En el cielo las estrellas: Newton

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07/03/2026

La masa del Sol

¿Cuánto pesa el Sol? O, mejor dicho, ¿cuál es la masa del Sol? Las magnitudes astronómicas son tan ajenas a la vida cotidiana que no tenemos manera de imaginarlas. Es una situación muy distinta que con un objeto común y corriente. Si pregunto: ¿cuánto mide esa mesa? la respuesta será más o menos 1 metro. Si digo: "esa mesa mide 1000 km", cualquiera se da cuenta de que no puede ser. Lo mismo si digo "esa mesa mide 1 micrón". La mesa mide un metro, poco más, poco menos.

Pero, ¿el Sol? El Sol es inmenso, así que la masa debe ser un número grande. ¿Será \(10^{20}\) kg? ¿Será \(10^{30}\)? ¿Quizás \(10^{40}\)? Andá a saber. Y si digo que son \(10^{20}\) kg, ¿le estoy errando por poquito, o por un factor un millón? ¿O mil millones? ¿O diez mil millones? ¿Quién se da cuenta?

Bueno, la masa del Sol es \(2\times10^{30}\) kg. Hay que acordárselo de memoria, no es algo que se pueda estimar a ojímetro. Son:

2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 toneladas.

¿Y cómo sabemos que es ese número, y que no los estoy engañando? El Problema 1 en la materia Astrofísica para Físicos Curiosos (que doy este cuatrimestre) dice: Calcule la masa del Sol. Porque la masa del Sol se puede calcular. Entonces, calculémosla. Para un físico (curioso o no) es un cálculo bastante fácil, pero probablemente no para todos los lectores de En el Cielo las Estrellas. Así que voy a hacerlo con elementos de física de la escuela secundaria. Si sufren de matemáticofobia, paren acá, nos vemos la semana que viene.

Vamos a usar las dos leyes más famosas de Newton: la Segunda Ley, efe igual eme por a, y la ley de gravitación universal. La fuerza que siente la Tierra es la atracción gravitacional del Sol, que depende de las masas y la distancia. Esta misma fuerza, por la segunda ley, es igual a la masa de la Tierra por la aceleración. Es decir, podemos escribir dos fórmulas:

\[F = G \frac{M m}{r^2},~~\mbox{y:}~~F = m a,\]

donde \(M\) es la masa del Sol, \(m\) es la de la Tierra, \(G\) es la constante de Newton, \(r\) es el radio de la órbita y \(a\) es la aceleración (centrípeta, es decir que apunta hacia el Sol, como se ve en la figura). Las dos efes son la misma, así que podemos igualar las dos ecuaciones, simplificar la \(m\) y obtener:

\[G \frac{M}{r^2} = a. \]

Esto por un lado, fue facilongo. De aquí podríamos despejar la masa del Sol: la constante de Newton la buscamos en una tabla de constantes universales (la midió Cavendish, como contamos), y el radio de la órbita digamos lo conocemos (o lo medimos, como hicimos hace algunos años). Nos faltaría la aceleración, que es una propiedad de la órbita de la Tierra, y la vamos a calcular ahora. Sabemos que la órbita es una elipse de Kepler, pero es casi circular, así que supongamos que es circular, para facilitar el cálculo. Una aproximación "copernicana", digamos.

La Tierra sigue esta órbita casi circular con velocidad casi constante. Es fácil calcularla: es la longitud de la órbita, dos pi por erre, dividida por el tiempo en que la recorre, que es un año:

\[v=\frac{2\pi r}{T}.\]

Al pasar el tiempo, la velocidad de la Tierra va cambiando de dirección (sin cambiar de magnitud). Ese cambio de dirección de la velocidad es precisamente la aceleración que encontramos arriba. Los físicos la calculamos como una derivada, pero en la escuela secundaria no aprendimos derivadas. Así que, nuevamente, aproximémosla. Supongamos que en un tiempo cortito \(\Delta t\), la velocidad cambió \(\Delta v\). Lo grafico exagerando el intervalo de tiempo para que se vea mejor la geometría:

La aceleración es ese cambio de velocidad, dividido por el tiempo en el cual se produjo:

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t}.\]

El cambio de velocidad \(\Delta v\) se puede calcular usando el ángulo que la velocidad rotó en ese tiempito, que es el ángulo que avanzó la Tierra en su órbita, \(\alpha\) (los dos ángulos tienen lados perpendiculares, así que son iguales): \(\Delta v = \alpha\times v\) (dibujo de arriba a la derecha). Y el ángulo también se puede escribir geométricamente, usando el arquito recorrido y el radio: \(\Delta s = \alpha\times r\) (dibujo de arriba, a la izquierda). Así que:

\[ a = \frac{\alpha\, v}{\Delta t} = \frac{\Delta s\, v}{r \, \Delta t} = \frac{v}{r}\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{v^2}{r} = \frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2, \]

donde usamos que \(\Delta s/\Delta t=v\), por la definición misma de velocidad. Ya casi estamos. Ahora tomamos esta última expresión de la aceleración y la usamos en la fórmula de más arriba:

\[ \frac{GM}{r^2} = a = \frac{1}{r}\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}.\]

De aquí podemos despejar la masa del Sol:

\[ M = \frac{4\pi^2\, r^3}{G\, T^2}. \]

Poniendo los números (háganlo en la calculadora si no me creen):

\[M=\frac{4\pi^2 \times (150\times 10^9 \mbox{ m})^3}{6.67\times 10^{-11} \mbox{ m}^3 \mbox{ kg}^{-1}\mbox{ s}^{-2}\times (365\times 24\times 3600 \mbox{ s})^2} = 2.009\times 10^{30} \mbox{ kg}.\]

Fíjense que la fórmula (antes de poner los números que corresponden a la Tierra) vale para todos los planetas: relaciona el radio orbital con el tiempo que tarda en dar una órbita. Dice que el radio al cubo es proporcional al tiempo al cuadrado: \(r^3 = (GM/4\pi^2)\, T^2\). ¡Es la Tercera Ley de Kepler! Si no la conocíamos, acabamos de demostrarla, para órbitas circulares al menos. La misma ley vale para órbitas elípticas, lo cual a Kepler le costó bastante demostrar, a Newton mucho menos, y mis alumnos de Mecánica lo hacen de taquito.

Finalmente, vale la pena mencionar que, lo que esta fórmula permite calcular fácilmente, es el producto \(GM\), usando mediciones que son relativamente fáciles de hacer: el radio de la órbita (la unidad astronómica) y el período orbital (un año). Para encontrar el valor de \(M\) necesitamos el valor de \(G\), la constante universal de Newton, que hoy en día la sacamos de una tabla, pero que no fue fácil de medir con precisión debido a que la gravedad, la más familiar de las fuerzas fundamentales, es muy pero muy débil.

Motivó esta nota la pregunta de Pedrito, el hijo de mi amigo Víctor Hugo. Pedrito quiso saber la masa del Sol, y Víctor me preguntó si era fácil de calcular. Le dije que sí, y le di alguna pista. No sé si lo logró. En todo caso, por si se lo olvida, o si me lo olvido yo cuando sea más grande, acá queda escrito.

