Planetas troyanos

A propósito del problema de tres cuerpos, que mencionamos hace poco, hubo recientemente un anuncio que me llamó la atención. Como ya comenté más de una vez, Lagrange fue el primero en encontrar una solución a un problema de tres cuerpos en una situación restringida (bueno, tal vez primero lo encontró Euler, no sé). La solución de Lagrange tiene dos restricciones: por un lado, se requiere que las tres órbitas estén en un mismo plano. Esta es una suposición habitual, nada que objetar. La segunda restricción es que uno de los objetos tenga masa casi nula, comparada con la de los otros dos. Es la situación del Sol, un planeta y un asteroide, por ejemplo. En esas condiciones, Lagrange descubrió que existen cinco soluciones al problema, que hoy llamamos puntos de Lagrange 1 a 5. Tres de ellas son inestables (L1, L2 y L3; L1 es donde está Dscovr, L2 es donde están el Webb, Gaia, etc.). Los puntos L4 y L5, en cambio, son estables, y existen órbitas estables en ellos o en su proximidad ("librando" a su alrededor, se dice). En el sistema Sol-Júpiter, es donde orbitan los asteroides troyanos, que ya hemos comentado. Los puntos L4 y L5 forman con el Sol y el planeta sendos triángulos equiláteros. 

Lagrange encontró que, en su problema restringido, L4 y L5 son estables si la masa del planeta es menor que el 3.85% de la masa total del sistema. Esa condición se satisface en el sistema solar para el Sol con Júpiter, y por lo tanto para todos los planetas. Hoy en día se conocen asteroides troyanos de casi todos, incluso de la Tierra. 

Pero, ¿qué pasa si el tercer cuerpo no tiene masa nula? ¿Qué pasa si en lugar de un asteroide es una luna, o incluso otro planeta? Hace 20 años Laughlin y Chambers demostraron que incluso dos planetas iguales pueden orbitar juntos el Sol, cada uno como troyano del otro, los dos girando alrededor de la estrella a la misma velocidad (resonancia 1:1, se llama). La condición de estabilidad es que la masa combinada de los dos planetas no supere el 3.81% de la masa total (¡que es casi la misma condición que en el caso de Lagrange! ¿casualidad?). Las órbitas se ven así, dibujadas en un sistema que gira a la velocidad orbital (media) de los planetas.

Cada planeta se mueve en una de esas medialunas onduladas (se ven varias líneas porque hay varias órbitas dibujadas). No vayan a creer que van y vienen, insisto: esto está dibujado en un sistema de coordenadas que rota a la velocidad orbital. Las medialunas representan que los planetas se mueven a veces un poquito más rápido y a veces un poquito más lento, y se van acercando y alejando. Se llama "osculación". Muchas palabras técnicas en esta nota.

La cuestión es que el resultado me sorprendió, pero en el fondo yo ya sabía que esto era posible. A veces pasa que uno no sabe lo que sabe. Hasta lo había contado acá: dos lunas de Saturno, Jano y Epimeteo, hacen una danza de este tipo. Jano es apenas tres veces más pesado que Epimeteo, y ambos tienen masas despreciables con respecto a Saturno. Es un poco distinto, pero según Laughlin y Chambers no habría problema en que fueran más pesados.

El resultado me sorprendió, como dije, pero lo que me interesó para contar acá no es ese paper de hace 20 años, sino uno más reciente, que muestra un sistema planetario en formación (PDS 70, en Centauro) en el cual hay al menos dos planetas confirmados. Nuevas imágenes del radiotelescopio ALMA muestran que, en el punto L5 del planeta PDS 70b, parece haber otro planeta, o al menos una gran cantidad de material formando un nuevo planeta:

En la foto están marcados la órbita del planeta (es casi circular, pero la vemos inclinada con respecto a nuestra línea visual), el planeta (círculo continuo) y la masa en su L5 (círculo punteado). Juzgando por el brillo, la masa sería de hasta dos Lunas (nuestra Luna), pero podría haber un planeta más grandecito dentro de esa nube de escombros. El resto del anillo es materia que está en órbita de la estrella sin haber formado todavía planetas: es un disco circumestelar, que eventualmente desaparecerá en algunos millones de años, cuando terminen de formarse los planetas. Cerquita del borde interno del disco, en la posición de las 3 horas, se ve el otro planeta confirmado, PDS 70c.

