De la manzana a la Luna

Ya he contado que la anécdota de Newton y la manzana es muy probablemente cierta. Pero les debía una parte de la historia. ¿Cómo llegó Newton a formular la ley de gravitación inspirado por un hecho tan mundano como la caída de una manzana? En las memorias de su amigo Stukeley, Newton le dice cómo fue que la noción de la gravitación universal vino a su mente:

“Fue ocasionada por la caída de una manzana, mientras estaba sentado en actitud contemplativa. ¿Por qué la manzana desciende perpendicularmente al suelo? ¿Por qué no va de costado, o hacia arriba, sino constantemente hacia el centro de la Tierra? Seguramente porque la Tierra la atrae. Debe haber un poder de atracción en la materia: y la suma de este poder de atracción debe estar en el centro de la Tierra, no en un costado. […] Si la materia atrae a la materia, debe ser en proporción a su cantidad. Así que la manzana atrae a la Tierra tal como la Tierra atrae a la manzana. Hay una fuerza, que aquí [en la Tierra] llamamos gravedad [es decir: peso], que se extiende por el universo.”

Hoy en día nos parece una obviedad que la atracción gravitatoria resultante de toda la Tierra esté dirigida hacia su centro, y que se extienda hasta la Luna y más allá; no era así en el siglo XVII. Pero nos falta todavía la conexión con el movimiento de la Luna y de qué manera la atracción depende de la distancia. En un manuscrito de 1714 el propio Newton refiere que:

“…comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré un acuerdo bastante bueno. Todo esto fue en los años de la Plaga de 1665 y 1666, ya que en esos días estaba en mis mejores años de inventiva, y se me daba la matemática y la filosofía (*) mejor que nunca.”

(*) La filosofía: la física, tal como se la llamaba en el siglo XVII.

Nunca sabremos el razonamiento exacto de Newton sentado bajo el manzano, pero un texto del matemático y astrónomo escocés David Gregory relata una visita a Newton, y cuenta haber visto un manuscrito “anterior a 1669” con los cálculos. Newton imagina la Luna y la Tierra, como en la figura de aquí al lado. Si no existiera la atracción gravitatoria, en un tiempo infinitesimal (exagerado por claridad en la figura) la Luna se movería en la línea recta azul de A a B, según la ley de inercia de Galileo. Pero debido a la atracción gravitatoria de la Tierra, la Luna “cae” de B a C. Si el fenómeno que produce la órbita de la Luna es el mismo que rige la caída de las manzanas, la ley de caída vertical (también descubierta por Galileo) le permitiría calcular la aceleración de esta “caída”.

Newton conoce el radio de la órbita de la Luna y su período, así que calcula por métodos geométricos la distancia BC correspondiente a un movimiento de 1 segundo, y encuentra la aceleración. Al compararlo con la aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra, le da “algo más de 4000” veces menor. La distancia de la Luna al centro de la Tierra es 60 radios terrestres, esto es 60 veces mayor que la distancia de la manzana (que está en la superficie) al centro de la Tierra. 60 al cuadrado es 3600, así que la aceleración debida a la fuerza gravitatoria, si disminuyera con el cuadrado de la distancia, debería ser 3600 veces menor sobre la Luna que sobre la manzana. La discrepancia entre 3600 y 4000 no satisfizo a Newton, quien llegó a sospechar que el movimiento de la Luna se debía sólo en parte a la gravedad. Aparentemente varias confusiones entre las muchas unidades de longitud usadas en su época, así como cierta inexactitud del radio terrestre conocido por entonces, conspiraron para producir el error. En todo caso, abandonó por varios años sus investigaciones sobre la gravitación.

