La gran estrella del sur

Fuimos a ver Dune: Part Two. Arrakis, el planeta Duna, está en órbita de Canopus. Si bien el primer libro de Frank Herbert no da más detalles, The Dune Encyclopedia nos informa que Canopus es una estrella blanca de la secuencia principal, un poquito mayor que el Sol, de magnitud absoluta -3 y con seis planetas en órbita. Arrakis es el tercero, a 87 millones de kilómetros. La Encyclopedia, así como otras fuentes similares, dan una cantidad de datos adicionales que vamos a ignorar por el momento.

Canopus, por supuesto, es una estrella verdadera, que todos los aficionados del hemisferio sur sabemos identificar. Es la segunda estrella más brillante del cielo nocturno, apenas la mitad de brillante que Sirio, y efectivamente es blanca. ¿Tiene algún sentido que sea la estrella de Arrakis?

Me temo que no. Canopus no es una estrella de la secuencia principal (de las que fusionan hidrógeno en sus núcleos). Es, en cambio, de una de las clases más raras que existen: es una supergigante amarilla, la más cercana de su tipo al sistema solar. Son raras porque es una etapa muy breve de algunas estrellas más masivas que el Sol. Son muy grandes y luminosas, y fusionan helio en el núcleo como las gigantes y supergigantes rojas. 

Un paper relativamente reciente usa observaciones de Canopus hechas con varios instrumentos del Telescopio Muy Grande, del ESO, para calcular sus parámetros fundamentales. Nuestra Canopus definitivamente no es la Canopus de Duna. Nuestra Canopus es 73 veces más grande que el Sol, 4200 veces más luminosa y 9 veces más pesada. Según los autores, Canopus estaría en la región señalada como blue loop en el gráfico de arriba (las supergigantes amarillas que están en la franja de inestabilidad son generalmente variables cefeidas, como Polaris). Al consumir el helio de sus núcleos las supergigantes amarillas entran en la rama asintótica y poco después se convierten en nebulosas planetarias. Pero la masa de Canopus está en el límite inferior de las que explotan como supernova, así que quién sabe. En una de esas explota, y termina diseminando toda la especia en el medio interestelar. Cosa de locos.

Con esas características, a 87 millones de kilómetros Arrakis estaría calcinado. Está bien que es un desierto caliente, pero no taaan caliente. Digamos que tiene una insolación como Venus, que está en el borde interior de la zona de habitabilidad del Sol. Venus está a 0.7 unidades astronómicas del Sol, así que Arrakis debería estar a \(0.7\times\sqrt{4200} = 45\) unidades astronómicas de Canopus: más o menos como Plutón. O sea, podría ser. El Sol, a 45 unidades astronómicas, se ve muy chiquito. Pero Canopus es más grande, 73 veces más grande. Así que desde esa distancia se vería 1.6 veces más grande que el Sol en nuestro cielo, o sea casi igual. Tal como lo vemos en la película. Con una temperatura superficial de 7800 grados, Canopus es más blanca que el Sol, pero Arrakis es un planeta muy polvoriento, así que perfectamente podríamos verlo como en la película. 

Tengo pocas fotos de Canopus, y de hecho hay pocas fotos de astroaficionados en la web. Pero tengo ésta, que ya mostré, en la que procuré capturar el punto de fuga del Brazo Local de la Vía Láctea:

A la izquierda está Carina, tan abundante en cúmulos estelares y nebulosas, y a la derecha el Can Mayor. Canopus (Alfa Carinae) está en medio, algo alejada de la Vía Láctea. Curiosamente, y ya que en la foto salió el Can Mayor, aprovecho para mencionar que Wezen, la estrella brillante del cuarto trasero del perro, también es una supergigante amarilla.

Aprovechen a verlas antes de que pase el verano, y antes de que pase la moda de Duna.  

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La imagen de Arrakis es de Dune Part Two (Legendary/Warner Bros). La tomé de un wallpaper, no sé si es original de la película o dibujada por un fan. 

El paper es Domiciano de Souza et al., Refined fundamental parameters of Canopus from combined
near-IR interferometry and spectral energy distribution, A&A 654:A19 (2021). 

El diagrama de evolución estelar está basado en uno de Wikipedia (usuario Lithopsian, CC-BY-SA). Corresponde a una estrella de 5 masas solares, un poco más liviana que Canopus. Pero el que está en el paper es más técnico y menos claro.

El nombre de Canopus es de origen griego: era el piloto del barco del rey Menelao, el marido de Helena. Murió al regresar de Troya, en el delta del Nilo, donde hay un puerto con su nombre. Helena lloró su muerte y de sus lágrimas surgió una planta llamada helenio. Otras conexiones de la Guerra de Troya con la astronomía ya han aparecido en el blog.

Curiosamente, existe una estrella llamada Arrakis. Es el nombre árabe (significa bailarín) de Mu Draconis. La IUA adoptó la variación Alrakis como nombre oficial. ¿Habrá sido para evitar confusión con el planeta de la ficción?

La vida, el Big Bang, y todo lo demás

Douglas Adams fue un extraordinario humorista y autor, nacido en Cambridge y alumno de St. John's College. 

