El infinito, ida y vuelta

Me da un enorme gusto que la muestra El infinito, de mi amigo Pablo Bernasconi, esté nuevamente abierta al público. La puesta original, en Bariloche, quedó interrumpida en 2020 por la cuarentena covid. Desde el 15 de julio al 9 de octubre pueden disfrutarla nuevamente en el Centro Cultural de la Ciencia, en Buenos Aires.

Soy fan de la obra de Pablo, de manera que me sentí honrado de colaborar con su equipo durante la gestación de la obra, y participar en un conversatorio público con él en Bariloche. Volveremos a hacerlo el domingo 20 de agosto, en el C3. ¡Venite! 

Yo conocí el infinito a los 13 años de edad, en un libro que me abrió la cabeza y que ya he mencionado en otras ocasiones: Uno, dos, tres... infinito, de George Gamow. Allí aprendí algo que ya conté, pero aprovecho la muestra de Pablo para repetirlo. El público se renueva.

Los números que usamos para contar, llamados naturales, son infinitos. Esto quiere decir que, como todo número tiene un siguiente, no existe uno que sea el más grande de todos:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Es importante aclarar que lo que es infinito es la cantidad de números de la lista, y que no existe un "número natural infinito". Todos y cada uno de los números de esa lista son finitos, por más grandes que sean. Los intentos por entender qué pasaba con eso que parece un número pero que no lo es fracasaron durante siglos. Muchos matemáticos terminaron aborreciendo el concepto, y diciendo que no tenía sentido ocuparse del infinito. Pasa que tiene propiedades raras, que las cantidades finitas no tienen. Por ejemplo, tomemos de la lista apenas los números pares:

2, 4, 6, 8, ...

Claramente, son una parte de la lista de los números naturales. ¡Pero también son infinitos! Dado un número par, puedo dar uno más grande simplemente sumando 2, así que esos tres puntitos son una lista infinita. ¿Cuál de los dos infinitos será más grande? ¿El de los números naturales o el de los números pares? Uno podría decir que los pares son "menos", ya que parecen ser la mitad. ¿Cómo verificarlo, si las dos listas son infinitas? Hacemos como si tuviéramos un montón de niños y una bolsa de caramelos. ¿Cómo saber si alcanzan justo, si sobran o si faltan, sin contarlos? Le damos un caramelo a cada niño, y si al final cada chico tiene un caramelo, y cada caramelo está con un chico, entonces eran la misma cantidad. Esto, tan fácil de hacer con un cantidad finita, puede hacerse también con una cantidad infinita. Para los números pares sólo tengo que juntarlos así con los naturales:

2 ↔ 1, 4 ↔ 2, 6 ↔ 3, 8 ↔ 4, ...

Esto puedo hacerlo indefinidamente y nunca se me van a acabar los pares ni los naturales. Así que hay la misma cantidad de pares (que son una parte) que de naturales (que son todos). Lo mismo puede hacerse con los números primos (que también son infinitos, como ya conté aquí), y también con los enteros (que son los naturales, los negativos y el cero). Tomá pa'vos.

¿Qué pasa con las fracciones? También son infinitas. Pero tienen una propiedad que los naturales no tienen: son densas. Entre un número natural y el siguiente hay un hueco sin ningún número natural. Esto no pasa con las fracciones. Entre 1/4 y 1/2 está 1/3, por ejemplo. Y lo mismo para todas las fracciones: entre 1/3  y 1/2 está 2/5, etc. Así que entre el 0 y el 1 hay infinitas fracciones. A la pucha, estas sí parecen más que los naturales. Sin embargo no lo son. Se pueden aparear todas las fracciones con los números naturales. Se hace así. Primero ponemos todas las fracciones tales que la suma de su numerador y su denominador dé 2. Hay una sola: 1/1. A continuación ponemos todas las fracciones que sumen 3: estas son 2/1 y 1/2. Después, todas las que sumen 4: 3/1, 2/2 y 1/3. Y así sucesivamente. Esta lista tiene todas y absolutamente todas las fracciones que se te puedan ocurrir. Están desordenadas, por supuesto, pero están todas. Y pueden ponerse en correlación con los números naturales así:

1/1 ↔ 1, 2/1 ↔ 2, 1/2 ↔ 3, 3/1 ↔ 4, 2/2 ↔ 5, 1/3 ↔ 6, ...

A esta altura uno está sospechando que todos los infinitos son iguales. ¡Pero no! Si se puede hacer esto, poner los elementos en correspondencia con los números naturales, se dice que la cantidad es numerable. Y aquí llegamos al punto crucial de lo que quería contar: la cantidad de números reales no es numerable, es un infinito "más grande". La manera de demostrarlo se le ocurrió a Georg Cantor y es increíblemente sencilla. Los números reales son las fracciones más los números irracionales (como pi o la raíz de 2), y equivalen a los puntos de una recta. Imaginemos una línea de 1 m de longitud. Cada punto está a una distancia del extremo izquierdo, un número de centímetros que podemos expresar como un número real. Por ejemplo, el punto medio está a 1/2 = 0.5 m del extremo. Habrá un punto que esté a 1/3 m del extremo, o sea a 0.333... m, otro que esté a pi centímetros = 0.0314159265358979... m, etc. Estos puntos suspensivos son un poco distintos de los que usé arriba: indican una sucesión de decimales del mismo número, y no importa si son tan regulares como el desarrollo decimal de 1/3, o tan irregulares como los de pi. Pero todos, todos, los puntos del segmento, tienen un número cero-coma-algo que los identifica. Estos números también son densos, como las fracciones: entre dos números reales hay otro número real, que es lo mismo que decir que entre dos puntos de una línea siempre hay otro punto.