Es una preciosidad, y es curioso reflexionar que algo así se da de bruces contra la definición de planeta adoptada por la IAU. Claramente PDS 70b no ha "limpiado su órbita". Qué, ¿entonces no lo vamos a llamar "planeta?" Pff. Esto demuestra la vacuidad, por no decir estupidez, de la famosa definición. ¿Le vamos a decir de la manera que me niego a repetir, pero que empieza con "planeta" y termina con "enano". 

El descubrimiento parece sólido, pero incluso si no llegara a confirmarse (ha habido "exotroyanos" ya desenmascarados), la galaxia es inmensa, y nada impide que existan estos planetas troyanos. En algún lugar debe haber alguno. Me encanta.

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El paper de los planetas troyanos es Laughlin & Chambers, Extrasolar trojans: The viability and detectability of planets in the 1:1 resonance, The Astronomical Journal 124:592–600 (2002).

El paper del presunto exotroyano es de unos españoles:  Balsalobre-Ruza et al., Tentative co-orbital submillimeter emission within the Lagrangian region L5 of the protoplanet PDS 70 b, Astronomy & Astrophysics (2023) (preprint).

La imagen del sistema protoplanetario PDS 70 es de ALMA (ESO/NAOJ/NRAO) /Balsalobre-Ruza et al.

El Gran Planetario de Fulton

Durante una breve visita académica a Glasgow recorrí el Museo Kelvingrove, cerca de la Universidad. Es principalmente una galería de arte, pero al estilo de todos los museos británicos, hay de todo. En un rincón del piso superior me sorprendió encontrar esto:

Es un planetario mecánico (orrery, en inglés, por el Conde de Orrery, que construyó el primero en el siglo XVIII). Éste es el Grand Orrery de Fulton, y es tan grande que no logré fotografiarlo entero. Fue construido por John Fulton entre 1823 y 1833, en ratos libres mientras cortaba cuero y clavaba tacos. Fulton no era ni conde ni astrónomo: era un zapatero remendón que sólo había hecho la primaria. Pero era un apasionado autodidacta de la astronomía, con un evidente don por la mecánica. El aparato es increíblemente sofisticado. En el centro están el Sol (de unos 15 cm de diámetro) y los cuatro planetas terrestres (Marte sin sus satélites, que fueron descubiertos en 1877):

La Tierra está dibujada en minúsculo detalle con sus continentes y mares, y la Luna orbita a su alrededor (me quedó tapada por Venus en esta foto, pero se ve en la de abajo). A su alrededor se identifican los planetas gigantes Júpiter (con sus cuatro satélites galileanos, a la izquierda en la foto), Saturno (con anillos y satélites), y una cantidad de planetas menores:

Los planetas exteriores están suficientemente cerca del ventanal, como para apreciar la increíble complejidad del mecanismo:

Por fuera de Saturno sólo encontramos Urano (Neptuno se descubrió recién en 1846):

Los engranajes fueron fabricados por Fulton usando una máquina que él mismo construyó, y están calculados con tal precisión que, impulsados por la única manivela que se ve en las fotos, los cuerpos celestes realizan sus movimientos diurnos y anuales, con los satélites orbitando a su alrededor. Todo esto manteniendo las posiciones correctas en el espacio a partir de una fecha y hora que se configuran con unos diales en el cilindro central. Están representados con precisión tanto las inclinaciones de los ejes y de las órbitas, así como las excentricidades y los cambios de velocidad orbital. Además de los engranajes hay banditas de seda, palancas y poleas que se encargan de los movimientos más sutiles. 