Hace poco hubo una exposición en la hermosa Old Library del College, que generalmente no está abierta al público. Se exhibieron una cantidad de reliquias: su oso de peluche, su primer relato publicado a los 12 años, una carta a un productor donde le cuenta el guión para la producción radial de The Hitchhiker's Guide to the Galaxy:

Los fans de Adams entenderán qué genial fue ver este tipo de cosas. En medio de los centenarios volúmenes había otro objeto que me llamó la atención:

¡Un telescopio! Un pequeño telescopio refractor de bronce, prácticamente un juguete, pero de otra era. Como se ve en la foto, está apuntado hacia el escudo de armas que se ve en la pared opuesta. Acercando el ojo al ocular vi en todo detalle uno de los leones del escudo:

Era efectivamente el telescopio de un niño, y a su lado se reproducía una carta a su padre donde le contaba que había visto Saturno:

¿Quién era este niño? ¿El pequeño Douglas? No. ¡Era Fred Hoyle! Fred Hoyle también fue alumno de St. John's (es el segundo de la izquierda):

Hoyle fue uno de los más distinguidos, creativos y controvertidos científicos del siglo XX y también, como Adams, autor de ciencia ficción. Después de graduarse hizo un doctorado también en Cambridge, con la dirección del legendario Paul Dirac. Era una combinación rara: Dirac era renuente a dirigir alumnos, y Hoyle era reacio a ser dirigido. Tras convertirse en profesor, rápidamente alcanzó la primera línea en la astrofísica de fines de los años 1940 y 50, demostrando cómo las reacciones nucleares que ocurren en las estrellas permitían explicar fenómenos tales como las enanas blancas, las supergigantes rojas, las supernovas y los quasars. Su trabajo teórico lo llevó a predecir la existencia de un estado desconocido del carbono, que fue finalmente observado en experimentos por William Fowler. Como ya hemos contado, con Fowler más Geoffrey y Margaret Burbidge, escribieron la monumental teoría que explica en minucioso detalle el origen estelar de los elementos químicos, forjados en el horno nuclear de las estrellas (el famoso paper B2FH). Fowler recibió el premio Nobel por esto, y hasta los críticos de Hoyle sostienen que también él lo merecía. Pero se fue de Cambridge de mala manera, peleado con mucha gente influyente, y eso le debe haber jugado en contra. 

Hoyle es más famoso por oponerse al modelo de expansión del universo a partir de un estado denso y caliente inicial. Desarrolló una teoría alternativa en la que el universo se expandía eternamente sin un origen, mientras un campo iba creando átomos de hidrógeno de a poquito (no muy distinto del campo de la inflación cósmica, hay que decir). En una entrevista radial se refirió al modelo rival como un "big bang", una gran explosión. Gamow y el resto de los que sostenían este modelo se lo tomaron a mal, se sintieron insultados, y Hoyle sumó algunos enemigos más. Pero un nombre marketinero nunca muere, y hoy llamamos Big Bang al modelo generalmente aceptado de la evolución del universo. 

Si bien es una teoría muy bien sostenida por muchísimas observaciones astronómicas y aceptada por la comunidad científica, hay algunos resquicios que todavía no se entienden. En los últimos años surgió uno nuevo: la velocidad a la que el universo se expande, expresada en la constante de Hubble, H₀. Parece haber dos valores irreconciliables, según cómo se la mida. La forma tradicional es la original de Hubble: se mide directamente la velocidad (estrictamente, el redshift) a la cual se alejan de nosotros las galaxias, usando supernovas como candelas estándar. El resultado da unos 73 kilómetros por segundo por megapársec. En los últimos 20 años se desarrollaron nuevas técnicas, basadas en la observación del universo lejano (como la radiación cósmica de fondo, por ejemplo), y el valor encontrado es de 67.7 kilómetros por segundo por megapársec. La repetición de estas mediciones, la incorporación de nuevas técnicas, y la reducción de los errores de medición, han demostrado que los dos valores, si bien son cercanos, son irreconciliables. Hay algo que no está bien, que no se entiende. 

La situación se llama Hubble tension, y tal vez en otro momento lo cuente en más detalle. En todo caso, imagino que Douglas Adams preferiría el resultado cosmológico, porque expresado en unidades imperiales es 42 millas por segundo por megapársec. Y 42, como se sabe, es la respuesta a la Pregunta Definitiva sobre la Vida, el Universo y Todo lo Demás.
 

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La constante de Hubble, que estrictamente tiene unidades de frecuencia, se suele expresar como una velocidad en km/s por megapársec. Significa que dos galaxias lejanas se alejan entre sí a una velocidad que es el producto de los km/s por la distancia en megaparsecs. No es correcto imaginar (aunque es medio inevitable) que realmente se están moviendo a esas velocidades; se alejan por la expansión del espacio entre ellas.

El Gran Planetario de Fulton

Durante una breve visita académica a Glasgow recorrí el Museo Kelvingrove, cerca de la Universidad. Es principalmente una galería de arte, pero al estilo de todos los museos británicos, hay de todo. En un rincón del piso superior me sorprendió encontrar esto:

Es un planetario mecánico (orrery, en inglés, por el Conde de Orrery, que construyó el primero en el siglo XVIII). Éste es el Grand Orrery de Fulton, y es tan grande que no logré fotografiarlo entero. Fue construido por John Fulton entre 1823 y 1833, en ratos libres mientras cortaba cuero y clavaba tacos. Fulton no era ni conde ni astrónomo: era un zapatero remendón que sólo había hecho la primaria. Pero era un apasionado autodidacta de la astronomía, con un evidente don por la mecánica. El aparato es increíblemente sofisticado. En el centro están el Sol (de unos 15 cm de diámetro) y los cuatro planetas terrestres (Marte sin sus satélites, que fueron descubiertos en 1877):