Podemos modernizar el argumento para ver con nuestros propios ojos el resultado. Imaginemos que la órbita de la Luna es circular. Sin apelar a la ciencia de la dinámica (que el propio Newton aun estaba por desarrollar), consideraciones puramente geométricas y cinemáticas, al estilo de las de Galileo, permiten calcular la aceleración centrípeta (vale decir, hacia el centro de la Tierra) experimentada por la Luna en su movimiento circular:\[a_c = \text{radio} \times \text{frecuencia}^2 = 60R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\]donde \(60R\) es el radio de la órbita lunar (expresada en radios de la esfera terrestre) y \(T\) es el período orbital de la Luna. Poniendo valores aproximados:\[T\approx 27.5 \text{ días} = 27.5\times 86400 \text{ seg},\]\[60R\approx 384000 \text{ km},\]obtenemos:\[a_c \approx 0.002685 \text{ m/s}^2 = g/3649,\]siendo \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) el conocido valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Niente male.

En 1679, a raíz de un intercambio epistolar con Robert Hooke, Newton retomó sus cálculos sobre la dinámica y demostró que si la fuerza fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, entonces valdría la Primera Ley de Kepler: que las órbitas de los planetas y los satélites son elípticas, con el centro de fuerza en uno de los focos. Finalmente, en 1684, a pedido de Edmund Halley, Newton rehizo estos cálculos, los complementó y los publicó como De motu corporum in gyrum (El movimiento de los cuerpos en órbita). Allí repite “la prueba de la Luna”, obteniendo esta vez “muy exactamente” una dependencia cuadrática con la distancia.

Pero no se detuvo allí. Al componer De motu Newton descubrió el poder de sus novedosos métodos matemáticos, que le permitían describir muchísimas situaciones que nadie sabía cómo tratar: el movimiento de varios cuerpos, los medios viscosos, las órbitas de los cometas, el movimiento anómalo de la Luna, la precesión de los equinoccios, las mareas, la forma aplanada del globo terrestre y mucho más. Urgido por Halley, Newton trabajó sin detenerse durante un año y medio. El resultado: los tres volúmenes de los Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, publicados en 1687, la obra más influyente de la Revolución Científica del siglo XVII y una de las más extraordinarias de la historia de la ciencia. Todo salido de la reflexión de un hombre que un día vio caer una manzana, y se preguntó si la fuerza que la hacía caer no sería la misma que mantenía a la Luna en su órbita.

Si querés revisar las notas sobre Newton, recomiendo el siguiente orden: 
Newton y la Peste
El manzano de Newton
El cometa de Newton
De la manzana a la Luna
La Era de Acuario

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Muchas cosas como éstas están contadas en Newton's Principia for the common reader, de S. Chandrasekhar (el astrofísico que descubrió buena parte de los secretos de la evolución estelar), y en The background to Newton's Principia, de John Herivel (de relevante actuación en el desciframiento del Código Enigma hasta que las máquinas diseñadas por Alan Turing comenzaron a funcionar).

La foto muestra las manzanas de Newton de nuestro árbol histórico y, detrás, la Luna.

Feliz Newtonidad

En un día como hoy, 25 de diciembre, hace muchos siglos, llegó al mundo un niño que, treinta y pico años después, transformaría el mundo. Hoy celebramos el nacimiento de Isaac Newton. ¡Feliz Newtonidad!

Newton nació en esta casa, en la aldea de Woolsthorpe-by-Colsterworth, una hora después de la medianoche del 25 de diciembre de 1642. Su madre, Hannah, decía que era tan chiquito que habría cabido en un jarro de un litro. A esta misma casa regresó Newton en 1665, recién graduado en Cambridge, cuando la universidad cerró a causa de la epidemia de peste. Y allí vivió 18 meses de cuarentena, fijate un poco: su "año milagroso" durante el cual inventó el cálculo infinitesimal, revolucionó la Óptica y la Mecánica, y formuló la Ley de Gravitación Universal. En buena medida el mundo de hoy, con los milagros tecnológicos de las comunicaciones, el home office, la salud, la industria, el transporte y el confort en general, nacieron con Isaac Newton el día de Navidad, hace casi exactamente 379 años.

