Ya los antiguos griegos

La semana pasada, durante una entrevista para un programa de televisión, charlamos sobre el notable hecho de que los antiguos griegos sabían que la Tierra era redonda, cuánto medía, etc. El periodista me preguntó sobre algún otro logro notable de los antiguos griegos, y no supe qué responder. No es que no los conociera: varios se me vinieron a la mente, pero a veces uno se bloquea frente a la cámara y se queda sin saber qué decir. Sin embargo, hay un logro inmenso que debí recordar. ¡Por supuesto! Se trata, creo yo, del mayor logro filosófico de la Grecia antigua:  

Los griegos inventaron la ciencia. 

En buena medida el mérito puede atribuirse a Tales, que vivió en Mileto, ciudad griega situada en la actual Turquía, en el siglo VI a. C.. De Tales se cuentan algunas cosas graciosas, por ejemplo que se cayó en un pozo por caminar mirando las estrellas. Este notable filósofo distraído plantó la semilla de la ciencia al postular que a la pregunta “¿de qué está hecho el mundo?” no corresponde una disquisición sobre los caprichos de los dioses sino, simplemente, la observación minuciosa de la realidad. Claro, a Tales no se le escapaba que —a pesar de la vida tumultuosa de los dioses olímpicos— la naturaleza abunda en regularidades: los ciclos del día y la noche, las estaciones y las lluvias, la siega y la siembra. Hasta los raros eclipses eran predecibles: ¡cómo iba a tratarse de una serpiente devorando el Sol, como aseguraban los egipcios! Tales llegó a la conclusión de que las preguntas sobre el mundo natural no había que hacérselas a un oráculo, sino a la naturaleza misma. Sostenía que los terremotos no eran producto de la ira de Poseidón, ni los rayos de los caprichos de Zeus. Sus explicaciones de estos fenómenos parecen hoy en día algo ingenuas, pero revolucionaron un sistema de creencias de miles de siglos basado en lo sobrenatural. 

Tales y sus seguidores sugerían también que existía una substancia (cada uno tenía su favorita: el agua, el fuego, etc.) que se conservaba y que, transmutándose, generaba las demás cosas. En algún sentido se trata de la primera ley de conservación que conocemos, tal como las que juegan un rol fundamental en la ciencia moderna. Anaxágoras, inclusive, especulaba acerca del modo en que los alimentos se convierten en músculos y demás substancias y tejidos que forman los cuerpos de los animales. Anaximandro, que fue el primero en dar una explicación mecánica del universo, creía firmemente en la validez de estudiar modelos a escala pequeña de las cosas, para facilitar su estudio: otra idea central de toda la ciencia y la ingeniería modernas.

Uno intuye que tanto Tales como sus discípulos, así como Pitágoras y su escuela (en Samos, en el actual sur de Italia), sospechaban que sus teorías hacían agua por muchos lados. Pero también que comprendían que el mundo natural obedecía reglas, leyes que ellos conocían imperfectamente y que eran las responsables de una naturaleza dinámica. Ésta es la idea básica que permea la filosofía de aquellos pioneros, y que constituye aún hoy la base del pensamiento científico.

Hay un brevísimo texto de Borges (El principio, en Atlas, 1984) donde el poeta dramatiza esto en un momento singular, una conversación entre dos filósofos griegos. Termina así:

Esta conversación de dos desconocidos en un lugar de Grecia es el hecho capital de la Historia.
Han olvidado la plegaria y la magia.

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La imagen de La Escuela de Atenas, de Rafael, es un recorte de la que aparece en Wikipedia. El texto es, en su mayor parte, de mi libro Viaje a las Estrellas. Tales de Mileto es el mismo de la canción de Les Luthiers, y que mencionábamos hace poco en referencia a los triángulos semejantes: Si tres o más parale-le-le-las...

¡Bang!

Hace 35 millones de años, mientras este equinodermo empezaba a fosilizarse en los mares de la Patagonia austral, una estrella supergigante explotó en la galaxia M95. Esta semana, 35 millones de años después, los primeros fotones de la colosal explosión llegaron a la Tierra. Un pedacito de cielo en la constelación de Leo, muy cerca del planeta Marte, brilla estas noches con la luz póstuma de una estrella de otra galaxia.