La Tierra está dibujada en minúsculo detalle con sus continentes y mares, y la Luna orbita a su alrededor (me quedó tapada por Venus en esta foto, pero se ve en la de abajo). A su alrededor se identifican los planetas gigantes Júpiter (con sus cuatro satélites galileanos, a la izquierda en la foto), Saturno (con anillos y satélites), y una cantidad de planetas menores:

Los planetas exteriores están suficientemente cerca del ventanal, como para apreciar la increíble complejidad del mecanismo:

Por fuera de Saturno sólo encontramos Urano (Neptuno se descubrió recién en 1846):

Los engranajes fueron fabricados por Fulton usando una máquina que él mismo construyó, y están calculados con tal precisión que, impulsados por la única manivela que se ve en las fotos, los cuerpos celestes realizan sus movimientos diurnos y anuales, con los satélites orbitando a su alrededor. Todo esto manteniendo las posiciones correctas en el espacio a partir de una fecha y hora que se configuran con unos diales en el cilindro central. Están representados con precisión tanto las inclinaciones de los ejes y de las órbitas, así como las excentricidades y los cambios de velocidad orbital. Además de los engranajes hay banditas de seda, palancas y poleas que se encargan de los movimientos más sutiles. 

El Gran Planetario fue el tercero que construyó Fulton, y fue un tremendo éxito de divulgación científica masiva. Fulton lo llevaba a las escuelas y de gira por todo el país, y cuando murió en 1853 su familia siguió haciéndolo por 10 años más. Finalmente una empresa de Glasgow lo compró y lo donó a la ciudad. En 1930 le cambiaron la fuerza motriz por un sistema de pesas, y en 1970 por uno eléctrico. No lo vi funcionar, pero en YouTube el Museo lo muestra en movimiento:

Hoy tenemos el Stellarium en el bolsillo, y Celestia, y Space Engine, y nos cuesta imaginar una época en que no existía nada de esto, y los entretenimientos eran mucho más limitados. Pero estos planetarios mecánicos deben haber sido algo hipnótico y portentoso. Ni hablar hace 2200 años, cuando vio la luz el primer planetario, el mecanismo de Antikitera, del que tengo que hablar alguna vez.

El eclipse de la Odisea

«Un classico è un libro che non ha mai finito di dire quel che ha da dire.»
Italo Calvino

Era una mañana preciosa de primavera mediterránea. En las laderas, salpicadas de olivos y cipreses, los pastores cuidaban sus cabras. En caletas paradisíacas, los pescadores arrojaban las redes. En el palacio, la reina y su hijo trataban de mantener a raya a los pretendientes, que ya se preparaban a hacer un asado sin que nadie los hubiera invitado. Cerca del mediodía refrescó, aunque no había en el cielo ni una nube. Y de golpe, muy muy rápido, se hizo de noche, pero sin que los rosados dedos de Eos acariciaran el paisaje. Las cabras se encaminaron hacia los corrales y las aves a sus nidos. La gente alzó la vista al cielo, a ver qué estaba pasando. El cielo se había puesto azul oscuro, como al comienzo de la noche. El punto más oscuro era un círculo negrísimo, justo donde momentos antes había estado el sol. A su alrededor brillaba una aureola plateada, de un blanco rabioso con llamaradas rojas. Se veían las estrellas, y algunos reconocieron a las "estrellas errantes", identificadas con los dioses: la de Zeus, la de Afrodita, la de Hermes. Tal vez vieron las de Ares y Cronos. Un escalofrío recorrió sus espaldas. ¿Qué estaba pasando? ¿Dónde estaba el sol? ¿Por qué habían aparecido los dioses en el cielo?

Era un eclipse total de Sol, por supuesto. Hoy no nos asustan, ¡hasta viajamos para verlos! Pero el escalofrío lo sentimos igual. Este eclipse ocurrió el 16 de abril de 1178 a. C., hace exactamente 3200 años. Los cinco planetas "clásicos" fueron visibles en un arco de 90 grados en el cielo, con Júpiter y Saturno a unos 4 grados de separación, en una Gran Conjunción que culminaría a principios de junio. Además, con el gigante Orión y Sirio brillando más abajo, y las Híades y las Pléyades cerca del eclipse, debe haber sido una preciosura.

Este eclipse tiene otro ingrediente interesante: fue total en la isla de Ítaca, la patria de Odiseo. Y precisamente, los eventos que se relatan en la Ilíada y la Odisea ocurrieron por esos años, de acuerdo no sólo a fuentes clásicas, sino a la datación de los restos arqueológicos de la Troya histórica, descubierta a fines del siglo XIX. Poco después Carl Schoch, un historiador de la astronomía, identificó este eclipse como posible fecha del regreso de Odiseo a su hogar, tras 10 años de peripecias en el Mediterráneo. Su propuesta se basaba en que, en el Canto XX, cuando Atenea confunde y enloquece a los pretendientes mientras comían el asado, el profeta Teoclímeno tiene una visión y les advierte que los ve a todos muertos, y que: 

«el sol desapareció del cielo y una horrible oscuridad se extiende por doquier».