¿Cómo llegó Newton a la gravitación universal? En las memorias de su amigo William Stukeley, Newton le relata cómo fue que la noción vino a su mente:

    “Fue ocasionada por la caída de una manzana, mientras estaba sentado en actitud contemplativa. ¿Por qué la manzana desciende perpendicularmente al suelo? ¿Por qué no va de costado, o hacia arriba, sino constantemente hacia el centro de la Tierra? Seguramente porque la Tierra la atrae. Debe haber un poder de atracción en la materia: y la suma de este poder de atracción debe estar en el centro de la Tierra, no en un costado. […] Si la materia atrae a la materia, debe ser en proporción a su cantidad. Así que la manzana atrae a la Tierra tal como la Tierra atrae a la manzana. Hay una fuerza, que aquí [en la Tierra] llamamos gravedad [es decir: peso], que se extiende por el universo.”

Y en un manuscrito de 1714 el propio Newton refiere que:

    “…comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré un acuerdo bastante bueno. Todo esto fue en los años de la Plaga de 1665 y 1666, ya que en esos días estaba en mis mejores años de inventiva, y se me daba la matemática y la filosofía (*) mejor que nunca.”

(*) La filosofía: la física, tal como se la llamaba en el siglo XVII.

Nunca sabremos el razonamiento exacto de Newton sentado bajo el manzano, pero un texto del matemático y astrónomo escocés David Gregory relata una visita a Newton, y cuenta haber visto un manuscrito “anterior a 1669” con los cálculos. Newton imaginó la Luna, la Tierra y la manzana, como en la figura de aquí al lado. Si no existiera la atracción gravitatoria, en un tiempo infinitesimal (exagerado por claridad en la figura) la Luna se movería en la línea recta azul de A a B, según la ley de inercia de Galileo. Pero debido a la atracción gravitatoria de la Tierra, la Luna “cae” de B a C. Si el fenómeno que produce la órbita de la Luna es el mismo que rige la caída de las manzanas, la ley de caída vertical (también descubierta por Galileo) le permitiría calcular la aceleración de esta “caída”.

La distancia de la Luna al centro de la Tierra es 60 radios terrestres, o sea 60 veces mayor que la distancia de la manzana (que está en la superficie) al centro de la Tierra. El cuadrado de 60 es 3600, así que la aceleración debida a la fuerza gravitatoria, si disminuyera con el cuadrado de la distancia como el brillo de una lámpara, debería ser 3600 veces menor sobre la Luna que sobre la manzana. Newton calculó por métodos geométricos la distancia BC correspondiente a un movimiento de 1 segundo, y encontró la aceleración. Al compararla con la aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra (los famosos 9.8 m/s²) le dio “algo más de 4000” veces menor. La discrepancia entre 3600 y 4000 no satisfizo a Newton, no publicó el resultado y abandonó por varios años sus investigaciones sobre la gravitación.

En 1679, a raíz de un intercambio epistolar con Robert Hooke, Newton retomó sus cálculos sobre la dinámica y demostró que si la fuerza fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, entonces valdría la Primera Ley de Kepler: que las órbitas de los planetas y los satélites son elípticas, con el centro de fuerza en uno de los focos. Finalmente, en 1684, a pedido de Edmund Halley, Newton rehizo estos cálculos, los complementó y los publicó como De motu corporum in gyrum (El movimiento de los cuerpos en órbita). Allí repite “la prueba de la Luna”, obteniendo esta vez “muy exactamente” una dependencia cuadrática con la distancia.