Bonus track. Hay una manera alternativa, también sencilla, de calcular geométricamente la aceleración sin usar el movimiento circular; así que es más general porque vale para las verdaderas órbitas elípticas de los planetas. Es más parecida al cálculo de Newton que lo llevó a descubrir la ley de gravitación. Como se ve en la figura (abajo), podemos escribir por Pitágoras, para un desplazamiento pequeño de la Tierra:

\[(r+\delta r)^2 = r^2 + (v\, \delta t)^2\]

donde \(\delta r\) es lo que la Tierra "cae" por acción de la gravedad, ya que si no estuviera la fuerza gravitacional, seguiría un movimiento rectilíneo hasta el vértice del triángulo. Esa caída obedece a la ley del movimiento acelerado que descubrió Galileo: \(\delta r = 1/2\, a\, \delta t^2\). Así que podemos escribir:

\[r+\frac{1}{2}a\, \delta t^2 = (r^2 + v^2 \delta t^2)^{1/2} = r \left(1+\frac{v^2\delta t^2}{r^2}\right)^{1/2}.\]

Si \(\delta t\) es pequeño, se puede "desarrollar en serie" el paréntesis (a Newton le encantaban estas series). Hagan por ejemplo \((1+0.01)^{1/2}=\sqrt{1.01}=1.00498\dots \approx 1+1/2\times 0.01+\dots\) (términos pequeños que podemos ignorar). Cuánto más pequeño sea lo que aparece sumado al 1, más exacta es la aproximación (prueben con 0.001, etc.). Obtenemos:

\[ r+\frac{1}{2}a\, \delta t^2 \approx r \left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2\delta t^2}{r^2}\right),\]

de donde se despeja fácilmente que \(a=v^2/r\).

21/10/2023

Las reglas del juego

Los Colleges forman parte de la Universidad de Cambridge (y la de Oxford, y un par más, menos famosas), de una manera peculiar y distinta que en todas las demás universidades. Son comunidades de alumnos y profesores, que allí viven, estudian, trabajan y socializan. Por supuesto, también existen las facultades, departamentos, laboratorios e institutos, donde se lleva a cabo la mayor parte de la investigación y la docencia. Pero en los Colleges es donde los alumnos pasan sus años de estudiantes, incluso disfrutando de tutorías pesonalizadas con un profesor. A Trinity College se unió Isaac Newton en 1660, a los 17 años, cuando terminó la Grammar School en Grantham, que contamos la semana pasada. Su madre, Hannah, quería que Isaac volviera a la granja familiar. Pero cada vez que le encargaba alguna tarea de campo, Isaac la embarraba: se le escapaban las ovejas o los chanchos, se olvidaba de traer de vuelta el caballo, y cosas por el estilo. Además, el hermano de Hannah había estudiado en Cambridge, y también el cuñado del farmacéutico donde Isaac se alojaba en Grantham, que era fellow de Trinity, y debe haber pescado el valor del muchacho, que no paraba de fabricar máquinas de madera. Así que Hannah dijo "y bueno", y a Trinity marchó el chico.

Isaac se graduó de Bachelor en 1665, justo antes de que la universidad cerrara a causa de la peste. Así que volvió a casa de su madre, donde permaneció durante un año y medio, período durante el cual inventó el cálculo infinitesimal, reformuló las ciencias de la óptica y la mecánica, y descubrió la ley de la gravitación universal. Ya hemos contado estas cosas. Al finalizar su "año milagroso" Isaac regresó a Trinity, fue elegido fellow en 1667 y obtuvo su grado de Master of Arts en 1668. Empezó a mostrarle sus trabajos al profesor de matemáticas, Isaac Barrow, quien inmediatamente se dio cuenta de que el joven era un genio. En 1670 renunció a su cátedra en favor de Newton, que se convirtió así en Lucasian Professor, y se mudó a un departamento que se encuentra en este edificio, junto a la entrada principal de Trinity.

Allí vivió 26 años, hasta que lo nombraron algo así como "presidente del Banco Central" y se mudó a Londres. Visto desde afuera del edificio, el departamento de Newton se ve así, con un pequeño jardín donde también crece un retoño del famoso manzano.

No visité el departamento (no se puede, sigue funcionando como alojamiento de un profesor), pero sí la Biblioteca Wren, donde se exhiben varias reliquias de Newton. Fue Barrow el que convenció a Christopher Wren, arquitecto, astrónomo, fundador de la Royal Society y amigo de Newton, de que diseñara una nueva biblioteca para Trinity. Es una preciosidad, de un estilo neoclásico muy distinto del gótico de los edificios antiguos de los Colleges.

En el fondo vemos una ventana de vitreaux, obra muy posterior, de un artista inmigrante italiano llamado Giovanni Battista Cipriani:

Allí está Fama, la Musa de Trinity, presentándole a Newton al rey George III (el que le regaló a Manuel Belgrano el reloj de oro que usó para pagarle a su médico en su lecho de muerte). Detrás de éste está Britannia, vestida como Pallas Atenea, y al frente otro exalumno glorioso, Francis Bacon, tomando nota y mirando de frente.

Entre las reliquias en exhibición están su bastón, un mechón de pelo, una libretita de gastos, instrumentos de dibujo, cositas que mostraré otro día. Pero además tienen su propio ejemplar de la primera edición de los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, la obra fundamental de la Revolución Científica del siglo XVII:

El libro tiene abundantes anotaciones en los márgenes:

Incluso hay muchas correcciones en el texto. Vean por ejemplo estos dos cuadratus enmendados con cubus. Así que ya saben, si la copia de ustedes de los Principia es una primera edición, ¡ojo que tiene errores!

En los Principia, Newton estableció las leyes fundamentales del movimiento de los objetos materiales. Todos: desde las manzanas hasta los cuerpos celestes, en la primera gran unificación de las leyes de la física. Hoy parece una pavada, pero en el siglo XVII fue una revolución, que desató el fenomenal desarrollo de las ciencias físicas, que desembocó en la increíble civilización tecnológica que disfrutamos hoy.

Newton compuso los Principia en Trinity. Pero las leyes del movimiento físico no fueron las únicas escritas allí. En 1863 un grupo de sportsmen de Trinity escribieron unas reglas para un juego deportivo y las publicaron en el diario, con el anuncio de que el primer partido se jugaría el viernes 20 de noviembre a las dos y media de la tarde, en el parque llamado Parker's Piece. Fue el primer partido de fútbol moderno. Fue aquí:

En diciembre de ese año se creó la Football Association, que adoptó las Reglas de Cambridge. Hay que decir que los pibes venían pateando la pelota en Trinity desde hacía siglos, pero las reglas cambiaron todo. ¿Habrá jugado Newton algún picadito? Hay evidencia de que iba al pub y jugaba a las cartas, al tenis y a las bochas, pero no sé si se le daba por el balompié.

Trinity College: allí se escribieron las reglas de la física, y las del fútbol. Qué más.

Si leyeron recientemente sobre un error de interpretación de la Primera Ley de Newton, diré solamente que es algo mucho menos relevante y trascendente que lo que los títulos sensacionalistas intentaron transmitir. Tal vez lo comente en algún momento, pero ni sé si vale la pena.