La propuesta de Schoch no fue aceptada universalmente, faltaba más. Sin embargo, hace pocos años, Constantino Baikouzis y Marcelo Magnasco (un astrónomo y un biofísico argentinos) publicaron un análisis más completo de los fenómenos astronómicos que aparecen en la Odisea. Además de la luna nueva (que se menciona en el poema, y que es lo que corresponde a un eclipse solar), señalan que tras la partida de la isla de Calipso, que ocurre en la luna nueva anterior, Odiseo navega observando las Pléyades, la Osa Mayor y Boötes. 

 

Las Pléyades y Boötes están muy lejos en el cielo, de manera que la posibilidad de ver a ambas simultáneamente restringe bastante la época del año. También se menciona a Venus en el amanecer el día de su desembarco final en Ítaca. Y hay dos eventos más que nadie había notado: un viaje de Hermes al oeste y su regreso al este, que podría indicar el rápido movimiento retrógrado del planeta Mercurio, que cambia en pocos días de horizonte. Y el regreso de Poseidón del país de los etíopes, cuando hunde la balsa de Odiseo, que podría corresponder al equinoccio. Poseidón no se identificaba con el planeta Neptuno, por supuesto (descubierto recién en 1846), sino con el movimiento de la Tierra misma (es el dios de los terremotos, además de los mares). Dados estos eventos, los autores buscan su coincidencia con la cronología del poema (que es muy estricta en cuanto a días transcurridos), y en un lapso de más de un siglo encuentran una única concordancia de todos ellos, la que coincide con el eclipse solar el día del regreso de Odiseo a su hogar:

Demás está decir que Magnasco y Baikouzis no han demostrado que el día de regreso de Odiseo a su hogar haya sido el 16 de abril de 1178 a. C., coincidente con un eclipse total de Sol. Ellos mismos lo advierten, señalando la dificultad de que la fecha del eclipse se haya transmitido por tradición oral durante siglos, hasta que el Poeta que llamamos Homero plasmara el texto en forma escrita, alrededor del 800 a. C. Hay que señalar incluso que faltaban todavía más siglos para que los milesios, especialmente Tales, se convirtieran en científicos, inventando el concepto de ciencia natural (Tales predijo el eclipse del 585 a. C., según Heródoto). Lo que dicen es que han identificado un cuerpo coherente de eventos astronómicos, coincidente con el texto clásico, y que es prácticamente imposible que sea resultado de una casualidad. Fascinante.

Además, por supuesto, aunque la identificación del eclipse de 1178 a. C. como el oscurecimiento del cielo que canta el poema fuera correcta, eso no quiere decir que Odiseo realmente haya sufrido las desventuras que se relatan en la Odisea. El Poeta, o algún rapsoda antes que él, bien podría haber armado un relato ficticio alrededor de eventos astronómicos reales. Pero no me digan, en todo caso, como hemos dicho más de una vez, se non è vero, è ben trovato.

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Agradezco a mi amigo Adrián Monjeau que me mencionara estos descubrimientos.

El paper de Constantino Baikouzis y Marcelo Magnasco tiene un título interrogativo (lo cual en general no es una buena idea): Is an eclipse described in the Odyssey? PNAS 105:8823–8828 (2008).

El trabajo de Schoch es: The eclipse of Odysseus, The Observatory 49:19–21 (1926). 

Un review crítico es el de Salvo Gugliemino y otros: Astronomy in the Odyssey: The Status Quaestionis, Astrophysics and Space Science Proceedings 48:165–180 (2017).

Nota para detallistas: el eclipse de 1178 a. C. ocurrió hace 3200 años, aunque 2023+1178 = 3201, porque no hay año 0. Piensenlón.

Habría que poner AEC en lugar de a. C., pero nadie lo entiende todavía.  

Esta semana también hay un eclipse total de Sol, visible desde muy poquita tierra firme en Australia e Indonesia. Es un eclipse híbrido: empieza como anular, se convierte en total, y termina como anular de nuevo.

El lado oscuro de la Luna

And if your head explodes with dark forebodings too 

I'll see you on the dark side of the moon. 

Pink Floyd, The Dark Side of the Moon

Se cumplen esta semana 50 años del lanzamiento de uno de los mejores discos de la historia, el que consagró el éxito internacional de Pink Floyd: The Dark Side of the Moon. El título es una expresión poderosa en inglés y en otros idiomas también. Por supuesto, en el disco el significado de la expresión es simbólico y metafórico. Todas las letras del álbum tratan sobre la luz y la oscuridad, el bien y el mal, la vida y la muerte. En palabras del propio Roger Waters: "«Te veré en el lado oscuro de la Luna» soy yo mismo hablándole al que escucha, diciéndole «Sé que tenés estos malos impulsos porque yo mismo los tengo, y podemos conectarnos a través del hecho de que ambos a veces nos sentimos mal»".

 

 

No pude rastrear de dónde proviene la expresión. Hay explicaciones que me parecen tiradas de los pelos. Dicen que el lado oscuro de la Luna se refiere al lado lejano, el hemisferio opuesto al que vemos desde la Tierra, y que nos fue desconocido hasta la década de 1960. Hasta hoy en día, 50 años después, es frecuente ver titulares del tipo: "La NASA revela finalmente el lado oscuro de la Luna". Hay que decir que el diccionario Oxford admite como ¡décima! acepción de dark: desconocido o misterioso (generalmente aplicado a un secreto). En el de la RAE, lo más parecido es la quinta acepción de oscuro: incierto, peligroso, temeroso. 

Pero en general y en su sentido llano, oscuro es simplemente lo opuesto de luminoso. Si hay un lado oscuro es porque hay un lado brillante. ¿Tiene sentido la expresión entendida así? 