El Gran Planetario fue el tercero que construyó Fulton, y fue un tremendo éxito de divulgación científica masiva. Fulton lo llevaba a las escuelas y de gira por todo el país, y cuando murió en 1853 su familia siguió haciéndolo por 10 años más. Finalmente una empresa de Glasgow lo compró y lo donó a la ciudad. En 1930 le cambiaron la fuerza motriz por un sistema de pesas, y en 1970 por uno eléctrico. No lo vi funcionar, pero en YouTube el Museo lo muestra en movimiento:

Hoy tenemos el Stellarium en el bolsillo, y Celestia, y Space Engine, y nos cuesta imaginar una época en que no existía nada de esto, y los entretenimientos eran mucho más limitados. Pero estos planetarios mecánicos deben haber sido algo hipnótico y portentoso. Ni hablar hace 2200 años, cuando vio la luz el primer planetario, el mecanismo de Antikitera, del que tengo que hablar alguna vez.

A correr, que chocan los planetas

«Siempre algún terremoto aparece
Y al atardecer llueven meteoritos.»
Les Luthiers, Añoralgias

A veces Bariloche parece el calamitoso pueblito de la zamba Añoralgias: terremotos, erupciones, exceso de nieve, falta de nieve, inundaciones, fieras salvajes, epidemias... ¡meteoritos! La semana pasada los barilochenses fueron sorprendidos por un descomunal destello a medianoche, que iluminó los cerros nevados como si fuera de día. Mucha gente sintió el ruido de la explosión y temblaron puertas y ventanas.

En unos pocos videos de cámaras de seguridad se llega a ver el cielo, y se puede ver que la luz provino de una traza brillante que cruzó el cielo y explotó en varios destellos sucesivos. Por ejemplo, en éste se la puede ver reflejada en una piscina en el Hotel Apartur Catedral:

Las imágenes no dejan lugar a dudas. Fue un bólido: un meteoro muy brillante. Como las familiares estrellas fugaces, pero muchísimo más brillante. Se producen cuando ingresa a la atmósfera un pequeño asteroide, es decir una roca que venía siguiendo su propia órbita alrededor del Sol (las estrellas fugaces son producidas por rocas mucho más pequeñas, del tamaño de granos de arena). No es del todo correcto decir que "caen"; más bien, la Tierra se las lleva por delante. 

¿Y por qué explotan, si son de roca? Una roca no es explosiva. A veces se dice que se calientan por la fricción con el aire, pero no es tan así. Es el aire, pero no es fricción. La principal razón es la tremenda velocidad con la que ingresan a la atmósfera, que puede ser de 20 mil kilómetros por hora, o incuso mucho más. Cuando el asteroide se encuentra con el aire empieza a sentir una resistencia, como la que sentimos en el cuerpo cuando andamos en bicicleta. Pero debido a la inmensa velocidad, la situación es muy distinta de cuando nosotros nos movemos a través del aire a una velocidad modesta. El aire no alcanza a correrse “de costado” para dejarlo pasar. La roca funciona más bien como un pistón comprimiendo el aire frente a sí. Lo comprime muchísimo y muy rápido. Lo comprime, y lo comprime, y lo comprime. Cuando el aire se comprime se calienta, y cuando se comprime mucho, se calienta mucho. El calor tampoco tiene tiempo de irse a ningún lado, y se acumula en el aire (es una compresión adiabática). La enorme temperatura hace brillar el aire (eso es mayormente lo que se ve brillando) y calcina la superficie de la roca. 