Pero no se detuvo allí. Al componer De motu Newton descubrió el poder de sus novedosos métodos matemáticos, que le permitían describir muchísimas situaciones que nadie sabía cómo tratar: el movimiento de varios cuerpos, las sustancias viscosas, las órbitas de los cometas, el movimiento anómalo de la Luna, la precesión de los equinoccios y los perihelios, las mareas, la forma aplanada del globo terrestre y mucho más. Urgido por Halley, Newton trabajó sin pausa durante un año y medio. El resultado: los tres volúmenes de los Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, publicados en 1687, la obra más influyente de la Revolución Científica del siglo XVII y una de las más extraordinarias de la historia de la ciencia. Todo salido de la reflexión de un hombre que un día vio caer una manzana, y se preguntó si la fuerza que la hacía caer no sería la misma que mantenía a la Luna en su órbita.

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Muchas de estas cosas están contadas en Newton's Principia for the common reader, de S. Chandrasekhar (el astrofísico que descubrió buena parte de los secretos de la evolución estelar), y en The background to Newton's Principia, de John Herivel (de relevante actuación en el desciframiento del Código Enigma hasta que las máquinas diseñadas por Alan Turing comenzaron a funcionar).

La foto de las manzanas con la Luna detrás es de nuesto Manzano de Newton en el Instituto Balseiro. La foto de la casa natal de Newton es del UK National Trust, con el manzano decorado por mí. La ventana con la guirnalda es la habitación de Isaac.

El Manzano de Newton, o la inspiración científica a través del tiempo

Para celebrar el Día del Científico 2022, el CONICET organizó la plantación de un retoño del histórico Manzano de Newton en la plaza que se encuentra detrás del Polo Científico Tecnológico (ex Bodegas Giol, en Palermo, Buenos Aires). Tuve el gusto de que me invitaran para hablar sobre el manzano y sobre el ejemplar que tenemos en el Balseiro, a partir del cual se realizó el nuevo arbolito. Para quienes no pudieron asistir, he aquí lo que conté.

En el año 1665 hubo una gran epidemia de peste en Inglaterra. Imagínense algo mucho peor que el covid: murió casi la cuarta parte de la población de Londres. La Universidad de Cambridge cerró por la plaga y el joven Isaac Newton, de 22 años, apenas graduado, se fue a pasar la cuarentena a la finca de su madre en el campo. Allí se pasó un año y medio, que luego llamaría su “año milagroso”, durante el cual inventó el cálculo diferencial, renovó la óptica, revolucionó la mecánica y formuló la famosa Ley de Gravitación Universal.

Precisamente sobre la gravitación todos conocemos una de las anécdotas más famosas de la historia de la ciencia: que la idea se le ocurrió al ver una manzana cayendo del árbol. Tal vez cualquiera de nosotros se habría comido la manzana y listo, pero Newton reflexionó sobre lo que había visto (él lo llama “actitud contemplativa”). Se preguntó si la fuerza que hacía caer la manzana tendría alguna relación con la fuerza que hacía que la Luna no se cayera. El resultado fue la primera de las grandes unificaciones en la historia de la Física: la del movimiento de los objetos terrenales y los celestes, aparentemente tan distintos entre sí. Newton descubrió que ambos obedecían a la misma acción, que llamó Gravitación Universal.

Aunque parezca inventada, la historia de la manzana es muy probablemente cierta. Si bien Newton no habla de manzanas en ninguno de sus escritos, él mismo se la contó a varios parientes y amigos. Entre ellos su sobrina favorita Catherine Barton, que a su vez se lo contó a Voltaire, quien fue el primero en publicarla. Todos esos relatos hablan de “una manzana cayendo de un árbol” (y ninguno menciona una manzana cayéndole en la cabeza; esa versión la inventó Disney). Y un árbol en el jardín, no en el huerto donde había una pequeña plantación como en cualquier casa de campo. Estos detalles, sumados al hecho de que Newton no tenía ningún motivo para inventar algo semejante, hacen que la historia sea bastante creíble.