Muy poco después, el 20 de junio de 1867, se jugó el primer partido de fútbol en la Argentina. ¿Dónde? En el parque donde hoy está el Planetario Galileo Galilei.

14/10/2023

Isaac Newton, a las piñas

A los 12 años de edad, Isaac Newton fue enviado por su madre a la Grammar School (una escuela secundaria), en la ciudad de Grantham, a unos 15 km de la granja donde vivían, en Woolsthorpe-by-Colsterworth. La escuela hoy se llama King's School y es mucho más grande que en el siglo XVII, pero el edificio original todavía existe:

Era un poco lejos para ir y venir todos los días, así que Isaac se alojó en casa del farmacéutico, el Sr. Clarke. Su esposa, viuda del Sr. Storer, Babington de soltera, era hermana del Rev. Humphrey Babington, fellow de Trinity College, quien jugaría un rol en la decisión de Isaac de marchar a Cambridge para seguir sus estudios en la universidad, también en Trinity. Todos ellos eran amigos de Hannah, la madre de Isaac, que provenía de una familia más acomodada que su padre, el próspero pero analfabeto granjero Isaac Newton, un yeoman de Colsterworth. El hermano del farmacéutico era asistente del director de la escuela, donde asistían Isaac Newton y los varios hijos de la familia Clarke.

En la foto de la escuela se puede ver, sobre la puerta, la tradicional placa redonda azul que en el Reino Unido marca los sitios históricos. Es la que señala que Isaac Newton estudió allí. Pero en el otro extremo del edificio, junto a la ventana, hay otra placa azul. Es la que indica que allí estudió Arthur Storer:

Cuando vi que era amigo de Newton y que aparecía en los Principia me puse a averiguar. Arthur tenía un par de años menos que Isaac, era el menor de los hijos de la Sra. Clarke (de su matrimonio anterior) y vivía en la misma casa en la que Isaac alquilaba el altillo. También lo encontré en la curiosa lista de pecados que Isaac Newton compiló cuando tenía 20 años, y en la que confiesa todo tipo de cosas, desde violaciones simpáticas del descanso dominical, hasta amenazar a su madre y su padrastro con quemarlos vivos en su casa, o mentir sobre un piojo. Uno de los pecados es: "Pegarle a Arthur Storer". ¿Será Arthur el contrincante de Isaac en la siguiente anécdota, que cuenta John Conduitt?

«El chico que estaba inmediatamente por encima de él mientras iban a la escuela, le dio una patada en la panza que le dolió mucho. Apenas terminó la escuela desafió al niño a pelear, y salieron juntos al patio de la iglesia. El hijo del maestro se acercó mientras peleaban y le dio una palmada en la espalda a uno y le guiñó un ojo al otro para animarlos a ambos. Aunque Isaac no era tan vigoroso como su antagonista, tenía tanto más espíritu y resolución que lo golpeó hasta que declaró que no pelearía más, [...] después de lo cual el hijo del maestro [le pidió] que lo abusara, e Isaac trató al otro de cobarde y le restregó la nariz contra la pared, [...] lo agarró de las orejas y empujó su rostro contra el costado de la Iglesia.»

¡A la pucha! Arthur era menor en edad, pero Isaac era sietemesino, y es posible que fuese más chiquito de físico. Todo esto ocurrió en el jardín/cementerio de la preciosa iglesia de St. Wulfram, justo frente a la escuela.

De todos modos, parece que terminaron siendo amigos y respetándose mutuamente el resto de sus vidas. Arthur también se convirtió en un científico. Como dice la placa, fue el primer astrónomo reconocido por su nombre en las colonias de Norteamérica, donde emigró junto a su hermana Anne y la familia de ésta, en 1672. Aparentemente Arthur era médico y comerciante, y la astronomía era una actividad paralela, como en tantos casos siglo tras siglo. Y fue un excelente astrónomo. Tal como dice la placa, Newton lo menciona más de una vez en Principia Mathematica, la monumental obra fundacional de la Revolución Científica. Lo encontré en la Proposición XLI, Problema XX, donde Newton se plantea el siguiente problema: si un cometa se mueve en una órbita parabólica, cómo calcular la parábola a partir de tres observaciones del cometa en el cielo. Se trata, dice, de un "problema dificilísimo", y después de desarrollar un método aproximado plantea un ejemplo: el cometa del año 1680. Allí dice «El mismo día, el Dr. Arthur Storer, en el río Patuxent, cerca de Hunting Creek, en Maryland, en la frontera de Virginia, a 38.5 grados de latitud, a las 5 de la mañana (10 horas de Londres), vio el cometa sobre Spica.» Este es un recorte de la propia copia de Newton de la primera edición, con anotaciones entre líneas):

Storer le escribía a Newton sobre sus observaciones astronómicas, que eran más exactas que las de Halley, e incluso que las de Hevelius (el último de los grandes observadores pretelescópicos). En este capítulo Newton pone la famosa órbita del cometa con la cola, dibujada en escala a partir de las observaciones, y que le sirve para discutir la naturaleza de los cometas, sus colas, y las raras órbitas en forma de hebilla que describen, tan distintas de las casi circulares de los planetas, pero que de todos modos obedecen a la ley de gravitación universal que había imaginado 20 años atrás, en la granja de Woolsthorpe-by-Colsterworth.

Storer fue también uno de los primeros en observar y reportar el cometa de 1682, que se llamó brevemente cometa Storer, hasta que Edmund Halley reconoció que era el mismo cometa que había sido observado en 1531 y 1607, y empezó a llamarse cometa Halley. Le escribió muchas cartas a Newton (y a su tío Babington), con detalladas observaciones, no sólo de cometas sino también sobre eclipses, conjunciones, oposiciones, ocultaciones, etc. No tenemos ninguna de las respuestas, pero la mejor evidencia del valor que les otorgaba son las menciones a su trabajo nada menos que en los Principia.

Habrá más sobre los Storer.

Sobre Storer, un análisis muy completo está en: Broughton P, Arthur Storer of Maryland: His astronomical work and his family ties with Newton. Journal for the History of Astronomy 19:77 (1988).

El detalle de la cita de Storer es de la primera edición anotada por Newton, accesible en la Biblioteca de la Universidad de Cambridge (CC BY-NC).

La figura de la órbita del cometa es de la tercera edición de Principia, en la biblioteca del ETH Zurich.