Pero eso no es todo. En general, cuando uno comprime bruscamente el aire (como en un aplauso) la presión que se produce se aleja en forma de sonido en todas direcciones. Pero la roca se está moviendo (mucho) más rápido que el sonido, así que la presión no tiene tiempo de alejarse hacia adelante, y se acumula tanto en el aire como en la supeficie de la roca, formando lo que se llama una onda de choque. Y finalmente la rompe. La fractura produce más superficie, más onda de choque, más fractura... es un efecto multiplicativo, o sea una explosión. Eso es lo que se ve en la trayectoria del bólido: una sucesión de explosiones en medio de vapores supercalientes. Cada molécula con la que choca le roba un poquito de impulso, y la roca se va frenando, y el calor finalmente se disipa. Todo esto ocurre a más de 30 km de altura, así que la onda de choque tarda incluso minutos en llegar a la superficie, para que se escuche la explosión, pero si es grande, finalmente llega. También, si la roca es suficientemente grande (1 metro, ponele), algunas piedras sobreviven y caen a tierra en forma de meteoritos. Sólo si la roca es muuuy grande (cientos de metros), podría llegar a golpear el suelo antes de desintegrarse, formando un cráter. Y si no, sólo queda polvo y moléculas flotando en el viento.

El fenómeno no es tan raro. Si googlean, encontrarán relatos similares más o menos frecuentes: el 18 de mayo de 2016 en Pinamar, el 30 de julio de 2015 en Buenos Aires, el 18 de febrero de 2014 en Santa Fe, el 21 de abril de 2013 durante un recital de Los Tekis en Salta... La NASA mantiene un sitio que cataloga los bólidos detectados por sensores americanos, en todo el mundo, y son muchísimos:

También, los más modernos satélites meteorológicos, que tienen sensores para detectar los rayos de tormenta, pueden verlos desde el espacio. Detectan casi 1500 por año, es decir entre 3 y 4 por día:

El que se vio desde Bariloche fue observado por el satélite GOES 16, y se lo ve explotando un poco al sur del cerro Tronador:

En ocasiones, cuando la caída está bien documentada, se han podido recuperar los meteoritos. En este caso, por tratarse de una región relativamente remota en la cordillera, cubierta de bosques y todavía en invierno, tengo mis dudas de que se pueda recuperar algún pedazo.

 

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El primer video no sé de qué fuente es. El segundo, es del Apartur Catedral. El mapa de bólidos de la NASA es de su sitio de Fireballs (al día de hoy, todavía no está actualizado hasta el 9 de septiembre, pero voy a seguir revisándolo). El otro es de su sitio de Bolides (tampoco llega al 9 todavía). Las imágenes satelitales son del GOES Image Viewer. Hay otro video lindo que identificó Denis Martinez en una cámara de Cipoletti:

Y uno desde el Cerro Bayo en Villa La Angostura, donde el brillo de la bola de fuego produce un halo similar al solar y al lunar (en los cirrus que se aprecian en la imagen satelital):

La masa depositada por meteoros en la Tierra es bastante grande, unas 50 mil toneladas por año, de las cuales la inmensa mayoría es polvo, y sólo una pocas toneladas son meteoritos de tamaño macroscópico.

El problema de tres cuerpos

El mismísimo Isaac Newton (acá nomás, a menos de una milla de donde escribo estas líneas), fue el primero en investigar el movimiento de tres cuerpos que se atraen mutuamente por acción de la gravedad. A pesar de que el mismo problema, pero con dos cuerpos, le había resultado manejable y completamente resoluble (además de conseguirle fama y fortuna), el de tres cuerpos resultó notoriamente difícil. Durante siglos los más grandes matemáticos y físicos de cada época lo estudiaron, encontrando en su análisis tanto una fuente de inspiración como un rompedero de cabeza. Euler, Lagrange, Poincaré y Hilbert están entre ellos. Notablemente, Poincaré descubrió que el problema, en un sentido amplio, no tenía solución, lo cual desembocó en toda una rama de la física-matemática, la Teoría del Caos. Ya hemos contado en el blog la historia accidentada del trabajo de Poincaré.

En breve el Problema de Tres Cuerpos llegará a la cultura popular, gracias a una serie de Netflix basada en una exitosa novela de Liu Cixin. Ya veremos qué tal les sale. La novela cuenta la historia de la comunicación con los habitantes del planeta Trisolaris, que orbita tres soles a la vez. El complicado baile orbital de los tres soles hace que la vida en Trisolaris sea muy difícil, ya que la naturaleza caótica de la órbita hace que a veces se calcinen y otras se congelen, de manera impredecible. Una facción de científicos terrestres pretende ayudar a los trisolarianos a encontrar una solución del problema de los tres cuerpos, para que puedan vivir mejor. 