Estudiando la luz de la supernova con un espectroscopio, descomponiéndola en los colores del arco iris, los astrónomos han determinado que se trata de una supernova de tipo II. Es decir, una estrella supergigante que se quedó sin combustible. Al apagarse las reacciones termonucleares en su núcleo la estrella colapsó bajo su propio peso a velocidades enormes, decenas de miles de kilómetros por segundo. Se convirtió en una bola hiper-densa y caliente de partículas subatómicas, un estado de la materia inusual aun para una estrella. La mayor parte literalmente "rebotó" hacia afuera, destrozando la estrella y ¡bang! creando la supernova. Nuevos elementos, de los que normalmente no se forman en las estrellas, surgieron de la tremenda explosión. Cuando sus restos se enfríen y dispersen pasarán a integrar el medio interestelar, la materia prima de la próxima generación de estrellas y planetas. El hierro de nuestra sangre y de nuestros autos, los semiconductores de nuestra electrónica, el níquel y el cobalto, el zinc de los techos, el plomo de los caños, el oro de los anillos, el cobre de los cables, la plata de las cucharas, el neodimio de los imanes, el mercurio, el platino, el bario, el uranio de Atucha, todo, todo, viene de explosiones como ésta, de estrellas de generaciones anteriores al Sol.

Con una noche perfecta y un sistema de autoguiado del telecopio que todavía estoy aprendiendo a usar era difícil resistir la tentación de fotografiar algo así. M95 es una galaxia relativamente cercana y fácil de ubicar. Las fotos salieron bastante bien, a pesar del cielo luminoso del barrio Melipal en Bariloche. Aquí está el resultado, un puñado de añejos fotones rescatados de acabar contra el césped del jardín de mi amigo Rafael, interceptados por los vidrios de mi telescopio, y registrados electrónicamente en mi cámara. Y ahora, en nuestros cerebros. Como ocurre muchas veces en la astronomía amateur, no es algo notable por lo que se puede ver, sino por lo que significa. La supernova (señalada SN2012aw) brilla con magnitud 13 en los cielos de la Tierra. Hice el cálculo, y esta insignificante magnitud, combinada con la distancia de 35 millones de años luz, corresponen a un brillo intrínseco de magnitud -17. Si estuviera a la distancia de Sirio, la estrella muy brillante cerca del cenit en estos días, sería un punto increíblemente luminoso, 800 veces más brillante que la Luna llena. La magnitud total de M95, con sus cien mil millones de estrellas, es 9.7, apenas 20 veces más brillante que la supernova solita. Una supernova es la única oportunidad de un aficionado de ver una estrella en otra galaxia.

En esta imagen agregué a mi foto una tomada con los telescopios del Observatorio Europeo Austral que muestra a M95 en todo su esplendor. Es una hermosa galaxia espiral barrada, con un anillo de estrellas jóvenes rodeando el núcleo. La supernova está justo en uno de los brazos espirales. Esto es característico de las supernovas de tipo II. Son estrellas tan pesadas que queman su combustible rápido y viven poco. En sus cortas vidas no alcanzan a abandonar los brazos espirales, que es donde se forman casi todas las estrellas.

La foto que mostré arriba es un recorte del fotograma completo. En un recorte más amplio se ve el resplandor de Marte, que estaba justo abajo y a la izquierda, bañando la escena. Me pareció simpático. La supernova seguirá brillando durante varias semanas o meses. Es perfectamente visible con un telescopio pequeño (de 10 cm o más de apertura si el cielo es oscuro). M95 está en la constelación de Leo, a un grado al sudeste de Marte ("arriba y a la derecha", vista desde nuestras latitudes australes). La pueden localizar con Cartes du Ciel.

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La foto de M95 con la supernova SN2012aw fue tomada por Guillermo Abramson, Rafael Montemayor y Eduardo Andrés, el 21 de marzo de 2012 a las 4 horas UT. Tiempo total de exposición 50 minutos. Cámara Canon T1i en foco principal de telescopio Meade LX10 (20cm f/6.3), 5 exposiciones, más darks y flats, procesadas en DeepSkyStacker.

La foto de M95 fue publicada por el ESO coincidentemente esta misma semana. 

La foto del equinodermo fósil fue tomada en el acantilado de Playa La Mina, cerca de San Julián (Santa Cruz, Argentina).

Si quiere usar alguna de las fotos, por favor pídamelas.

Último momento: La estrella que explotó ha sido identificada en imágenes tomadas por el Telescopio Espacial Hubble hace pocos años. Aquí hay un lindo video que lo explica. Esto es super-interesante, ya que no es común tener observaciones de una supernova antes de explotar. Curiosamente, no parece ser una estrella demasiado pesada en este caso: 8 masas solares, alrededor de mínimo que una estrella debe pesar para explotar.

Twinkle, twinkle, little star

Todo el mundo sabe que las estrellas titilan. Mucha gente, además, sabe que los planetas no titilan, y saben usar este hecho para identificar los planetas en el cielo nocturno.