Bueno, la Luna, igual que la Tierra, tiene todo el tiempo una mitad iluminada por el Sol y una mitad en sombras. La mitad en sombras es oscura, obvio. Pero, igual que en la Tierra, donde es de noche al final amanece, que no es poco, y lo que era oscuro deja de serlo. A lo largo del mes lunar vemos parte de este cambiante lado oscuro. La parte oscura que vemos, de hecho, como apunta hacia la Tierra no es taaaaan oscura: está tenuemente iluminada por la luz reflejada por la Tierra. Es la luz cenicienta, de la que ya hemos hablado. 

Así que la Luna tiene un lado cercano y un lado lejano, y un día y una noche. Una vez por mes el lado lejano coincide con el oscuro: durante la luna llena, el lado oscuro es además el que no podemos ver desde la Tierra. 

La verdad es que "EL" lado oscuro no significa mucho. Además de lo dicho (y tal vez sobre todo) porque la Luna, tan brillante que la vemos en el cielo, es toda ella muy oscura. Refleja apenas el 10% de la luz que la ilumina. Como el asfalto. La Luna es negra como el asfalto. Miren las manchas de polvo lunar en las rodillas y las botas del blanco traje de Aldrin en la famosa foto tomada por Armstrong:

O vean esta foto tomada por Lucy en su camino a los troyanos. Tanto la Tierra como la Luna están casi llenas, pero les va a costar encontrar a la Luna:

 

 

Volvamos al álbum de Pink Floyd. Escuchen con atención el tema final, Eclipse. Una vez que termina la letra (and everything under the sun is in tune / but the sun is eclipsed by the moon) comienza a escucharse un corazón latiendo. Suban el volumen al máximo, y en el minuto 1:35 se escucha, muy muy bajito:

There is no dark side of the moon really. Matter of fact it's all dark.

¡Ahí tenés! Es la voz de Gerry O'Driscoll, portero de la discográfica Abbey Road, entrevistado por Waters en busca de fragmentos de diálogos para usar en las canciones. Paul McCartney también fue entrevistado, pero por algún motivo sólo este fragmento fue elegido por Waters para la versión final del disco. La Luna es toda oscura, como lo dijo O'Driscoll matter-of-factly.

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La imagen inicial, con un rayo de luz dispersado por un prisma, es un recorte de la tapa del disco, imagino que propiedad de Harvest / Capitol, o de sus diseñadores Storm Thorgerson y George Hardie.  

 

La foto de Aldrin es de NASA/Apollo. La de la Tierra y la Luna es de NASA/Goddard/SwRI/Lucy.

La rosa celeste

Hace unos meses, en el aniversario de la Librería Patalibro de San Martín de los Andes, conocí a Isol Misenta, artista, autora e ilustradora de libros infantiles. Si no conocen su obra, vayan corriendo a revisarla, porque es buenísima. Yo espero acá.

Isol me contó que su abuela Gloria pintaba paisajes astronómicos. Y me mandó uno, preguntándose que objeto astronómico sería, porque la abuela no los había documentado. El cuadro es precioso, vean:

Vemos una nebulosidad en forma de anillo, de colores rosa y verdes azulados. Sobre la nebulosa se entrecruzan unos filamentos oscuros, intrincados y ramificados. Y hay un cúmulo de estrellas brillantes inserto en el anillo. Todo sobre un fondo de cielo oscuro con muchísimas estrellas pequeñitas. Enseguida me di cuenta de que tenía que ser un objeto real: son las características de las regiones de formación estelar, la nebulosas que brillan por fluorescencia al ser irradiadas por las estrellas jóvenes que nacieron en su interior. ¿Cuál sería?

No me llevó mucho identificarla, porque la forma de la nebulosa y la disposición más o menos rectangular de las estrellas del cúmulo son las de un objeto bien conocido. Se trata de la Nebulosa de la Roseta, que tiene cuatro números en el catálogo NGC, pero generalmente se la designa con uno solo de ellos, NGC 2237. El cúmulo estelar, como suele ocurrir, tiene su propia designación: NGC 2244. 

En fotografias normales (de "espectro completo") estas nebulosas brillan con el color rojo característico de la línea de Balmer alfa del hidrógeno, a 656 nanómetros. Es el salto cuántico del electrón del hidrógeno regresando a su nivel 2, después de haber subido al 3 por acción de la radiación estelar. En la pintura de Gloria vemos en cambio mucho verde, una paleta que suele verse en fotos tomadas con filtros de banda angosta. Los aficionados lo hacen para mitigar el efecto de la contaminación luminosa de las ciudades, pero también tienen un uso científico, y se han hecho famosos en muchas fotos del Telescopio Espacial Hubble. Tres filtros muy usados son H-α, SII (hache alfa y azufre dos, ambos rojos) y OIII (oxígeno tres, verde). Con las tres imágenes se construye una imagen RGB que en general tiene el H-alfa en el canal verde (con el oxígeno en el azul y el azufre en el rojo), y por eso las nebulosas, que fluorescen rojas, quedan verdosas. Queda una cosa así, bastante parecida a la pintura de Gloria:

La Nebulosa Roseta está en la constelación del Unicornio, no lejos de Betelgeuse en Orión, casi en el ecuador galáctico (por eso hay tantas estrellitas de fondo). Así que es un objeto que podemos observar a partir de esta época del año y durante todo el verano. No es fácil de ver en un telescopio pequeño, a pesar de ser una de las regiones de formación estelar más grandes y masivas de la Vía Láctea. Bajo cielos oscuros se la ve como un aura muy tenue rodeando el cúmulo (que sí se ve perfectamente). La estrella más brillante del cúmulo es 12 Monocerotis, una gigante amarilla de sexta magnitud que (creo) no forma parte del grupo estelar nacido de la nebulosa, sino que se encuentra por delante, alineada casualmente con él. El cúmulo propiamente dicho es muy joven, y tiene una notable cantidad de estrellas muy luminosas: 5 de la rara clase O, 16 de clase B, y centenares de estrellas más pequeñas. La intensa radiación de las estrellas masivas del cúmulo ha excavado en el gas de la nebulosa la burbuja que le da su forma característica.