Los pecados de Newton están en una de sus libretas de gastos, de cuando era estudiante en Cambridge, escritos en un sistema taquigráfico popular en el siglo XVII, usado seguramente como precario código secreto. Curiosamente, están precedidos por algo que sí parece una clave: Nabed Efyhik Wfnzo Cpmkfe. ¿Del Gmail? ¿Del home banking? No lo sabemos. Dejo aquí la lista completa como una ventana a la vida del Newton adolescente, del que apenas sabemos algo, por si se animan a comentar. Sin traducción:

Before Whitsunday 1662

    1. Vsing the word (God) openly
    2. Eating an apple at Thy house
    3. Making a feather while on Thy day
    4. Denying that I made it.
    5. Making a mousetrap on Thy day
    6. Contriving of the chimes on Thy day
    7. Squirting water on Thy day
    8. Making pies on Sunday night
    9. Swimming in a kimnel on Thy day
    10. Putting a pin in Iohn Keys hat on Thy day to pick him.
    11. Carelessly hearing and committing many sermons
    12. Refusing to go to the close at my mothers command.
    13. Threatning my father and mother Smith to burne them and the house over them
    14. Wishing death and hoping it to some
    15. Striking many
    16. Having uncleane thoughts words and actions and dreamese.
    17. Stealing cherry cobs from Eduard Storer
    18. Denying that I did so
    19. Denying a crossbow to my mother and grandmother though I knew of it
    20. Setting my heart on money learning pleasure more than Thee
    21. A relapse
    22. A relapse
    23. A breaking again of my covenant renued in the Lords Supper.
    24. Punching my sister
    25. Robbing my mothers box of plums and sugar
    26. Calling Dorothy Rose a jade
    27. Glutiny in my sickness.
    28. Peevishness with my mother.
    29. With my sister.
    30. Falling out with the servants
    31. Divers commissions of alle my duties
    32. Idle discourse on Thy day and at other times
    33. Not turning nearer to Thee for my affections
    34. Not living according to my belief
    35. Not loving Thee for Thy self.
    36. Not loving Thee for Thy goodness to us
    37. Not desiring Thy ordinances
    38. Not long {longing} for Thee in {illeg}
    39. Fearing man above Thee
    40. Vsing unlawful means to bring us out of distresses
    41. Caring for worldly things more than God
    42. Not craving a blessing from God on our honest endeavors.
    43. Missing chapel.
    44. Beating Arthur Storer.
    45. Peevishness at Master Clarks for a piece of bread and butter.
    46. Striving to cheat with a brass halfe crowne.
    47. Twisting a cord on Sunday morning
    48. Reading the history of the Christian champions on Sunday

Since Whitsunday 1662

    49. Glutony
    50. Glutony
    51. Vsing Wilfords towel to spare my own
    52. Negligence at the chapel.
    53. Sermons at Saint Marys
    54. Lying about a louse
    55. Denying my chamberfellow of the knowledge of him that took him for a sot.
    56. Neglecting to pray
    57. Helping Pettit to make his water watch at 12 of the clock on Saturday night

30/04/2022

El Manzano de Newton, o la inspiración científica a través del tiempo

Para celebrar el Día del Científico 2022, el CONICET organizó la plantación de un retoño del histórico Manzano de Newton en la plaza que se encuentra detrás del Polo Científico Tecnológico (ex Bodegas Giol, en Palermo, Buenos Aires). Tuve el gusto de que me invitaran para hablar sobre el manzano y sobre el ejemplar que tenemos en el Balseiro, a partir del cual se realizó el nuevo arbolito. Para quienes no pudieron asistir, he aquí lo que conté.

En el año 1665 hubo una gran epidemia de peste en Inglaterra. Imagínense algo mucho peor que el covid: murió casi la cuarta parte de la población de Londres. La Universidad de Cambridge cerró por la plaga y el joven Isaac Newton, de 22 años, apenas graduado, se fue a pasar la cuarentena a la finca de su madre en el campo. Allí se pasó un año y medio, que luego llamaría su “año milagroso”, durante el cual inventó el cálculo diferencial, renovó la óptica, revolucionó la mecánica y formuló la famosa Ley de Gravitación Universal.

Precisamente sobre la gravitación todos conocemos una de las anécdotas más famosas de la historia de la ciencia: que la idea se le ocurrió al ver una manzana cayendo del árbol. Tal vez cualquiera de nosotros se habría comido la manzana y listo, pero Newton reflexionó sobre lo que había visto (él lo llama “actitud contemplativa”). Se preguntó si la fuerza que hacía caer la manzana tendría alguna relación con la fuerza que hacía que la Luna no se cayera. El resultado fue la primera de las grandes unificaciones en la historia de la Física: la del movimiento de los objetos terrenales y los celestes, aparentemente tan distintos entre sí. Newton descubrió que ambos obedecían a la misma acción, que llamó Gravitación Universal.

Aunque parezca inventada, la historia de la manzana es muy probablemente cierta. Si bien Newton no habla de manzanas en ninguno de sus escritos, él mismo se la contó a varios parientes y amigos. Entre ellos su sobrina favorita Catherine Barton, que a su vez se lo contó a Voltaire, quien fue el primero en publicarla.

Todos esos relatos hablan de “una manzana cayendo de un árbol” (y ninguno menciona una manzana cayéndole en la cabeza; esa versión la inventó Disney). Y un árbol en el jardín, no en el huerto donde había una pequeña plantación como en cualquier casa de campo. Estos detalles, sumados al hecho de que Newton no tenía ningún motivo para inventar algo semejante, hacen que la historia sea bastante creíble.

¿Y cuál sería el manzano? La cuestión es que desde tiempos de Newton los paisanos del pueblo les mostraban a los visitantes curiosos el árbol: un manzano que crecía en el jardín frente a la casa, a la vista de la ventana de su cuarto. La tradición se mantuvo durante más de un siglo, hasta que el árbol fue arrancado por una fuerte tormenta en 1814. Se armó un revuelo, vinieron los vecinos, todos querían llevarse un pedacito de recuerdo. Alguien trajo un serrucho y cortó unas ramas, cuya madera conservaron para la posteridad (haciendo incluso una silla que todavía existe). Para preservarlo se cortó un gajo y se lo plantó en la casa del conde de Brownlow, Belton House (y estoy seguro de que más de uno se llevó un gajo de souvenir).

Pero el árbol no murió, y existen un par de dibujos de la época que lo muestran con el tronco partido y horizontal, pero con follaje. Desde esa fecha hasta la actualidad el árbol siguió existiendo, y hoy en día puede visitarse en el jardín de Woolsthorpe Manor, convertida en museo. Por otro lado, hay dibujos y planos que muestran que la casa tuvo mínimas reformas entre los siglos XVII y XIX, así que hay bastante seguridad de que el árbol es el original.

Ya en el siglo XX se hizo una nueva multiplicación del retoño rescatado en Belton House, en la East Malling Research Station, un instituto de investigación agrícola de la región. Y en 1979, el entonces Presidente de la Comisión Nacional de Energía Atómica, el Dr. Castro Madero, estando de viaje en Inglaterra, se enteró de que era posible conseguir un retoño de allí, para plantarlo en una institución académica. La Biblioteca del Centro Atómico Bariloche conserva toda la correspondencia y la documentación del trámite. Nótese que el árbol no se propagó por semilla, sino de manera vegetativa. Estrictamente, son clones. Nuestro manzano no es un descendiente: es el mismo árbol.

La gente de East Malling mandó varios retoños, por las dudas, de manera que la CNEA los plantó en distintos centros atómicos, e incluso hay uno en el jardincito enrejado en el frente de la Sede Central, sobre Avenida del Libertador.