Desde hace algunas semanas se puede ver el planeta Saturno cercano a la estrella Spica, la Espiga en manos de Virgo, alrededor de la medianoche en el cielo del Este. No están muuuuy cerca, pero lo suficiente para llamar la atención. Ambos brillan con la misma magnitud, así que aproveché para sacar una foto demostrando esta cuestión de titilar vs. no titilar.

Contradiciendo toda la explicación de la semana pasada acerca de la importancia de seguir con toda precisión el movimiento del cielo, he aquí una foto astronómica tomada con la cámara en la mano, sin preocuparme en absoluto de mantenerla estable. Más bien todo lo contrario. Con el teleobjetivo de 100 mm ambos, el planeta y la estrella, caben juntos en la misma foto. Por el temblor de la cámara ambos dejaron exactamente las mismas trazas caóticas. Aquí las muestro juntitas (aunque en el fotograma estaban más separadas, las acerqué para no desperdiciar el espacio negro en medio). Guau. ¿Qué es lo que salió?

Lo que vemos es, justamente, el titilar de la estrella y el no titilar del planeta. Como la exposición es larga (6 segundos), a medida que pasa el tiempo la imagen de la estrella se mueve por la foto. Así que vemos sus cambios temporales de brillo (¡y de color!) extendidos a lo largo de la traza. La imagen de Saturno hace el mismo recorrido, pero su brillo se mantiene prácticamente constante y no cambia de color. Para los detallistas: con la cámara en la mano, la velocidad de la imagen a lo largo de la traza no es constante, y por eso algunos rulos de la traza de Saturno se ven un poco más brillantes que otros, porque están más expuestos. Pero claramente el efecto es distinto en la estrella que en el planeta. La estrella titila, el planeta no.

¿Por qué titilan las estrellas y los planetas no? 

Es un fenómeno conocido desde la Antigüedad, y durante siglos se creyó que era una ilusión óptica. Aristóteles en su libro Sobre el Cielo decía que los planetas no titilan porque están cerca y nuestra visión los alcanza sin problema, mientras que las estrellas están muy lejos y la vista flaquea para alcanzarlas. Recuerden que se pensaba, incorrectamente, que la visión funcionaba al revés del verdadero mecanismo, con "algo" que salía de los ojos a "tantear" el objeto observado. Análogo al tacto, pero con dedos invisibles. Qué raro, ¿no?

El primero en sostener que no era una ilusión sino un verdadero fenómeno fue Kepler, cuándo no. Y fue Newton quien lo explicó correctamente en su tratado de Óptica. Newton dice que la causa del titilar de las estrellas es el temblor del aire. Y que para poner un telescopio, lo mejor sería ponerlo en una montaña alta (como se hace hoy en día, pero que se empezó a hacer recién a fines del siglo XIX, por razones logísticas). Nada dice sobre los planetas.

¿Y cuál es el mecanismo? 

Los rayos de luz que vienen de las estrellas viajan casi inalterados por el vacío interestelar durante milenios. Y de golpe, en el último centésimo de segundo de su largo viaje, tienen que atravesar la delgada capa de aire que nos mantiene vivos. El aire, aunque tenue, refracta la luz como si se tratara de una lente. En la atmósfera hay regiones de distinta temperatura y densidad, que refractan la luz un poco más o menos que otras. Estas celdas, que tienen unos pocos centímetros de ancho, se mueven para un lado y para otro de manera turbulenta, interceptando nuestra línea visual. Cuando la refracción aleja el rayo de luz de nuestra pupila la intensidad disminuye. Cuando lo acerca, el brillo aumenta. Nuestro ojo no alcanza a detectar el movimiento de la estrella para un lado y para otro. Pero mirando a través de un telescopio con mucho aumento se puede ver a la estrella bailando de lo lindo, y muy deformada (como en esta imagen de ε Aquilae). Hoy en día existen sistemas electrónicos capaces de compensar en tiempo real estas deformaciones. O si no, se pone el telescopio directamente por encima de la atmósfera, en órbita terrestre.

¿Y los colores iridiscentes? 

Resulta que cada color que compone la luz se refracta en un ángulo ligeramente distinto. Entonces, de la misma manera que un vidrio dispersa la luz en colores, la refracción en el aire también separa los colores de la luz estelar. Así que vemos no sólo cambios de intensidad sino de color. Cuando la estrella es muy brillante, y cuando está muy baja en el cielo, el efecto puede ser impresionante, y más de uno lo confunde con un OVNI de luces multicolores. Especialmente si van en auto, cuando las estrellas parecen "seguirnos" por falta de paralaje. A propósito, en un par de libros del siglo XIX encontré la observación, hecha por el famoso astrónomo francés François Arago, de que algunos pueblos árabes llamaban a Sirio, la estrella más brillante, Barakesch, que significaría "la estrellas de mil colores", probablemente aludiendo al titilar multicolor que aquí hemos demostrado fotográficamente. ¿Hay algún lector que sepa árabe por aquí?