A menos de dos grados de distancia se encuentra una estrella extraordinaria, la estrella de Plaskett, una estrella binaria con una masa total de 100 masas solares. Es comparable a Eta Carinae pero con las dos estrellas más parecidas, 50 masas solares cada una. Son dos gigantes de clase O, tan próximas entre sí que no podemos distinguirlas con ningún telescopio. Sólo su espectro delata que son dos estrellas, una en órbita de la otra, completando un giro ¡cada 14 días! Por edad y movimiento propio, existen sospechas de que la estrella de Plaskett nació en NGC 2244 y que fue expulsada por alguna razón dinámica. 

Una de ellas gira tan rápido sobre sí misma que debe tener una forma como de almeja, en lugar de ser una esfera como el Sol. Se deben ver como algo así:

Esta ilustración está hecha para otro par, HR 6819, cuya estrella aplanada gira a 180 km/s en el ecuador, desde donde (se supone) se le centrifuga materia. El Sol gira a apenas 2 km/s. La de Plaskett lo hace a 300 km/s. Imaginate.

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La pintura de la Nebulosa Roseta es de Gloria, gentileza de su nieta Isol (Marisol) Misenta.

La foto en colores naturales (rojos) es de Antonio Ferretti & Attilio Bruzzone (CC BY-SA).

La foto hecha con filtros Ha, OIII y SII es de Chuck Ayoub (CC BY-SA).

La foto de campo ancho, en la que marqué la estrella de Plaskett, es de Franz Hofmann y Wolfgang Paech, Observatorio Onjala.

La ilustración del sistema binario con una estrella en rotación rápida es ESO/L Calçada (CC BY).

El nombre en inglés es Rosette Nebula. Es un nombre clásico, pero no sé quién la bautizó así, ya que fue descubierta de a pedazos (por eso tiene varios números de catálogo). Rosette, en inglés, designa una figura en forma de rosa. En castellano no, a pesar de lo que podría sospecharse. En fotos, ciertamente, se parece más a una rosa que a la regadera de la ducha.

El infinito, ida y vuelta

Me da un enorme gusto que la muestra El infinito, de mi amigo Pablo Bernasconi, esté nuevamente abierta al público. La puesta original, en Bariloche, quedó interrumpida en 2020 por la cuarentena covid. Desde el 15 de julio al 9 de octubre pueden disfrutarla nuevamente en el Centro Cultural de la Ciencia, en Buenos Aires.

Soy fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra, y participar en un conversatorio público con él en Bariloche. Volveremos a hacerlo el domingo 20 de agosto, en el C3. ¡Venite! 

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que ya conté, pero aprovecho la muestra de Pablo para repetirlo. El público se renueva.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Esto quiere decir que, como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. ¿Cómo verificarlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de niños y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada niño, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que juntarlos así con los naturales:

2 ↔ 1, 4 ↔ 2, 6 ↔ 3, 8 ↔ 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero). Tomá pa'vos.

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y lo mismo para todas las fracciones: entre 1/3  y 1/2 está 2/5, etc. Así que entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones. A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador dé 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y pueden ponerse en correlación con los números naturales así:

1/1 ↔ 1, 2/1 ↔ 2, 1/2 ↔ 3, 3/1 ↔ 4, 2/2 ↔ 5, 1/3 ↔ 6, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos una línea de 1 m de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 m del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 m del extremo, o sea a 0.333... m, otro que esté a pi centímetros = 0.0314159265358979... m, etc. Estos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número, y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o tan irregulares como los de pi. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista por ejemplo así:

1 ↔ 0.38602563078...
2 ↔ 0.57350762050...
3 ↔ 0.99156753207...
4 ↔ 0.25763200456...
5 ↔ 0.00005320562...
6 ↔ 0.99035638567...
7 ↔ 0.55522730567...
8 ↔ 0.05277365642...
... ↔ ...

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, podríamos elegir el número:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Este número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ₀, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ₀: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ₀. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.

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Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ₀ y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. 

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).

Le ciel austral

Mi amiga Karen Hallberg me mandó unas ilustraciones de un libro de astronomía que pensó que podían interesarme. No sabía la fuente, pero no me costó averiguar que eran de un notable libro de Amédée Guillemin, Le ciel, de 1877. La más hermosa de las láminas es además la que más me llamó la atención:

Esta notable litografía está firmada por Philippe Benoist, artista francés discípulo de Daguerre, (el pionero de la fotografía). Representa la Vía Láctea austral, acompañada por las Nubes de Magallanes, alzándose verticalmente sobre un paisaje marino. Es una vista familiar desde nuestras latitudes a comienzo de la noche en otoño. Me pregunto cómo habrá hecho Ms. Benoist para crear este grabado. ¿Habrá viajado alguna vez a los mares del sur? ¿Se habrá basado en mapas estelares? En todo caso, su hermoso trabajo manual es tan impactante como las astrofotografías con paisajes que hoy nos hemos acostumbrado a ver pero que, apenas hace un par de décadas, no existían. Y en una época en que la fotografía astronómica estaba en pañales, seguro que inspiraba a los lectores como hoy nos fascinan, por ejemplo, las de Jorgelina Álvarez.

