El Teorema de Noether para todos

Se cumplen 100 años de la publicación de uno de los resultados más profundos de la física matemática, el Teorema de Noether. Se los enseño de manera simplificada a los alumnos del curso de Mecánica clásica, y siempre me da la impresión de que no alcanzan a apreciarlo. Hay cosas que necesitan ser masticadas a un ritmo que una materia cuatrimestral no permite. Pero el resultado es tan precioso que voy a hacer algo todavía más audaz: lo voy a explicar para mis lectores, muchos de los cuales no deben tener ninguna formación en matemática o física. Se me ocurrió cuando usaba un spinner, de esos que se pusieron de moda el año pasado, para ejemplificar otro tema de la materia, la precesión de un trompo. Si tienen uno traten de hacerlo mientras lo explico.

Tomen el spinner entre pulgar e índice, horizontalmente, y háganlo girar rápido. Ahora muevan los dedos como en mi video, para un lado y para otro, manteniendo el spinner horizontal. No importa cómo lo movamos, vemos el spinner girando entre los dedos, siempre igual. Cuando algo queda igual ante algo que cambia, matemáticamente se llama simetría. Es una generalización del concepto geométrico de simetría, como las alas de una mariposa: el dibujo queda igual cuando cambiamos derecha por izquierda. Lo que hacemos moviendo los dedos para uno y otro lado es un cambio, pero en el spinner nada cambia, se ve igual: hay una simetría. El teorema de Noether dice: si hay una simetría, entonces hay una cantidad física que se mantiene constante. Paren el spinner.

Tomen el spinner igual que antes y pónganlo a girar rápido de nuevo. Ahora muevan los dedos de otra manera, como se ve en mi video: pasando de horizontal a vertical, y de nuevo a horizontal. Más bien rapidito. ¿Qué se siente? Se siente raro, distinto que en el caso anterior. Se siente como "duro". El movimiento que estamos haciendo ahora con los dedos no es una simetría: el spinner girando horizontal no se ve igual al spinner girando vertical. Así que el teorema de Noether nos dice que esa cantidad que con el gesto anterior se mantenía constante, ahora no es constante; cambia, y la cambiamos nosotros con nuestros dedos en cada paso del movimiento, y tenemos que hacer un poquito de fuerza para hacerlo. 

En este sencillo experimento la simetría es la de rotación alrededor del eje vertical, y la cantidad que no cambia se llama momento angular. Pero estos son sólo nombres y detalles técnicos. Así como lo expliqué se lo pueden explicar a un niño de 7 años. Por otro lado el teorema es completamente general: siempre que haya una simetría (y puede estar muy escondida en la estructura matemática, no necesariamente será algo geométrico evidente), habrá una "cantidad conservada" (y Noether, además, nos dice cuál es).

¿Quién era Noether, que en 1918 produjo este hermoso resultado que, créanme, repercutió profundamente en toda la física teórica, y ha sido comparado en relevancia con el Teorema de Pitágoras? Emmy Noether era una chica alemana, hija de un matemático. Cuando quiso estudiar matemática en la universidad donde trabajaba su padre se armó un tole tole: una chica no podía estudiar en la universidad, a quién se le ocurre. Al final la dejaron asistir a clase como oyente. Igual consiguió un profesor que quiso supervisar su tesis, que completó con éxito y era tan buena que la universidad "no tuvo más remedio" que graduarla.

Conseguir trabajo era otra cosa: ¿cómo una mujer les iba a enseñar matemática a los alumnos varones? Durante AÑOS trabajó en la universidad sin que le pagaran un marco. Pero Emmy era una matemática nata, y no podía parar. Entonces, en 1915, tuvo la suerte de que uno de los más grandes matemáticos del momento, David Hilbert, la invitara a trabajar con él en Goettingen. Einstein había visitado a Hilbert y le había contado todo sobre la teoría de Relatividad General que estaba desarrollando y que acabaría presentando al mundo en noviembre. Hilbert y Einstein estaban preocupados por resolver un tema de relatividad para el cual no se les ocurría solución. Hilbert creyó que Noether, a quien ya conocía, podría ayudarlos. Inmediatamente Noether resolvió el problema, y en el camino demostró el famoso teorema que hoy lleva su nombre. No sé si Hilbert habrá conseguido pagarle algo, la cuestión es que Emmy se quedó en Goettingen (donde fue profesora de Enrique Gaviola, tenemos su firma en su libreta universitaria). Recién años más tarde conseguiría un cargo rentado, y finalmente en los años 30 empezó a recibir premios y reconocimientos por su trabajo. En 1933, de todos modos, el nazismo la expulsó por su origen judío. Por suerte escapó a tiempo, como Einstein y otros. En 1935 falleció en Estados Unidos, de un cáncer de ovario, a los 53 años de edad. Era una genia.

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El spinner me lo regaló mi amigo Leo, quien lo hizo con su impresora 3D.

En mis curso de mecánica clásica encontrarán el Teorema de Noether en el Capítulo 2, Sección 4.

Aquí está la firma de Noether en la libreta universitaria de Gaviola en Goettingen, como su profesora de Geometría analítica. Otro día muestro el resto.