¿Y por qué los planetas no titilan? 

Resulta que, aunque a simple vista tanto estrellas como planetas se ven como puntitos de luz, los planetas son mucho más grandes. Más grandes en el cielo, quiero decir; en realidad son más chicos que las estrellas, pero se ven más grandes porque están muchíiiiiisimo más cerca. Por eso, a través de un telescopio, un planeta se ve como un disquito pero una estrella se sigue viendo como un punto. Ese tamaño extendido de los planetas en el cielo es suficiente para "promediar" la refracción, ya que el movimiento de los rayos es menor que el tamaño del disco, eliminando en su mayor parte el titilar.

¿En serio? ¡Pero los planetas se ven tan chiquitos!

¡ALERTA! ¡SE APROXIMA UNA CUENTA! Si Ud. es matematicofóbico puede adelantarse hasta el último párrafo, que empieza "Es  decir".

Bueno, hagamos una cuenta sencilla, apelando a los triángulos semejantes que aprendimos en la escuela secundaria. Los rayos de luz que vienen de la estrella o planeta y que entran por la pupila forman un cono, que se va abriendo muy ligeramente a medida que nos alejamos del ojo. Queremos calcular el ancho del cono en la región más turbulenta de la atmósfera, típicamente a 12 km de altura, donde están las "celdas" de aire que distorsionan la luz y que miden unos 10 cm de ancho. Miren este dibujo, que representa los rayos de luz que entran por la retina y forman la imagen de la estrella o planeta (ojo, no está a escala, claro, si no no se ve nada). Los triángulos que nos interesan son los que se ven marcados con colores. Uno tiene su base en la fuente de luz, otro a 12 km de altura, y otro en la pupila (pongamos a = 5 mm). Los otros lados coinciden, de manera que coincide el ángulo inferior. Así que son triángulos semejantes y sus partes correspondientes son proporcionales. ¿OK? ¿Cómo que no? Es como en el Teorema de Tales, de Les Luthiers...

Lo que digo es que el cociente entre, por ejemplo, las bases, es igual al cociente entre, por ejemplo, los lados. Es decir:

b / a = (d+e) / d      (ecuación 1)

Y también:

c / a = (d+e+f) / d      (ecuación 2)

Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas, b y d. Aunque d no nos interesa y b sí tenemos que despejar las dos. Empecemos por la ecuación 2, que tiene una sola de las incógnitas, la d. Primero pasamos la d, de abajo a la derecha a arriba a la izquierda:

(c/a) d = d+e+f

De aquí es sencillo depejar d:

d = (e+f) / (c/a - 1) = (e+f) a / (c-a)   (acomodando el denominador)

Antes de poner este valor de d en la ecuación 1 observemos lo siguiente. La distancia astronómica f es mucho mayor que la altura atmosférica e. Así que en la suma (e+f) no perdemos prácticamente nada si dejamos sólo f. Del mismo modo, el tamaño de la estrella o planeta, c, es enorme comparado con el diámetro de la pupila, a. Así que en la resta (c-a) podemos dejar alegremente c. Así hacemos las cuentas los físicos, porque somos muy vagos. La verdad es que queda mucho más fácil:

d = f a / c

Ahora podemos poner este valor de d en la ecuación 1 (el primer paso distribuye el denominador d):

b/a = (d+e)/d = 1+ e/d = 1 + (e c) / (f a)

Pasando a del denominador del lado izquierdo al numerador del lado derecho y simplificando: b = a + e c /f. Éste es el resultado importante. Notemos que el ancho del haz en la alta atmósfera es igual al tamaño de la pupila más algo. Es decir, el haz de luz se ensancha hacia arriba, como esperábamos. Good. ¿Cuánto se ensancha? Depende de e, c y f. Veamos Spica y Saturno. Hay que poner todo en las mismas unidades.

Para Spica:

c = 7 diámetros solares = 9.7×10⁹ metros
f = 260 años luz = 2.46×10¹⁸ metros

Obtenemos: b = 5.05 mm (apenas más grande que la pupila: como la estrella está tan lejos, el cono de luz se va abriendo muuuuy ligeramente; ésta es la clave del fenómeno).

Para Saturno:

c = 1.14×10⁸ metros
f = 9 unidades astronómicas = 1.32×10¹² metros

Obtenemos: b = 1 metro y monedas (abarcando varias celdas de aire).