El manzano de Bariloche fue plantado en un pequeño prado cerca de la tumba de José Balseiro, fundador del Instituto. Allí estaba cuando yo ingresé a la carrera de física en 1986. Habían pasado 6 años pero seguía siendo un arbolito escuálido. No era un buen lugar, y ante el peligro de que no sobreviviera, en 1990 se lo trasplantó con gran cuidado al lugar donde está ahora, más cerca de donde está actualmente la Dirección del Instituto. La maniobra fue un éxito: inmediatamente la planta se puso fuerte, empezó a crecer, y al poco tiempo comenzó a dar frutos. Hoy en día es un hermoso manzano. A principio del verano es una belleza de flores, y hacia el final del verano se llena de fruta. Las manzanas son bastante ricas, no particularmente sabrosas pero buenas para cocinar. Yo suelo hacer mermelada, o chutney, o tarta, cuando puedo cosechar algunas. Son de la variedad Flower of Kent, rara hoy en día pero documentada desde tiempos de Shakespeare.

El año pasado lo visitaron especialistas de la Facultad de Ciencias Agrarias de nuestra Universidad de Cuyo, para podarlo y rejuvenecerlo, y en esa ocasión se hicieron gajos para poder producir nuestros propios retoños, como este que hoy hemos traído aquí, para que crezca en el Polo Científico Tecnológico y sirva de inspiración a muchas generaciones.

La idea de Newton es fácil de explicar en concepto, y tiene esa sutileza que sirve para mostrar la importancia de reflexionar en los fenómenos que uno observa. Es algo que los científicos aprendemos a hacer desde chiquitos, pero que no se enseña formalmente en clase, sino que lo aprendemos del ejemplo de nuestros profesores.

Newton conocía la aceleración de la caída de los cuerpos en la superficie de la Tierra (la había medido Galileo una generación antes). Y, aunque la Luna no cae como cae la manzana, y está lejos de la superficie de la Tierra, Newton argumentó que si no hubiera una atracción hacia el centro de la Tierra, la Luna seguiría de largo por la tangente de su órbita.

Con su destreza para el cálculo matemático pudo calcular la aceleración que sufría la Luna para, en lugar de irse por la tangente, curvarse sobre la órbita. Le dio 3600 veces menos que la aceleración de la manzana. Como la Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que la manzana, y el cuadrado de 60 es 3600, entonces la atracción debe disminuir con el cuadrado de la distancia. En realidad hay que decir que le dio un poco más de 3600, y que él mismo no quedó convencido hasta casi 20 años después, cuando una mejor medición del tamaño de la Tierra le permitió hacer un cálculo más preciso. La ley del cuadrado de la distancia le permitía calcular las órbitas de los planetas y obtener las leyes de Kepler; su amigo Halley le contagió su entusiasmo, y en un frenesí de trabajo compuso los Principia Mathematica, la obra más influyente de la Historia de la Ciencia.

25/12/2021

Feliz Newtonidad

En un día como hoy, 25 de diciembre, hace muchos siglos, llegó al mundo un niño que, treinta y pico años después, transformaría el mundo. Hoy celebramos el nacimiento de Isaac Newton. ¡Feliz Newtonidad!

Newton nació en esta casa, en la aldea de Woolsthorpe-by-Colsterworth, una hora después de la medianoche del 25 de diciembre de 1642. Su madre, Hannah, decía que era tan chiquito que habría cabido en un jarro de un litro. A esta misma casa regresó Newton en 1665, recién graduado en Cambridge, cuando la universidad cerró a causa de la epidemia de peste. Y allí vivió 18 meses de cuarentena, fijate un poco: su "año milagroso" durante el cual inventó el cálculo infinitesimal, revolucionó la Óptica y la Mecánica, y formuló la Ley de Gravitación Universal. En buena medida el mundo de hoy, con los milagros tecnológicos de las comunicaciones, el home office, la salud, la industria, el transporte y el confort en general, nacieron con Isaac Newton el día de Navidad, hace casi exactamente 379 años.

¿Cómo llegó Newton a la gravitación universal? En las memorias de su amigo William Stukeley, Newton le relata cómo fue que la noción vino a su mente:

“Fue ocasionada por la caída de una manzana, mientras estaba sentado en actitud contemplativa. ¿Por qué la manzana desciende perpendicularmente al suelo? ¿Por qué no va de costado, o hacia arriba, sino constantemente hacia el centro de la Tierra? Seguramente porque la Tierra la atrae. Debe haber un poder de atracción en la materia: y la suma de este poder de atracción debe estar en el centro de la Tierra, no en un costado. […] Si la materia atrae a la materia, debe ser en proporción a su cantidad. Así que la manzana atrae a la Tierra tal como la Tierra atrae a la manzana. Hay una fuerza, que aquí [en la Tierra] llamamos gravedad [es decir: peso], que se extiende por el universo.”

Y en un manuscrito de 1714 el propio Newton refiere que:

“…comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré un acuerdo bastante bueno. Todo esto fue en los años de la Plaga de 1665 y 1666, ya que en esos días estaba en mis mejores años de inventiva, y se me daba la matemática y la filosofía (*) mejor que nunca.”

(*) La filosofía: la física, tal como se la llamaba en el siglo XVII.

Muchas de estas cosas están contadas en Newton's Principia for the common reader, de S. Chandrasekhar (el astrofísico que descubrió buena parte de los secretos de la evolución estelar), y en The background to Newton's Principia, de John Herivel (de relevante actuación en el desciframiento del Código Enigma hasta que las máquinas diseñadas por Alan Turing comenzaron a funcionar).

La foto de las manzanas con la Luna detrás es de nuesto Manzano de Newton en el Instituto Balseiro. La foto de la casa natal de Newton es del UK National Trust, con el manzano decorado por mí. La ventana con la guirnalda es la habitación de Isaac.

23/12/2017

El nacimiento

Este lunes es 25 de diciembre, y los físicos celebramos el nacimiento... ¡de Newton! El 25 de diciembre de 1642, una hora después de la medianoche, nació Isaac en esta casa, en la aldea de Woolsthorpe-by-Colsterworth. Su padre había fallecido tres meses antes, y Galileo a principios del mismo año. Nació prematuro y Hannah, su madre, decía que habría cabido en un jarro de un litro.

Hannah volvió a casarse cuando Isaac tenía 3 años, dejando al niño al cuidado de su abuela en Woolsthorpe Manor. Allí el niño Isaac vivió una infancia normal, inclusive dibujando en las paredes como cualquier otro. Cuando volvió a enviudar la madre regresó a la casa, intentando encaminar al chico en la vida de agricultor acomodado que había vivido su padre. Pero Isaac odiaba la vida de campo y se fue a continuar sus estudios. Regresó a fines de 1665, recién graduado en Cambridge, cuando la universidad cerró a causa de la epidemia de peste. Y allí vivió su "año milagroso", durante el cual inventó el cálculo infinitesimal, revolucionó la Óptica y la Mecánica, y formuló la Ley de Gravitación Universal.

En buena medida el mundo que disfrutamos hoy, con los milagros tecnológicos de las comunicaciones, la salud, la industria, el transporte y el confort en general, nacieron con Isaac Newton el día de Navidad, hace casi exactamente 375 años.

¿Por qué casi exactamente?