¿Y cuál sería el manzano? La cuestión es que desde tiempos de Newton los paisanos del pueblo les mostraban a los visitantes curiosos el árbol: un manzano que crecía en el jardín frente a la casa, a la vista de la ventana de su cuarto. La tradición se mantuvo durante más de un siglo, hasta que el árbol fue arrancado por una fuerte tormenta en 1814. Se armó un revuelo, vinieron los vecinos, todos querían llevarse un pedacito de recuerdo. Alguien trajo un serrucho y cortó unas ramas, cuya madera conservaron para la posteridad (haciendo incluso una silla que todavía existe). Para preservarlo se cortó un gajo y se lo plantó en la casa del conde de Brownlow, Belton House (y estoy seguro de que más de uno se llevó un gajo de souvenir).

Pero el árbol no murió, y existen un par de dibujos de la época que lo muestran con el tronco partido y horizontal, pero con follaje. Desde esa fecha hasta la actualidad el árbol siguió existiendo, y hoy en día puede visitarse en el jardín de Woolsthorpe Manor, convertida en museo. Por otro lado, hay dibujos y planos que muestran que la casa tuvo mínimas reformas entre los siglos XVII y XIX, así que hay bastante seguridad de que el árbol es el original. 

Ya en el siglo XX se hizo una nueva multiplicación del retoño rescatado en Belton House, en la East Malling Research Station, un instituto de investigación agrícola de la región. Y en 1979, el entonces Presidente de la Comisión Nacional de Energía Atómica, el Dr. Castro Madero, estando de viaje en Inglaterra, se enteró de que era posible conseguir un retoño de allí, para plantarlo en una institución académica. La Biblioteca del Centro Atómico Bariloche conserva toda la correspondencia y la documentación del trámite. Nótese que el árbol no se propagó por semilla, sino de manera vegetativa. Estrictamente, son clones. Nuestro manzano no es un descendiente: es el mismo árbol. 

La gente de East Malling mandó varios retoños, por las dudas, de manera que la CNEA los plantó en distintos centros atómicos, e incluso hay uno en el jardincito enrejado en el frente de la Sede Central, sobre Avenida del Libertador.

El manzano de Bariloche fue plantado en un pequeño prado cerca de la tumba de José Balseiro, fundador del Instituto. Allí estaba cuando yo ingresé a la carrera de física en 1986. Habían pasado 6 años pero seguía siendo un arbolito escuálido. No era un buen lugar, y ante el peligro de que no sobreviviera, en 1990 se lo trasplantó con gran cuidado al lugar donde está ahora, más cerca de donde está actualmente la Dirección del Instituto. La maniobra fue un éxito: inmediatamente la planta se puso fuerte, empezó a crecer, y al poco tiempo comenzó a dar frutos. Hoy en día es un hermoso manzano. A principio del verano es una belleza de flores, y hacia el final del verano se llena de fruta. Las manzanas son bastante ricas, no particularmente sabrosas pero buenas para cocinar. Yo suelo hacer mermelada, o chutney, o tarta, cuando puedo cosechar algunas. Son de la variedad Flower of Kent, rara hoy en día pero documentada desde tiempos de Shakespeare.

El año pasado lo visitaron especialistas de la Facultad de Ciencias Agrarias de nuestra Universidad de Cuyo, para podarlo y rejuvenecerlo, y en esa ocasión se hicieron gajos para poder producir nuestros propios retoños, como este que hoy hemos traído aquí, para que crezca en el Polo Científico Tecnológico y sirva de inspiración a muchas generaciones. 

La idea de Newton es fácil de explicar en concepto, y tiene esa sutileza que sirve para mostrar la importancia de reflexionar en los fenómenos que uno observa. Es algo que los científicos aprendemos a hacer desde chiquitos, pero que no se enseña formalmente en clase, sino que lo aprendemos del ejemplo de nuestros profesores.

Newton conocía la aceleración de la caída de los cuerpos en la superficie de la Tierra (la había medido Galileo una generación antes). Y, aunque la Luna no cae como cae la manzana, y está lejos de la superficie de la Tierra, Newton argumentó que si no hubiera una atracción hacia el centro de la Tierra, la Luna seguiría de largo por la tangente de su órbita.