Es decir, mientras el haz de rayos de Spica es mucho más angosto que una típica celda de turbulencia, el haz de rayos de Saturno es mucho más ancho, así que aunque bailen las celdas en su interior casi no afecta la luz total que llega a la pupila y forma la imagen. De todos modos, si el aire es muy turbulento (cosa que suele ocurrir en Bariloche por efecto de la Jet Stream) hasta los planetas pueden titilar.

PS: En 2014 hice algo similar con Marte y Antares: Ares vs Anti-Ares.

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Notas varias

Hace como un año salió una foto como ésta en la APOD. El tipo la sacó colgando la cámara de un elástico, me parece, así que le quedó una linda figura de Lissajous. Con la cámara en la mano es más fácil, pero habría que probar...

Libros antiguos con la referencia de Arago: Curiosities of science, past and present: a book for old and young, de John Timbs, y: Arts and sciences: or, Fourth division of "The English encyclopedia", v. 8, editada por Charles Knight.

Cita de Newton: For the Air through which we look upon the Stars, is in a perpetual Tremor; as may be seen by the tremulous Motion of Shadows cast from high Towers, and by the twinkling of the fix’d Stars. [...] The only Remedy is a most serene and quiet Air, such as may perhaps be found on the tops of the highest Mountains above the grosser Clouds.

¡Ah, Google Books!

El título de la nota hace referencia a una canción de cuna en inglés, que empieza:

Twinkle, twinkle, little star,
How I wonder what you are.

Y que lleva una música tradicional muy conocida porque Mozart escribió unas famosas variaciones para piano (KV 265), que todo el mundo sabe tocar con un dedo: do do sol sol la la soool... fa fa mi mi re re dooo...

La canción sigue:

Up above the world so high,
Like a diamond in the sky.

Un diamante, que brilla con luces multicolores como una estrella titilando. Como Lucy in the sky with diamonds, también. Es un tema recurrente en la cultura, como se ve. Si no recuerdo mal, Tycho Brahe comparó su Stella Nova con un diamante, también.

Los astrónomos se refieren al titilar como seeing, y lo miden en segundos de arco correspondientes al diámetro de la imagen de la estrella. Hay otros factores que afectan el seeing, tales como la transparencia del aire, el brillo del cielo, etc. Hay un artículo de nuestro propio Gaviola sobre el tema: On seeing, fine structure of stellar images, and inversion layer spectra, Enrique Gaviola, Astr. Jour. 54, 155 (1949).

La imagen de la estrella a través del telescopio está basada en una de Wikipedia, autor Rnt20. La foto de Saturno y Spica es mía mía mía. Si la quieren usar, me la tienen que pedir.

Robotito

La clave de la fotografía astronómica es mantener la cámara apuntando fijo a un punto del cielo. ¿Por qué? Porque el cielo se mueve, y a menos que el objeto sea muy brillante (la Luna, por ejemplo) el tiempo de exposición tiene que ser prolongado. Claro que en ocasiones se puede usar el movimiento del cielo para lograr un efecto dramático, como en este caso. Ésta es una exposición de una hora de duración con la cámara fija en un trípode. Se observan las trazas que las estrellas dejan en su viaje nocturno. ¿Reconocen la Cruz del Sur y el Puntero?

Para apuntar fijo a un objeto del cielo a medida que pasan los minutos de exposición fotográfica un trípode común es insuficiente. Hay que montar la cámara en una plataforma móvil capaz de seguir el movimiento de los astros. Las monturas de los telescopios pueden hacerlo mediante un mecanismo de relojería. Esto es suficiente para fotografiar durante un buen rato con la cámara montada sobre el telescopio, con una lente normal o de gran angular. Es una técnica muy sencilla y satisfactoria que se llama por su nombre en inglés piggyback, o sea "cococho" o "caballito".

La foto salió movida 

Pero ningún mecanismo de relojería, por más sofisticado que sea, es suficiente para fotografiar de esta manera con un teleobjetivo o a través del telescopio. Pequeñas imperfecciones mecánicas o eléctricas, o de orientación de la montura, hacen que aun en una foto de corta exposición las estrellas salgan "movidas". A veces es casi imperceptible, pero es un defecto que se trata de evitar. Esta foto (de prueba, no me la critiquen) de apenas 15 segundos de exposición de la Nebulosa de Carina parece aceptable si uno la mira a una escala pequeña.

Pero en este recorte de la parte central se aprecia que las estrellas están "movidas". Una exposición de varios minutos, para capturar mejor la tenue nebulosidad, quedaría inaceptable.