Cualquier aficionado se da cuenta además del enorme realismo de la representación: las estrellas no son puntitos pintados así nomás, ¡sino que son realmente las estrellas del cielo austral! Reconocemos inmediatamente la Cruz del Sur y sus Punteros, el Saco de Carbón, y las brillantes Canopus (arriba) y Achernar (a la derecha). Cuando noté esto empecé a mirar con más detalle, y entonces vi algo extraordinario: Eta Carinae se ve mucho más brillante que ahora, se ve como una estrella de primera magnitud. 

Vemos que brilla casi como Gamma Crucis. Considerando la dedicación del artista me animé a hacer una "fotometría" aproximada, que me dio una magnitud 1.15. Este brillo corresponde a la primera etapa de la erupción que sufrió la estrella en el siglo XIX. Eta Carinae brilló con magnitud 4 durante siglos. A principios del siglo XIX tenemos las primeras sospechas de su variabilidad, con algunos observadores reportándola de primera magnitud. Las primeras mediciones sistemáticas y confiables son las de John Herschel, quien le dedica una larga sección en su monumental paper Results of astronomical observations made during the years 1834, 5, 6, 7, 8 at the Cape of Good Hope, donde dice "no existe otro objeto celeste que reúna más puntos de interés que esta estrella y la gran nebulosa que la rodea.".

Durante 3 años sus observaciones dan un promedio de 1.2. Así es como la vemos en la ilustración, y estamos seguros de que es antes del 1 de diciembre de 1837. ¿Por qué? Porque fue la última vez que Herschel la vio así. La vez siguiente que la observó, dos semanas después, Eta Argus (como se la llamaba entonces) había aumentado una magnitud y brillaba "decididamente más que Rigel". Fue el comienzo de la Gran Erupción que formó el Homúnculo. La estrella alcanzó y superó el brillo de Canopus en abril de 1843, y luego se apagó a lo largo de unos 20 años. Para 1877, la época de la quinta edición de Le ciel, ya era una estrella invisible de 8a magnitud. Fue como una pequeña supernova, pero la estrella sobrevivió, y alrededor de 1890 ocurriría la Pequeña Erupción, que se alcanza a ver en esta curva de luz.

Guillemin, por supuesto, discute la rareza de esta estrella, y muestra una curva de un tal Loomis, que trató de forzar una periodicidad inexistente con un período de 70 años, usando dos observaciones singulares de Halley y de Lacaille siglos antes de la Gran Erupción:

La naturaleza de la Gran Erupción permaneció en el misterio hasta las observaciones espectroscópicas y fotográficas de Enrique Gaviola en el Observatorio de Córdoba, 100 años después, que mostraron que había sido un evento explosivo que formó el Homúnculo. Hoy sabemos también que Eta Car es un  sistema binario, formado por dos estrellas monstruosas con una órbita muy elongada, similar a la del cometa Halley en tamaño y forma. La colisión de sus vientos estelares produce una verdadera periodicidad de brillo (especialmente en rayos X), pero con un ciclo mucho más breve que el de Loomis, de sólo 5 años.

Me pregunto si existirá alguna ilustración equivalente a la de Benoist correspondiente a la Gran Erupción. No pude encontrar nada, así que la simulé y me quedó así, con Eta Argus más brillante que Canopus:

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La curva de luz es de Frew, The historical record of  η Carinae I. The visual light curve, 1595–2000, The Journal of Astronomical Data 10:1-76 (2004). Súper interesante. 

El libro de Guillemin también se consigue en la web, y es fascinante: Guillemin, Le ciel: notions elementaires d'astronomie physique, 5ème ed. (Hachette, Paris, 1877).

El reporte de Herschel también está muy bueno: Herschel, Results of astronomical observations made... at the Cape of Good Hope. (Smith, Elder & Co., London, 1847). 

Allí leemos que el 16 de diciembre de 1837 Eta Argus lo sorprendió con un brillo 3 veces mayor que sus registros de tres años anteriores. Luego, el 28 de diciembre, la ve mucho mayor que Rigel y comparable a Alfa Centauri. Alcanzó un máximo el 2 de enero de 1838, idéntica a Alfa Centauri (la tercera estrella más brillante del cielo nocturno). A partir de allí disminuyó un poco el brillo, y el 22 de enero estaba entre Arturo y Beta Cen (5a y 12a, resp). El 14 de abril la compara con Aldebarán, la 15a. Hasta allí llegan sus observaciones, pero refiere una carta que le envió el Rev. Mackay, quien le informa que en marzo de 1843 alcanzó y superó en brillo a Canopus, la 2a estrella más brillante del cielo. 

A lo largo del siglo XX Eta Carinae fue aumentando de brillo, especialmente desde la década de 1940 cuando permitió su estudio por parte de Gaviola. Hoy en día está nuevamente en la cuarta magnitud, y sigue aumentando. Hace un par de años vi una charla de un especialista, quien sostiene que pronto el Homúnculo se habrá disipado lo suficiente para que Eta Car brille con todo su esplendor.