Con su destreza para el cálculo matemático pudo calcular la aceleración que sufría la Luna para, en lugar de irse por la tangente, curvarse sobre la órbita. Le dio 3600 veces menos que la aceleración de la manzana. Como la Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que la manzana, y el cuadrado de 60 es 3600, entonces la atracción debe disminuir con el cuadrado de la distancia. En realidad hay que decir que le dio un poco más de 3600, y que él mismo no quedó convencido hasta casi 20 años después, cuando una mejor medición del tamaño de la Tierra le permitió hacer un cálculo más preciso. La ley del cuadrado de la distancia le permitía calcular las órbitas de los planetas y obtener las leyes de Kepler; su amigo Halley le contagió su entusiasmo, y en un frenesí de trabajo compuso los Principia Mathematica, la obra más influyente de la Historia de la Ciencia.

Newton y la peste

Estoy en Córdoba dando un cursito sobre la matemática de las epidemias, así que me desvío un poco de la astronomía. Pero no del todo, ya verán. En 1665 una terrible epidemia se abatió sobre Inglaterra. Fue uno de los rebrotes de la Peste Negra que había arrasado Europa entre 1347 y 1351, y que afectó profundamente todos los órdenes de la sociedad medieval. Pero más sobre ésta otro día; ahora sigamos con la del siglo XVII.

Los primeros casos de la que se llamaría Gran Plaga de Londres ocurrieron en el invierno de 1664-1665. Al llegar la primavera de 1665 la peste escapó de control, y acabaría cobrándose 100 mil víctimas, un quinto de la población de Londres. Hay varios aspectos notables en esta epidemia. Por ejemplo, fue la primera vez que un fenómeno semejante fue documentado cuantitativamente. En efecto, el año anterior habían empezado a publicarse Actas de mortalidad semanales, donde quedaban asentadas las muertes y sus causas (las actas de natalidad se mantenían en las parroquias desde mucho antes). Esto marcó el comienzo del estudio cuantitativo de la demografía, que acabaría siendo una parte importante de la ciencia moderna.

Otro fenómeno curioso durante esta epidemia fue que la gente empezó a reaccionar de manera distinta que en grandes epidemias anteriores. Por empezar, el público no se amontonó en las ciudades. Por alguna razón quedó claro que el amontonamiento era perjudicial (aunque nada sabían de microorganismos ni de contagios), y los que podían hacerlo huyeron al campo. La nobleza así lo hizo, pero también mucha otra gente acomodada.

Entre los que se refugiaron en el campo estaba el joven Isaac Newton, el muchacho pelilargo del retrato de aquí arriba. En 1665 obtuvo su grado en la Universidad de Cambridge, y como ésta cerró a causa de la Plaga, Newton se fue a una finca de su familia en Woolsthorpe-by-Colsterworth. Allí pasó 18 meses, lo que llamó su “año milagroso”. Parece que, cuando podía, estudiaba y trabajaba en el pomar, bajo los frutales. Durante este año revolucionó la matemática inventando el cálculo infinitesimal, formulando las leyes fundamentales de la mecánica, renovando la óptica y, sobre todo, descubriendo el mecanismo que explicaba el funcionamiento de los astros: la gravitación universal, completando la obra de Kepler. Según su propio relato, la observación de la caída de las manzanas fue una clave para su descubrimiento. Un verdadero genio, ¿no? A partir de algo que para cualquier otro no habría sido más que un fenómeno cotidiano, Newton concluyó que la fuerza que hace que la manzana caiga de la rama era la misma fuerza que hace que la Luna no caiga de su órbita...

Newton (nacido en 1642) tenía 23 años en 1665. Quienes quieran experimentar inspiraciones similares pueden visitar la plaza frente a la Biblioteca del Instituto Balseiro, donde un retoño traído de la finca de la familia Newton se llena de ricas manzanas (casi) todos los años. O, al menos, pueden comerse una manzana.