Breve manual del guiado manual 

La solución es hacer pequeñas correcciones al movimiento del telescopio. Esto se logra controlando una estrella de referencia a través de un ocular que tiene un retículo iluminado, y manteniéndola centrada en el retículo con los controles finos de la montura, que pueden ser tornillos o botones. Para colmo, cuando la cámara está montada en el lugar donde uno habitualmente pone el ojo, ¡no se puede usar el telescopio para controlar la estrella de referencia! Entonces se monta un segundo telescopio paralelo al primero, con el ocular reticulado, y se controla a través de éste mientras se fotografía a través del principal. Esta técnica se llama guiado. Durante un siglo los astrónomos hicieron esto con gran esfuerzo físico, a veces exponiendo sus fotos durante horas en los fríos observatorios de las montañas. Hoy en día las cámaras electrónicas son mucho más sensibles, pero aun así ¿quién quiere pasarse 5 minutos (por toma) retorcido en posiciones impredecibles, sin moverse, chupando frío, mirando fijo una estrellita muchas veces casi invisible, apretando botones sin equivocarse en la oscuridad? ¿Eh? En el siglo XXI tiene que haber una mejor manera de "guiar"...

Bienvenidos al siglo XXI

Efectivamente, todo el proceso puede automatizarse. Desde no hace mucho el autoguiado está inclusive al alcance de los astrónomos aficionados. Muchos telescopios modernos tienen monturas que pueden conversar con una computadora, o que directamente tienen una computadora dentro. Una cámara de video en el telescopio de guía y un programa de guiado automático son todo lo que se necesita para que la computadora controle los movimientos del telescopio manteniendo centradas las estrellas durante una exposición larga.

Mi telescopio principal, un Meade LX10, es de los últimos que vinieron sin computadora ni opciones de autoguiado. La única manera de controlarlo es mediante una botonera que lo mueve (imperceptiblemente) hacia el Norte, el Sur, el Este o el Oeste del cielo. Cansado, de todos modos, de tirar la mitad de las fotos por errores de guiado, e imposibilitado de salir a observar por la presencia de ceniza volcánica desde hace meses, me entretuve implementando un robot capaz de mirar fijo una estrella, controlar sus movimientos, y simular en el control de mi telescopio la presión de los botones para moverlo en la dirección correcta.

La sencilla botonera del LX10 funciona abriendo y cerrando partes del circuito de la montura, o invirtiendo voltajes. Esto se puede lograr con un circuito adecuado que use relés en lugar de los botones. Los programas de computadora para hacer el guiado ya existen, inclusive algunos gratis. Sólo que sus comandos están predefinidos para controlar telescopios que aceptan las instrucciones de autoguiado. Así que necesitaba un "emulador", que tradujera las instrucciones tipo "moverse al Oeste durante 1 segundo" en la presión del botón Oeste durante 1 segundo. Con la ayuda de mi compinche Eduardo Andrés y de un aficionado inglés que quería hacer lo mismo, Gordon Train, hicimos este aparato con un microcontrolador Arduino Uno y una sencilla placa de transistores y relés. El Arduino "escucha" los comandos que el programa de guiado le pasa a través del puerto USB de la computadora, y activa mediante unos transistores los relés adecuados, conectados a la entrada de la montura. Una especie de webcam sin lente, montada en el foco principal del telescopio guía, es el "ojo" del robot, que manda la imagen de una estrella de referencia a la computadora, donde es analizada por el programa de guiado. ¿Y funciona?

¡It's alive!

Hace poco, aprovechando una noche despejada y sin ceniza, hicimos la primera prueba fotográfica en el balcón de casa. Para una prueba el brillo del alumbrado público (¡y de la Luna llena!) no nos molestaban. Tomamos una imagen de referencia de 15 segundos sin guiado (es la que mostré arriba). Encendimos el autoguiado usando el programa gratuito PHD, que calladamente tomó el control de telescopio. En un par de minutos calibró el movimiento de la estrella guía y del telescopio. Cuando estuvo listo hicimos una exposición de 1 minuto. Salió perfecta. ¿Dos minutos? Perfecta. ¿Cinco minutos? Era la prueba de fuego. Guiando a mano nunca hicimos exposiciones de más de 5 minutos, porque es muy cansador. También perfecta, indistinguible de las más cortas. ¡Y bue', dale 20 minutos y vamos a tomar un té! ¡Veinte minutos! Dejamos a Moreira (el robotito se llama Moreira) haciendo su tiqui-tiqui-tiqui y nos fuimos a hacer té. El resultado está aquí abajo. Estrellas perfectamente redondas, un éxito total.