Curiosamente, aunque el movimiento general de un sistema de tres cuerpos en interacción gravitatoria es caótico, existen soluciones periódicas. Yo conocía sólo las de Lagrange y las herradura (o tadpole), y me sorprendió leer sobre las demás. Durante 300 años se conocieron tres familias de soluciones: las eulerianas (conocidas ya por Euler y Lagrange en el siglo XVIII), las BHH (descubiertas recién en 1975), y las que tienen forma de ocho (descubiertas por Moore en 1993). Algunas se ven aquí (una figura en ocho se ve en la segunda fila, a la derecha):

Y de golpe, en 2013, se descubrieron once familias más, por métodos computacionales. Pero eso no fue todo. En 2017, Li y Liao descubrieron ¡695 familias!, incluyendo las de forma de ocho y las 11 del 2013, más 600 que nunca nadie había visto. He aquí algunos ejemplos:

En estos gráficos, cada color muestra la trayectoria de uno de los cuerpos (todos de la misma masa). La de arriba a la izquierda parece "sencilla". Y las otras parecen caóticas, pero no: son periódicas; esas trayectorias complicadas se cierran sobre sí mismas y se repiten, como la órbita de la Tierra alrededor del Sol hace cada año. Qué loco, ¿no?

Más de 200 de estas nuevas órbitas periódicas pueden revisarse en este sitio. Allí algunas están animadas, así:

Trabajos aún más recientes han encontrado soluciones periódicas a sistemas en los cuales sólo dos de los cuerpos tienen la misma masa, e incluso cientos de órbitas en sistemas con las tres masas distintas. Tipo Sol, Júpiter y Marte. Menos mal que la órbita de Marte no es así, si no, ¡pobre Kepler! Sorprendentemente, todas estas órbitas descubiertas computacionalmente satisfacen una Tercera Ley de Kepler generalizada, lo cual sugiere que debe existir alguna estructura elegante subyacente a todas ellas, todavía por ser descubierta. 

¡Último momento! Acabo de leer en New Scientist que se han descubierto de golpe 12000 nuevas soluciones. No sé más, porque no tengo acceso al artículo completo. Si surge algo interesante, ya lo contaré. 

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Leí sobre esto en el paper On the periodic solutions of the three-body problem, de Shijun Liao and Xiaoming Li (nunca sé cuál es el nombre y cuál el apellido de los chinos, así que los dejo enteros), National Science Review 6:1070–1071 (2019). 

El video no recuerdo de dónde lo saqué. Tal vez Twitter, y le perdí el rastro.

El Observatorio de Cambridge y el peso de la luz

El Observatorio de Cambridge nació en 1823, con un clásico edificio que está a pocas cuadras del Instituto Newton, donde estoy trabajando este semestre.

Parece un templo de la astronomía, ¿no? Hoy en día se llama Instituto de Astronomía, y en el mismo campus se encuentran también el Instituto Kavli de Cosmología y el grupo de Astrofísica del Laboratorio Cavendish. 

En 1914 asumió la dirección del Observatorio uno de los astrónomos más famosos de la historia, Arthur Eddington. Había llegado a Cambridge el año anterior, para hacerse cargo de una cátedra de astronomía en Trinity College. Venía del Observatorio de Greenwich, donde había sido Chief Assistant (una especie de vice Astronomer Royal) durante 7 años. Eddington ya conocía Cambridge, donde había estudiado con honores en Trinity (convirtiéndose en el primer alumno de segundo año en recibir el honor de Senior Wrangler), además de comenzar una tesis en el Cavendish. Incluso sin terminarla fue nombrado miembro de la Royal Astronomical Society y Fellow de Trinity, entre otras distinciones. Hasta donde vi, nunca defendió una tesis de doctorado (si bien recibió dos títulos de Maestría, uno de Manchester donde había recibido el de Bachelor, y uno de Cambridge). Pero era un geniecito. En 1914 tenía 31 años (foto).