11/03/2017

De la manzana a la Luna

Ya he contado que la anécdota de Newton y la manzana es muy probablemente cierta. Pero les debía una parte de la historia. ¿Cómo llegó Newton a formular la ley de gravitación inspirado por un hecho tan mundano como la caída de una manzana? En las memorias de su amigo Stukeley, Newton le dice cómo fue que la noción de la gravitación universal vino a su mente:

“Fue ocasionada por la caída de una manzana, mientras estaba sentado en actitud contemplativa. ¿Por qué la manzana desciende perpendicularmente al suelo? ¿Por qué no va de costado, o hacia arriba, sino constantemente hacia el centro de la Tierra? Seguramente porque la Tierra la atrae. Debe haber un poder de atracción en la materia: y la suma de este poder de atracción debe estar en el centro de la Tierra, no en un costado. […] Si la materia atrae a la materia, debe ser en proporción a su cantidad. Así que la manzana atrae a la Tierra tal como la Tierra atrae a la manzana. Hay una fuerza, que aquí [en la Tierra] llamamos gravedad [es decir: peso], que se extiende por el universo.”

Hoy en día nos parece una obviedad que la atracción gravitatoria resultante de toda la Tierra esté dirigida hacia su centro, y que se extienda hasta la Luna y más allá; no era así en el siglo XVII. Pero nos falta todavía la conexión con el movimiento de la Luna y de qué manera la atracción depende de la distancia. En un manuscrito de 1714 el propio Newton refiere que:

“…comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré un acuerdo bastante bueno. Todo esto fue en los años de la Plaga de 1665 y 1666, ya que en esos días estaba en mis mejores años de inventiva, y se me daba la matemática y la filosofía (*) mejor que nunca.”

(*) La filosofía: la física, tal como se la llamaba en el siglo XVII.

Nunca sabremos el razonamiento exacto de Newton sentado bajo el manzano, pero un texto del matemático y astrónomo escocés David Gregory relata una visita a Newton, y cuenta haber visto un manuscrito “anterior a 1669” con los cálculos. Newton imagina la Luna y la Tierra, como en la figura de aquí al lado. Si no existiera la atracción gravitatoria, en un tiempo infinitesimal (exagerado por claridad en la figura) la Luna se movería en la línea recta azul de A a B, según la ley de inercia de Galileo. Pero debido a la atracción gravitatoria de la Tierra, la Luna “cae” de B a C. Si el fenómeno que produce la órbita de la Luna es el mismo que rige la caída de las manzanas, la ley de caída vertical (también descubierta por Galileo) le permitiría calcular la aceleración de esta “caída”.

Newton conoce el radio de la órbita de la Luna y su período, así que calcula por métodos geométricos la distancia BC correspondiente a un movimiento de 1 segundo, y encuentra la aceleración. Al compararlo con la aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra, le da “algo más de 4000” veces menor. La distancia de la Luna al centro de la Tierra es 60 radios terrestres, esto es 60 veces mayor que la distancia de la manzana (que está en la superficie) al centro de la Tierra. 60 al cuadrado es 3600, así que la aceleración debida a la fuerza gravitatoria, si disminuyera con el cuadrado de la distancia, debería ser 3600 veces menor sobre la Luna que sobre la manzana. La discrepancia entre 3600 y 4000 no satisfizo a Newton, quien llegó a sospechar que el movimiento de la Luna se debía sólo en parte a la gravedad. Aparentemente varias confusiones entre las muchas unidades de longitud usadas en su época, así como cierta inexactitud del radio terrestre conocido por entonces, conspiraron para producir el error. En todo caso, abandonó por varios años sus investigaciones sobre la gravitación.

Podemos modernizar el argumento para ver con nuestros propios ojos el resultado. Imaginemos que la órbita de la Luna es circular. Sin apelar a la ciencia de la dinámica (que el propio Newton aun estaba por desarrollar), consideraciones puramente geométricas y cinemáticas, al estilo de las de Galileo, permiten calcular la aceleración centrípeta (vale decir, hacia el centro de la Tierra) experimentada por la Luna en su movimiento circular:\[a_c = \text{radio} \times \text{frecuencia}^2 = 60R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\]donde \(60R\) es el radio de la órbita lunar (expresada en radios de la esfera terrestre) y \(T\) es el período orbital de la Luna. Poniendo valores aproximados:\[T\approx 27.5 \text{ días} = 27.5\times 86400 \text{ seg},\]\[60R\approx 384000 \text{ km},\]obtenemos:\[a_c \approx 0.002685 \text{ m/s}^2 = g/3649,\]siendo \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) el conocido valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Niente male.

En 1679, a raíz de un intercambio epistolar con Robert Hooke, Newton retomó sus cálculos sobre la dinámica y demostró que si la fuerza fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, entonces valdría la Primera Ley de Kepler: que las órbitas de los planetas y los satélites son elípticas, con el centro de fuerza en uno de los focos. Finalmente, en 1684, a pedido de Edmund Halley, Newton rehizo estos cálculos, los complementó y los publicó como De motu corporum in gyrum (El movimiento de los cuerpos en órbita). Allí repite “la prueba de la Luna”, obteniendo esta vez “muy exactamente” una dependencia cuadrática con la distancia.

Pero no se detuvo allí. Al componer De motu Newton descubrió el poder de sus novedosos métodos matemáticos, que le permitían describir muchísimas situaciones que nadie sabía cómo tratar: el movimiento de varios cuerpos, los medios viscosos, las órbitas de los cometas, el movimiento anómalo de la Luna, la precesión de los equinoccios, las mareas, la forma aplanada del globo terrestre y mucho más. Urgido por Halley, Newton trabajó sin detenerse durante un año y medio. El resultado: los tres volúmenes de los Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, publicados en 1687, la obra más influyente de la Revolución Científica del siglo XVII y una de las más extraordinarias de la historia de la ciencia. Todo salido de la reflexión de un hombre que un día vio caer una manzana, y se preguntó si la fuerza que la hacía caer no sería la misma que mantenía a la Luna en su órbita.

Si querés revisar las notas sobre Newton, recomiendo el siguiente orden:
Newton y la Peste
El manzano de Newton
El cometa de Newton
De la manzana a la Luna
La Era de Acuario

Muchas cosas como éstas están contadas en Newton's Principia for the common reader, de S. Chandrasekhar (el astrofísico que descubrió buena parte de los secretos de la evolución estelar), y en The background to Newton's Principia, de John Herivel (de relevante actuación en el desciframiento del Código Enigma hasta que las máquinas diseñadas por Alan Turing comenzaron a funcionar).

La foto muestra las manzanas de Newton de nuestro árbol histórico y, detrás, la Luna.

03/12/2016

El desafío de la braquistócrona

El número de junio de 1696 de las Acta Eruditorum contenía el siguiente desafío:

"Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para la gente inteligente que un problema honesto y difícil, cuya posible solución les traiga fama y se convierta en un eterno monumento. Espero ganar la gratitud de la comunidad científica al proponer un problema que pondrá a prueba sus métodos y el valor de su intelecto. Si alguien me manda la solución, públicamente lo proclamaré digno de elogio.

"Dados dos puntos, A y B, en un plano vertical, cuál es la curva que debe seguir una partícula sobre la que actúa sólo la gravedad, para partir de A y llegar a B en el menor tiempo posible."

Se llama problema de la braquistócrona (del griego braquistos, el más corto, y cronos, tiempo). Ingenuamente uno podría decir: es una línea recta. Sabemos que la línea recta es la de menor distancia entre A y B. ¿Será la de menor tiempo? Pues no.