Ahora sólo necesitamos que se apague el volcán, y encontrar un sitio adecuado para ir a fotografiar, ya que el que usábamos el verano pasado está en la peor zona de depósito de cenizas volcánicas...

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Gracias a Eduardo, que entiende la electrónica mejor que yo, a Gordon, que escribió las primeras versiones del controlador y del circuito, a Hernán que me prestó su Arduino Uno mientras llegaba el mío, y a Damián que me enseñó a guiar (sin retículo, sin motor y a manopla) a fines del siglo XX.

100K

Antes de publicar la nota semanal del sábado quiero mencionar aquí que esta semana En el Cielo las Estrellas alcanzó las 100 mil visitas. Cien mil lectores que pasaron por aquí. Algunos fugazmente, otros para quedarse. Todos deben haber encontrado algo que les interesó, que los atrajo, que los entretuvo. Con 154 notas publicadas, el valor medio de las visitas es de 650 por nota. Claro que la distribución de visitas no es uniforme, ni en el tiempo ni en notas, como se ve en la captura de la pantalla de estadísticas de Blogger aquí abajo. ¡Pero se un montón!

Así que quiero agradecerles a mis lectores, a mis visitantes, a los que dejan comentarios, a los que me escriben y a los que no. Escribo estas notas para Uds., así que me alegra que sigan viniendo. ¡Manden a sus amigos, a todos los que crean que pueden disfrutar de una visión personal del universo y de la astronomía, a todos los que gusten de la ciencia en general!

Euclides y sus primos

Hace ya dos años publiqué esta nota, que es una de las más visitadas de En el cielo las estrellas. No es por pereza que aparece de nuevo aquí —ya que no me faltan notas en borrador— sino porque me parece que vale la pena ponerla al alcance de mis lectores actuales. Los que ya la leyeron sabrán disfrutarla de nuevo. 

Note: This is one of the most visited entries of this blog. If you don't read Spanish, you may try a Google translation from the menu here at right. Your comments are welcome in any language!

Seguramente han escuchado hablar de Euclides. Seguramente también saben que existen unos números llamados números primos. Algunos recordarán inclusive que existen infinitos números primos, tal vez sin estar muy seguros de qué significa esto. Los más memoriosos deben tener someros recuerdos de ambos, Euclides y sus primos, de la escuela secundaria. Quisiera refrescarles la memoria y contarles algo interesante.

Euclides fue el primero en demostrar que existen infinitos números primos. Su demostración es de una belleza, una simplicidad y una profundidad tales que debería ser de enseñanza obligatoria en las escuelas. Según el genial Douglas Hofstadter, pasar por la vida sin experimentar este pilar crucial del conocimiento humano es una desgracia comparable a no haber probado jamás el chocolate o escuchado una pieza de música. Yo estoy de acuerdo, y voy a hacer mi pequeña contribución para eliminar de la vida de mis lectores esta lamentable falta.

Para refrescarles la memoria basta decir que Euclides fue un matemático griego de la Antigüedad que vivió en Alejandría en el siglo III A.C. Fue el fundador de la geometría tal como la conocemos. Su libro Elementos fue un manual de texto usado desde su época hasta principios del siglo XX ¡durante veintitrés siglos! En cuanto a los números primos, como recordarán, son números enteros que no pueden dividirse por otro número sin dejar resto. El 7, por ejemplo, es primo porque no es divisible ni por 2, ni por 3, ni por 4, ni por 5, ni por 6. El 10 no es primo —es compuesto— ya que es divisible por 2 (y por 5 también, claro). Así de sencillos como parecen, los números primos están envueltos en misterios. A lo largo de la historia muchos de esos misterios han sido develados por los matemáticos. El más fundamental de todos —que existen infinitos números primos— fue demostrado por Euclides. Y ahora viene lo interesante.

¿Qué significa que existen infinitos números primos? Está claro que parece haber muchos: si hacemos una lista parecen no acabarse nunca. Claro que a medida que buscamos números más grandes es cada vez más difícil verificar si son primos (porque hay más candidatos para dividirlos). Pero bueno, el 2 es primo, el 3 es primo, el 5, el 7, el 11, el 13, el 17, el 23... Son los que están marcados en rojo en la figura de acá arriba, y que Uds. pueden continuar hasta donde quieran. Si son infinitos, significa que podríamos seguir alargando la lista sin terminar jamás. Obviamente, si sospechamos que son infinitos, demostrarlo mediante semejante enumeración sin fin no parece un plan muy practicable, dada la finitud de la vida humana. ¿Qué podemos hacer? ¿Fundar una secta de monjes, los Venerables Contadores de Primos, y alargar la lista generación tras generación? Sería también inútil: la vida en la Tierra se acabará en algún momento, a lo sumo cuando se extinga el Sol, y ni siquiera los miles de millones de años que hayan pasado habrán sido suficientes para enumerar infinitos números primos. Ni siquiera la eventual larguísima vida del universo todo, suponiendo que nuestros descendientes se muden a otros mundos, sería suficiente. Está claro que la demostración de que existen infinitos números primos debe ser más sutil que una simple enumeración. Así que hay que razonar. Y así razonó Euclides. Atención.