La tercera edición (1866) de Le ciel tiene una versión distinta de la vista del cielo austral. Es un paisaje más tropical, y si bien el cielo se ve menos realista, Eta Car está igualmente brillante. El scan es de menos calidad y no alcanzo a entender el nombre del artista, pero se reconoce que es distinto. 

Crisis en la Luna

Una Luna en la laguna
Nunca es una, sino dos.

Piñón Fijo

En estos días de trabajo en casa alcancé a ver un video musical de Piñón Fijo, Una luna en la laguna. Inmediatamente me llamó la atención por la imagen de la Luna:

 
¿Qué tiene de raro? ¡Esa no es la Luna vista desde la Tierra! La Luna llena es así, con su familiar disposición de mares oscuros y tierras altas brillantes:

En esta foto las regiones oscuras están dominadas por el gran Océano de las Tormentas, que en el video de Piñón no aparece. ¿Y qué es ese mar ovalado junto al hombro izquierdo del payaso? En mi imagen también está, pero en un lugar completamente distinto: cerca del borde, a la derecha de la foto.

Es el Mar de las Crisis. Como todos los mares de la Luna debe su nombre al astrónomo Giovanni Riccioli, del siglo XVII. No sé por qué le tocó este nombre, pobrecito, cuando a los otros les puso Tranquilidad, Serenidad, Fecundidad, Néctar, Humores, Lluvias, Vapores, Olas... En todo caso, por supuesto que no es un verdadero mar como los de la Tierra. Es una cuenca de impacto muy antigua, inundada de basalto y relativamente plana. Así que esa imagen no está tomada desde la Tierra. Seguramente es una reconstrucción basada en mapas, como ésta que acabo de hacer en Celestia:

A propósito, se ve a la izquierda de la Luna de la canción una región brillante que algún selenófilo distraído podría haber confundido con el cráter Tycho (en mi foto, abajo a la izquierda). Pero Tycho, en esta perspectiva, está justo en el borde del disco. Además, si bien se mira son dos puntos brillantes: los cráteres Stevinus A y Furnerius A (que en mi foto también se ven, abajo y un poco a la derecha, muy cerca del borde). A diferencia de Tycho ambos son muy pequeños, pero decorados por sendos sistemas de rayos muy brillantes.

La canción de Piñón Fijo se refiere al reflejo de la Luna en la laguna, que produce una duplicación del astro:

Como puede verse, la Luna está correctamente reflejada, con la inversión que corresponde. No como en la presentación de Dreamworks, que escarnizamos hace ya años. Además la canción es my linda, vayan a verla en YouTube.

A propósito: la Luna completamente iluminada de Piñón no puede ser una Luna llena, porque la perspectiva es distinta. Es aproximadamente la luna del 3 de abril, la del próximo viernes. Aprovechen a verla esa noche: es una gibosa creciente, ideal para observar Copérnico, Tycho, Clavius y, para estar en tema, el Palus Epidemiarum, el Pantano de las Epidemias...

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Esta última captura de pantalla muestra el excelente Virtual Moon Atlas, el mejor compañero del aficionado lunático. Si tenés binoculares o un pequeño telescopio, y una ventana, balcón, terraza o patio, aprovechá la cuarentena para estudiar la Luna en las próximas semanas, a medida que crece.

¡Al infinito y más allá!

El genial Pablo Bernasconi ha preparado una muestra sobre El Infinito, una especie de continuación participativa de su excelente libro. Podrá visitarse del 21 de febrero al 30 de abril, los viernes, sábados y domingos de 18 a 21, gratarola, en Soria Moria (Fundación INVAP, en Circuito Chico muy cerca de Puerto Pañuelo). Soy un fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra. ¡Además, tendremos una charla pública el 1 de marzo a las 19 hs! Los domingos sucesivos habrá más charlas. Habrá que anotarse porque el cupo es limitado, así que ya daremos detalles. La muestra será itinerante, y visitará otras ciudades durante el año.

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que hace rato tenía ganas de contar, así que aprovecho el envión que me dio la muestra de Bernasconi.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. Pero no: los dos infinitos son iguales. ¿Cómo saberlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de chicos  y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada chico, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que aparearlos con los naturales así:

2 ↔ 1, 4 ↔ 2, 6 ↔ 3, 8 ↔ 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero).

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y esto pasa para todas las fracciones. ¡Entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones! A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador de 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y puede ponerse en correlación con los números naturales:

1/1 ↔ 1, 2/1 ↔ 2, 1/2 ↔ 3, 3/1 ↔ 4, 2/2 ↔ 5, 1/3 ↔ 6, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos un segmentito de 1 cm de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 cm del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 cm del extremo, o sea a 0.3333... cm. Esos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número. Otros números serán, por ejemplo: 0.38250375632..., y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o si los dígitos nunca se repiten. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista del tipo:

1 ↔ 0.38602563078...
2 ↔ 0.57350762050...
3 ↔ 0.99156753207...
4 ↔ 0.25763200456...
5 ↔ 0.00005320562...
6 ↔ 0.99035638567...
7 ↔ 0.55522730567...
8 ↔ 0.05277365642...
... ↔ ...

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, para la lista de arriba podríamos poner:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Ese número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ₀, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ₀: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ₀. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y creó toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.

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Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ₀ y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. El título de mi nota no hace referencia a este libro sino, por supuesto, a la frase de Buzz Lightyear.

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).