Ya hemos hablado de Eddington aquí, porque fue él quien organizó, en 1919, la expedición a Sobral (en Brasil) e Isla Príncipe (en el Golfo de Guinea) para observar la desviación de la luz de las estrellas durante un eclipse solar total. Las observaciones verificaron exitosamente la predicción de la Relatividad General de Einstein de 1917. Un mes antes de la famosa conferencia pública que lanzó a Einstein a la fama mundial, Eddington contó los resultados en una reunión de un club de graduados de física llamado Del-Squared V (∇²V, laplaciano de V).

En la página derecha dice: «El Presidente llama al Profesor Eddington a leer su artículo sobre "El peso de la luz". El trabajo trata sobre la verificación experimental de la Teoría de la Gravitación de Einstein basada en el Principio de Relatividad.» En la última línea se puede ver el valor de 0.87 segundos de arco, la deflexion predicha por la gravitación newtoniana. La predicción de Einstein es exactamente el doble (debe estar en la página siguiente), y es el valor que fue verificado.

Aunque hoy en día recordamos a Eddington principalmente por su trabajo teórico, también tiene una considerable carrera como observador. Yo no sé cómo se las arreglaba aquí en Cambridge. ¡Está siempre nublado! Todavía no pude ver un cielo estrellado. 

Eddington era quákero, y como tal un pacifista extremo. Cuando, a mitad de la Primera Guerra Mundial, el Reino Unido recurrió a una conscripción obligatoria, Eddington se declaró objetor de conciencia. La Universidad se le adelantó, objetando su reclutamiento en base a que su trabajo era de interés nacional. El pedido de la Universidad fue aceptado, pero dos años más tarde las autoridades, deseperadas por conseguir reclutas, revisaron la excepción y la terminaron. La Universidad apeló a un tribunal, alegando que los dos Asistentes del Observatorio ya habían muerto en el frente, y que Eddington era el único astrónomo que quedaba. Le extendieron el permiso unos meses, y al terminar volvieron a apelar. Esta vez Eddington fue a la audiencia, y alegó esta vez su objeción de conciencia. Hubo varias idas y vueltas, presentaciones de cartas de apoyo (una de Dyson, Astronomer Royal y coautor un par de años después del paper sobre el eclipse). Al final le dieron un año más, y antes terminó la guerra. Fiu.

Einstein también era un pacifista, y Eddington se sentía muy cercano a él también en este sentido, no sólo porque era uno de los pocos que había estudiado, entendido y abrazado la nueva teoría de la gravitación. Eddington vislumbró que una expedición británica verificando las predicciones de un científico alemán (a la sazón) era una oportunidad ética de reconciliación de las naciones enemigas a través de la ciencia, además de tener un intrínseco valor científico. Finalmente se encontraron en 1921, durante la primera visita de Einstein al Reino Unido (me parece que no ocurrió una visita anterior que se muestra en la película Einstein y Eddington, que de todos modos recomiendo). Esta foto es de una visita posterior, en Cambridge, en 1930. Eddington fue director hasta 1944.

En el Observatorio hay muchos telescopios, incluso un notable refractor de 12 pulgadas (en el edificio de la izquierda en la foto de abajo). Hoy en día no hacen mucho trabajo científico con ellos: los astrónomos del Instituto de Astronomía participan de los grandes observatorios instalados en los mejores lugares del mundo. Pero esta construcción parece ser de un nuevo telescopio: tiene un gran pilar en el medio. No sé de qué se trata. Hay actividades públicas a partir de octubre, y trataré de ir. Ya contaré más.

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La foto del libro de actas del club Del-squared V es de Billthom (CC BY-SA).

Casi todo lo que conté sobre Eddington es de su biografía en el sitio del Observatorio de Greenwich. De allí tomé también las fotos de Eddington joven, y de Eddington con Einstein. 

Las fotos del observatorio son mías, está acá a la vuelta.