Supongamos que existe un número que es el mayor de los números primos, P, el Mayor Primo Bajo el Sol, y veamos a dónde nos lleva esta suposición. Si existe P, quiere decir que existe un conjunto finito, el Club de Todos los Primos, de los cuales P es el glorioso decano. Multipliquemos todos los números del Club, para formar un número —enorme, claramente mayor que P— que llamaremos Q. Es decir Q = 2×3×5×...×P. Este número Q es divisible por 2 (obviamente, ya que Q/2 da 3×5×...×P sin resto). También es divisible por 3 (ya que Q/3 = 2×5×...×P), por 5, por 7, por 11 y así sucesivamente hasta que dividimos a Q por P, también sin resto. Es decir, debido a su propia definición, Q es compuesto, ya que es divisible por todos los miembros del Club, o sea ¡por todos los primos del universo! (recordemos que supusimos que P es el mayor de todos los primos).

Ahora viene un paso crucial: sumemos 1 a Q, para formar el número Q+1. ¿Qué sabemos de Q+1? Que es un número colosal, sin duda. Es inclusive más grande que Q (no por mucho, pero es más grande). Sabemos también que Q+1 es compuesto, no puede ser primo, porque P (que es muchísimo más chico que Q+1) es el mayor de los primos. Cuando supusimos que P era el primo más grande, automáticamente supusimos que todos los números mayores que P tienen que ser compuestos.

OK, entonces Q+1 es compuesto. ¿Qué número primo podría ser divisor de Q+1? No puede ser 2, ya que 2 divide a Q, y Q es el anterior de Q+1, y los números pares nunca son consecutivos. Tampoco puede ser 3, ya que 3 divide a Q, que es el anterior, y los múltiplos de 3 tampoco son consecutivos (vienen de tres en tres...). De hecho, cualquier número primo p que elijamos, divide a Q, y por lo tanto no puede dividir al siguiente de Q, que es Q+1. En la figura se ilustra esto pintando los múltiplos de los primeros primos: nunca son consecutivos. Este razonamiento nos lleva a concluir que ninguno de los miembros del Club de Todos los Primos divide a Q+1. Ninguno, desde el pequeño 2 hasta el propio P.

Pero ¿entonces? En el párrafo anterior habíamos concluido que Q+1 es compuesto, o sea tiene algún divisor. ¡Y ahora decimos que no tiene ninguno! ¡Es una trampa! ¡Nuestro razonamiento nos ha arrinconado en una contradicción de la cual no sabemos si podremos escapar! Hemos creado un monstruo, un número que por un lado es compuesto, y por el otro no tiene ningún divisor. ¿Cómo zafamos?

La contradicción viene de la suposición de que existe ese Club de Todos los Primos, finito y cerrado, coronado por el máximo primo P. Así que no nos queda alternativa más que retroceder y eliminar esa suposición. No existe, no puede existir, el mayor de todos los primos. La verdad, según hemos demostrado, es que existen infinitos números primos. La lista de los números primos sigue y sigue, sin final. Ahora estamos seguros, no porque los hayamos contado uno por uno, sino porque lo hemos demostrado mediante un razonamiento impecable. (A propósito, este tipo de razonamiento en el cual se supone una hipótesis y se llega a una contradicción se llama reducción al absurdo, y está en el corazón de muchísimas demostraciones matemáticas.)

Espero que lo hayan disfrutado. Ahora no sólo saben que hay infinitos números primos, sino que saben por qué. Como el chocolate y como la música, dice el amigo Hofstadter, esta demostración es algo que se puede volver a disfrutar si dentro de un tiempo vuelven a leerla.

Para los curiosos que se preguntan para qué sirve un número primo, baste decir que los números primos se encuentran en el corazón de todos los métodos criptográficos de la actualidad, que permiten desde el almacenamiento seguro de las claves de usuario hasta la seguridad de las compras que hacemos con la tarjeta de crédito.

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Douglas Hofstadter cuenta de manera encantadora, aquí burdamente imitada, esta demostración en su libro I am a strange loop.