Bernoulli, que ya sabía la respuesta, no fue el primero en considerar este problema. Galileo ya había demostrado que, si la recta que une A y B está inclinada 45 grados, una partícula deslizándose por un arco circular llegaría a B más rápido que por la recta. Pero Galileo, incorrectamente, concluyó que la trayectoria circular era la más rápida de todas las posibles. Tampoco lo es.

Bernoulli recibió cinco soluciones, todas correctas: de su hermano Jacob Bernoulli (el de los números de Bernoulli), de Gotffried Leibniz (matemático alemán pionero del cálculo diferencial e integral), de Guillaume de L'Hôpital (matemático francés autor del primer libro de cálculo), de Ehrenfried von Tschirnhaus (filósofo y científico alemán, inventor de la porcelana europea), y del mismísimo Isaac Newton. Según su biógrafo John Conduitt, Newton recibió el problema una noche al regresar de su trabajo en la Casa de la Moneda. Estaba muy cansado a causa de una reforma monetaria que estaban poniendo en práctica, pero no paró hasta que lo resolvió a las 4 de la madrugada. Newton mandó su solución a Charles Montague, presidente de la Royal Society y amante de su sobrina favorita Catherine Barton (luego esposa del propio Conduitt). También la mandó en forma anónima a Bernoulli, quien no tardó en reconocer al autor. "Se reconoce al león por sus garras," dicen que dijo. Él había tardado dos semanas en resolver el problema.

El número de mayo de 1697 de las Actas publicó todas las soluciones. Tal como había prometido, Johann elogió a los ganadores, destacando que

"[además] de mi hermano mayor, las tres grandes naciones: Alemania, Inglaterra y Francia, cada una por su cuenta uniéndose a mí en tan hermosa investigación, todas hayan encontrado la misma verdad."

Las soluciones que desarrollaron los hermanos Bernoulli sentaron las bases de lo que hoy llamamos cálculo variacional. Euler (discípulo de Johann) formalizó el método geométrico de los Bernoulli, y encontró que la solución satisface lo que hoy llamamos ecuación de Euler-Lagrange. Lagrange generalizó y simplificó el método, sentando las bases de la Mecánica como ciencia analítica moderna.

¿Y cuál es la curva? La curva de recorrido más rápido, según encontraron correctamente los contendientes, se llama cicloide. Es la curva que dibuja un punto en el borde de una rueda al girar, como se ve en la figura animada. La solución del problema mecánico es al revés, del lado de abajo de la línea horizontal, como se verá en mi video.

La cicloide ya se conocía, y de hecho poco tiempo antes Christiaan Huygens había demostrado que tenía otra propiedad interesante, que a mí me resulta todavía más sorprendente: es isócrona, o tautócrona. Es decir, no importa de qué altura uno suelte la partícula en un tobogán cicloide, siempre tarda lo mismo en llegar al punto inferior. Huygens usó esta propiedad para diseñar un péndulo que, colgado de la cúspide de dos cicloides, oscila con un período independiente de la amplitud. Ideal para construir un reloj.

En el curso de Mecánica Clásica del Balseiro enseñamos la solución variacional del problema de la braquistócrona, y además hacemos una demostración improvisada con cablecanales y canicas. Este año la filmamos en cámara lenta y vale la pena mostrarla. Hay también una demostración de la isocronía (usando dos bolitas que llegan al mismo tiempo) y al final unas imágenes de un péndulo isócrono que tenemos en el laboratorio.

El cálculo variacional tiene muchísimas aplicaciones más allá de la Mecánica. Una de las que más me gustan es la siguiente. Un guardavidas ve a un bañista pidiendo ayuda. Sabiendo que corre a cierta velocidad v₁ y que nada a otra velocidad, v₂, ¿en qué punto debe entrar al agua para auxiliar al bañista lo más rápido posible? (No es ninguna de las trayectorias dibujadas.) Se los dejo como ejercicio.

La figura animada de la cicloide es de Zorgit, CC BY-SA 3.0, (wikipedia).

En el texto original en latín de las Actas no pude encontrar el elogio de las "tres grandes naciones", que traduje del inglés. Debe estar ahí, pero es difícil leer tanto el estilo rebuscado como la tipografía del siglo XVII.

22/10/2016

El manzano de Newton

En el Instituto Balseiro tenemos un retoño del manzano de Newton. Siempre me preguntan si es verdad, así que voy a contar algunos detalles. Pero primero hablemos sobre la anécdota del manzano. Todo el mundo la conoce: a Newton se le ocurrió la idea de la gravitación universal al ver una manzana cayendo del árbol. ¿Será cierto?

La verdad que es una de esas anécdotas que parecen inventadas, sólo que en este caso es muy probablemente cierta. La cuestión es que tenemos varios relatos de gente a quienes el propio Newton se lo habría contado. Entre ellos están su sobrina favorita Catherine Barton y su marido John Conduitt. Catherine se lo contó a Voltaire, quien fue el primero en reproducir la anécdota en forma impresa. Conduitt, por su parte, lo cuenta en sus memorias. En la parte remarcada aquí al lado dice: "en el año 1665, cuando se retiró a su casa en ocasión de la Plaga, ideó su sistema de gravedad que se le ocurrió observando una manzana cayendo de un árbol." Se refiere a algo que ya hemos contado aquí: la Universidad de Cambridge cerró a causa de la epidemia de peste bubónica en 1665-1666, y Newton se retiró a casa de su madre en Woolsthorpe, una aldea entre Cambridge y Nottingham.

Otro caso: el arqueólogo William Stukeley lo visitó un día, y cuenta que después de comer se hicieron un tecito de cáscara de naranja y fueron a tomarlo al jardín. A la sombra de unos manzanos Newton le contó que en esa misma situación, sentado en actitud contemplativa, vio caer una manzana y la noción de la gravitación universal vino a su mente. Uno más: William Dawson, otro amigo de Newton, que éste visitaba ocasionalmente, había plantado dos manzanos en su jardín bajo los cuales el sabio pasaba horas en solitaria meditación, retoños del que había en el jardín de la casa de Newton.

Es interesante señalar que en ninguno de estos relatos se dice "ver caer manzanas de los árboles", así en general. Todos ellos dicen siempre específicamente UNA manzana de UN árbol. Y un árbol en el jardín, no en el huerto donde había un montón. Estos detalles, y el hecho de que Newton no tenía ningún motivo para inventar algo semejante, le dan a la historia bastante verosimilitud.

Digamos entonces que la anécdota es cierta. ¿Podemos identificar el árbol? Desde tiempos de Newton la gente de Woolsthorpe le mostraba a los visitantes curiosos EL árbol: un manzano en el jardín de Woolsthorpe Manor. No en el huerto. EL árbol famoso era el árbol del jardín. La tradición se mantuvo durante más de un siglo, hasta que el añoso manzano fue arrancado por una fuerte tormenta en 1814. Para preservarlo se cortó un gajo y se lo plantó en casa de Lord Brownlow en Belton. Alguien trajo un serrucho y cortó unas ramas, cuya madera otros vecinos conservaron para la posteridad (hicieron incluso una silla). Pero el árbol no murió, y este dibujo de 1820 lo muestra frondoso con dos copas, una coronando un tronco erguido, y otra saliendo de una rama rastrera. Detrás del tronco vertical se ven dos tocones, de donde se habría cortado la madera tras la tormenta. Una copia de un dibujo anterior, de 1816, muestra el mismo árbol desde otro ángulo, con el tronco partido pero sobreviviendo. Desde esa fecha hasta la actualidad el árbol siguió existiendo, y hoy en día puede visitarse en el jardín de Woolsthorpe Manor, convertida en museo. Puede vérselo en Google Streets en este link: Woolsthorpe Manor (es el árbol con el cartelito).