Ahora viene la demostración, que será por el absurdo, como cuando demostramos que hay infinitos números primos. Supongamos que los números reales son numerables. Es decir, supongamos que viene alguien y nos dice que los puso en correspondencia con los números naturales, y nos da una lista por ejemplo así:

1 ↔ 0.38602563078...
2 ↔ 0.57350762050...
3 ↔ 0.99156753207...
4 ↔ 0.25763200456...
5 ↔ 0.00005320562...
6 ↔ 0.99035638567...
7 ↔ 0.55522730567...
8 ↔ 0.05277365642...
... ↔ ...

¿Será verdad? Por supuesto, las dos columnas son infinitas, así que no podemos escribirlas por completo, ni verificar número por número si falta alguno. Sin embargo, incluso sin revisar la lista es posible argumentar que una lista semejante es imposible, y demostrar que en la segunda columna faltan números. Acá viene la genialidad de Cantor: vamos a construir un número que no está en la lista. Hacemos así (miren los números que pinté de rojo): en el primer decimal, ponemos un dígito que sea distinto del primer decimal del primer número. En el segundo decimal, ponemos un dígito distinto del segundo decimal del segundo número. Y así sucesivamente. Por ejemplo, podríamos elegir el número:

0.52740712... porque 5 es distinto de 3, 2 es distinto de 7, 7 es distinto de 1, etc.

Este número no está en lista. "¿Ah, no?" dice el tipo, canchereando. "Sí que está, está en la posición quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ocho, te lo digo yo que hice la lista". "No señor", decimos, "no es ése, porque en nuestro número, el decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo es distinto del decimal quinientos trillones ciento veintrés mil doscientos cuarenta y ochoésimo del número que decís vos. Porque así lo construímos. Y si tiene un decimal distinto, no puede ser el mismo número.". Así que hay números que no están en la lista. Por lo tanto, la cantidad de números reales no es numerable. Es un infinito distinto. Tomá mate.

Este argumento de Cantor se llama argumento diagonal (porque usamos la diagonal de la lista para construir el número, los dígitos rojos), y está en el corazón de una cantidad de teoremas importantes de la matemática, como el de Gödel, o el de Turing que ya he contado.

También puede demostrarse que la cantidad de números reales, o de puntos en un segmento, es igual a la cantidad de puntos en una recta de cualquier longitud, o de cualquier figura o cuerpo de cualquier tamaño. Cantor llamó al infinito de los conjuntos numerables aleph cero, ℵ₀, y al de los números reales C, el continuo, por corresponder a la cantidad de puntos de una línea. Pudo demostrar que no existe ningún infinito "más chico" que ℵ₀: incluso si le sacamos infinitos elementos (como cuando le sacamos los impares), siguen quedando ℵ₀. Pero sí pudo encontrar conjuntos que tienen más elementos que C. Esto también lo hizo de manera constructiva, pero si lo cuento esta nota sería insoportablemente larga. La cuestión es que logró crear una jerarquía infinita de estas cantidades infinitas, a las que llamó números transfinitos, y toda una aritmética para ellos. Bertrand Russell dijo sobre esto: "La solución de las dificultades que rodeaban el infinito es el más grande logro de nuestra era". David Hilbert dijo "Nadie nos echará del paraíso que Cantor creó para nosotros". Pero Cantor fue también ferozmente criticado y hasta atacado por muchos destacados colegas, lo cual dañó su salud mental, cayó en una severa depresión, y murió en un manicomio en 1918.

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Uno, dos, tres... infinito es un libro extraordinario, que me prestó mi profesora de matemática, la Lewin, en el primer año del colegio secundario. Allí descubrí un mundo matemático que iba muchísimo más allá de las cuatro operaciones aritméticas y la geometría básica de la escuela primaria. Aprendí sobre números muy grandes, la invención del ajedrez y la función factorial, sobre libros combinatorios (al estilo de La Biblioteca de Babel, de Borges), sobre los números primos y su infinitud, sobre los números imaginarios, sobre espacios curvos y la relatividad, sobre átomos, rayos cósmicos, neutrinos, caminatas aleatorias, radiactividad, fisión nuclear, probabilidades, genes, galaxias, el funcionamiento de las estrellas y el origen del universo... Parece mucho, pero seguro que me han quedado cosas afuera de la lista. Son apenas 300 páginas, al alcance de cualquiera. Publicado en 1946 y reeditado en 1961, ha resistido muy bien el paso del tiempo. Este Gamow (se pronuncia "gamóf") era un genio.

Cantor se preguntó si habría algún número transfinito entre ℵ₀ y C. Conjeturó que no, pero nunca pudo probarlo. A esto se llamó la hipótesis del continuo. Recién se zanjó la cuestión en 1963, y la respuesta resultó ser al mismo tiempo "sí" y "no". Resultó que la hipótesis del continuo es como un axioma adicional de la teoría de conjuntos, y que uno puede ponerla o sacarla, como pone o saca axiomas de la geometría de Euclides para obtener las geometrías no euclideanas. Esto produjo una revolución en la matemática que se siente hasta el día de hoy. Quien esté interesado puede revisar el facinante libro To infinity and beyond: A cultural history of the infinity, de Eli Maor. 

La foto de Cantor es del Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH (MFO) (CC BY-SA).