

Se esconde algo, una historia interesante que resumiré drásticamente así pueden ir a comprar pan dulce.

El péndulo. Galileo había descubierto que el período de oscilación de un péndulo es constante: no depende de la amplitud de la oscilación (mientras ésta sea pequeña), ni de la masa suspendida, y sólo depende de la longitud del aparato—desde el punto de suspensión hasta el objeto pesado que pendula. Estaba claro que un péndulo era un dispositivo ideal para medir el tiempo con precisión, un viejo anhelo desde la Antigüedad. En el siglo XVII el astrónomo holandés Christiaan Huygens, como ya contamos, puso manos a la obra e inventó el reloj de péndulo, que se convirtió en el instrumento más preciso para medir el tiempo hasta bien entrado el siglo XX.

El período de un péndulo, que se calcula de manera sencilla en todos los cursos elementales de Física, es una raíz cuadrada (si llegaron hasta acá, no se me van a echar atrás ahora):
\[
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
\]
donde T es el período (es decir, el tiempo que tarda el peso en ir y volver: tic-tac-tic), L es la longitud y g es la aceleración de la gravedad. En esta fórmula vemos que si L vale 1 (en las unidades que sean), el péndulo tiene un período de 2 segundos si la aceleración de la gravedad vale \(\pi^2\) en esas unidades (porque se simplifica el \(\pi\) del numerador con el del denominador...). Ese es el origen de la coincidencia...

Espacio y tiempo. El período del péndulo, al depender sólo de su longitud, relacionaba además el espacio y el tiempo. La unidad de tiempo, el segundo, está basada en la duración del día, lo cual es, digamos, "natural". El péndulo se convirtió entonces en el candidato ideal para definir una unidad de longitud también "natural", en lugar de las unidades "antropomórficas" de pulgadas, pies, codos, palmos, pasos, etc, totalmente arbitrarias, definidas de manera distinta en cada país, que se usaban desde tiempo inmemorial.

El propio Huygens, y luego otros científicos del siglo XVII, no tardaron en observar que un péndulo que tarda un segundo en llegar de un extremo al otro de su oscilación (es decir, un período de dos segundos), tenía una longitud confortablemente a escala humana: unas 39 pulgadas. Y propusieron la definición de la unidad de longitud basada en este fenómeno: la longitud de un péndulo que, entre el tic y el tac, dejara pasar un segundo exacto. Se lo llamó seconds pendulum (en inglés).

Enter the meter. Era una excelente idea, y la Royal Society la apoyó rápidamente. Se sucedieron propuestas similares en Francia y en Italia, donde un tal Tito Livio Buratini propuso llamar "metro" a la nueva unidad. Pasó el tiempo, sin embargo, sin que se llegara a una decisión. Lo cual no estuvo mal, ya que los avances tecnológicos que se sucedieron a lo largo del siglo XVIII, con la Revolución Industrial, permitieron construir péndulos y relojes cada vez más precisos.

Abro paréntesis. A propósito, noten que el período, como muestra la fórmula de arriba, no sólo depende de la longitud del péndulo, sino de la aceleración de la gravedad. Si construimos un péndulo muy preciso podemos usarlo para medir la aceleración de la gravedad, que puede variar de manera minúscula a lo largo de la superficie de la Tierra debido a la forma achatada del planeta, a montañas, a valles, a la existencia de rocas de distinta densidad... Es decir, se convierte en un instrumento de geodesia de precisión. El nombre de muchos astrónomos (gente particularmente interesada en medir con exactitud el tiempo), aparece ligado al uso del seconds pendulum y la medición de la Tierra. Uno de ellos fue Bessel, el ganador de la carrera para medir la distancia a las estrellas que conté en Viaje a las Estrellas. Existe un péndulo de Bessel, mejor que el de Kater que incontables alumnos de Física hemos usado en el laboratorio de física experimental. Uno de estos años voy a proponer comparar el desempeño de ambos en el Balseiro. Cierro paréntesis.

¿Y qué pasó con el metro? Finalmente, durante la Revolución Francesa, se estandarizaron las unidades de medida. La Asamblea consideró la longitud basada en el péndulo, pero finalmente adoptó el famoso diezmillonésimo de cuarto del meridiano de París como definición del metro, más tarde inmortalizado con dos rayitas marcadas en una barra de platino-iridio que guardaron bajo siete llaves. La propuesta de usar el seconds pendulum fue abandonada justamente porque el dispositivo dependía del lugar de la Tierra donde se lo usara. Además, definía la unidad de longitud en base a una unidad de tiempo, cosa que a alguna gente le molestaba.

El segundo contraataca. La historia no terminó allí. Los propulsores de definir el metro basándose en el segundo tuvieron su vindicación. Durante el siglo XX se redefinió el segundo, usando un fenómeno atómico en el que se basan los relojes más precisos de hoy en día. Y finalmente se redefinió el metro. No en base al movimiento de un péndulo, sino en base a otro fenómeno que liga el espacio y el tiempo de manera absoluta, la velocidad de la luz en el vacío. Estableciendo que esta velocidad es exactamente 299 792 458 metros por segundo es como se define hoy en día el metro. Es decir, un metro es la distancia que recorre un rayo de luz en 1 / 299 792 458 segundos. Parece algo mucho más complicado que un péndulo, pero en realidad es algo muy sencillo de medir en los laboratorios de hoy en día, de manera que en todos los países se puede usar la misma unidad de longitud sin necesidad de viajar a París...

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Notas varias... 

Me enteré de estos temas mientras investigaba sobre la vida de Bessel para Viaje a las Estrellas. Luego leí la mayor parte de lo que cuento aquí en este trabajo: Why does the meter beat the second? de P. Agnoli y G. D'Agostini.

El minuto y el segundo fueron un invento medieval de los astrónomos, basado en la división sexagesimal de los grados del círculo que, como las 24 horas del día, habíamos recibido de Babilonia.

He configurado el blog para poder escribir fórmulas y ecuaciones mejor formateadas, como esa preciosa raíz cuadrada del período del péndulo. Espero que les guste a mis lectores...