Bueno, pero entre 1666 y 1816 hay muchos años. ¿Cómo sabemos que no hubo cambios en la casa y en el jardín? La verdad que éste es el eslabón más débil de la evidencia. Existen, sin embargo, dos dibujos de la casa hechos a principios y a fines del siglo XVIII, donde pueden verse muy pocos cambios tanto en la construcción, en el jardín y en la huerta. Ésto, sumado a la tradición centenaria de decir "ése es el árbol", deja poco lugar al escepticismo. Ésta es una foto de hace unos 20 años, mostrándolo en una perspectiva muy parecida a la del dibujo de 1820.

En la Biblioteca del Centro Atómico Bariloche tenemos toda la documentación que acredita el trámite para la obtención de un retoño del famoso manzano. Carlos Castro Madero, Doctor en Física del Balseiro y oficial naval, era presidente de la CNEA en 1979. Durante un viaje al Reino Unido se enteró de la posibilidad de obtener un retoño a través de la East Malling Research Station, a donde en 1940 se llevó un retoño de la Belton House. Nótese que el árbol no se propagó por semilla, sino de manera vegetativa. Estrictamente, son clones. Nuestro manzano no es un descendiente: es el mismo árbol. Resumiré la cronología epistolar.

22 de junio. Castro Madero le pide a Rodolfo Lucheta, agregado naval en Londres, que le ayude a conseguir un retoño pidiéndolo al director de la East Malling Research Station.

4 de julio. Lucheta escribe a la Research Station transmitiendo los deseos del presidente de la CNEA de honrar al sabio inglés (hay que dorar un poco la píldora) plantando su manzano en Bariloche. Y cuánto cuesta.

18 de julio. M. S. Parry, del Departamento de Pomología (!) de la Estación, responde que con todo gusto y gratarola. Habría que hacer un injerto porque los gajos del manzano no hacen raíces, y asegurarse de autorizarlo por razones de sanidad, ya que en East Malling hay una peste endémica de los manzanos.

2 de octubre. Castro Madero escribe a Lucheta, contándole que un tal Ingeniero Seruso tiene todo listo para recibir el gajo en el Servicio Nacional de Sanidad Vegetal, por el temita ese de la plaga, no vaya a ser. Que por las dudas manden 2 ramas con varias yemas cada una.

26 de mayo de 1980. Castro Madero escribe dos cartas, una a Lucheta y otra a Parry, informando que el histórico vegetal ha llegado a Buenos Aires. Sincero agradecimiento, lo plantaremos en el Centro Atómico Bariloche con una ceremonia de homenaje a la memoria del extraordinario científico británico.

4 de junio. Lucheta escribe a Parry: el histórico manzano ha sido plantado en el Centro Atómico Bariloche, con homenaje of course, extremadamente agradecidos por la maravillosa donación, suyo sinceramente.

El manzano fue plantado entre las "aulas nuevas" y la tumba de José Balseiro. Allí estaba cuando yo ingresé al Instituto en 1986. Habían pasado 6 años pero seguía siendo un arbolito escuálido. No estaba en un buen lugar: era una zona baja que se inundaba, y empezaron a temer que no sobreviviera. El 11 de julio de 1990 se lo transplantó con gran cuidado al lugar donde está ahora, más cerca de la puerta de la Biblioteca. Fue un éxito: inmediatamente la planta agarró, se puso fuerte y empezó a crecer. Al poco tiempo empezó a dar frutas. Hoy en día es un hermoso manzano, como puede verse. El sitio original estaba por ahí al fondo de este prado.

Cuando está en flor es una belleza, como todos los frutales. Cuando termina la floración de los ciruelos y los cerezos, los manzanos (hay unos cuantos en el Centro Atómico) siguen en flor hasta casi el verano. Ayer mismo, viernes 21, antes de entrar a clase de Mecánica, vi que empezaban a abrirse los pimpollos, que son rosados al principio y después se ponen blancos como en la foto.

Si no recuerdo mal, la primera vez que dio frutos dio una sola manzana. Hoy, por suerte, se llena. Son bastante ricas, no particularmente sabrosas pero buenas para cocinar. Se llaman Flower of Kent, una variedad antigua documentada desde tiempos de Shakespeare pero muy rara hoy en día. Así son, más bien chicas y de piel verde con manchas irregulares de un rojo carmesí. A estas les falta un poco.

Para que se hagan idea del tamaño que tiene hoy el árbol, aquí hay una foto de la Banda Atómica tocando junto a él en pleno verano, a pocos días del cumpleaños de Newton.

Existen otros retoños del árbol histórico, todos ellos de dos linajes: el de la Casa Belton, vía la East Malling Research Station, y el de Kew Gardens, a donde fue llevado un retoño directamente del árbol de Woolsthorpe Manor. Todos ellos han sido declarados idénticos (clones, vegetalmente hablando) por los expertos manzanólogos. Hay árboles de Newton en el Laboratorio TANDAR y en la Sede Central de la CNEA en Buenos Aires (hermanitos del nuestro), en el National Bureau of Standards en Washington, el National Research Council en Ottawa, el Dominion Physical Laboratory en Nueva Zelanda, el Queen's y el Trinity College de Cambridge, el National Physical Laboratory en Londres y en el Departamento de Física de la Universidad de York. Y seguramente en muchos otros lugares del mundo.

Si nos visitan en otoño, no dejen de comerse una manzana histórica...

Agradezco a la Biblioteca Leo Falicov, a su directora Marisa Velazco Aldao y a Christina Martínez, responsable del Archivo Histórico, quienes me facilitaron copias de los documentos y fotos históricas.

También agradezco a Rubén Weht, del Centro Atómico Constituyentes, quien hizo averiguaciones por allá y me pasó el siguiente dato que no está documentado. Según E. Maqueda el primer manzano murió en Ezeiza por falta de cuidados durante la cuarentena. Entonces Castro Madero lo volvió a pedir, y un físico famoso de Constituyentes aprovechó para pedir también uno para el Laboratorio TANDAR, el acelerador de iones que la CNEA acababa de inaugurar en Buenos Aires.

Hay muchas notas sobre la anéctoda del manzano de Newton. En esta ocasión me gustaron:

The Newton's apple tree, de H. J. Hadow, NPL Historical note No 6 (1970).

The history of Newton's apple tree, R. G. Keesing, Contemporary Physics 39:377-391 (1998). (De aquí tomé las imágenes de la primera parte de la nota.)

The Isaac Newton apple, T. N. Hoblyn, East Malling Research Station (1955), nota acompañando la donación de los retoños que llegaron a la Argentina.

Las fotos actuales del manzano de Newton barilochense son mías.

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