Los pétalos de Venus

Hace poco descubrí esta curiosidad sobre la órbita de Venus. Me pareció increíble no haberlo visto nunca antes, porque es una preciosura. Resulta que el año de Venus dura 224.8 días (días terrestres). Es un 38% más corto que el nuestro, que dura 365.25 días, porque Venus orbita el Sol más cerca que la Tierra. Curiosamente, 13 años venusinos coinciden (casi) exactamente con 8 años terrestres: 13×224.8 ≃ 8×365.25 = 2922. Es decir, cada 8 años (2922 días), Venus y la Tierra se vuelven a encontrar en la misma posición en sus órbitas. Esto se llama resonancia 13:8. Ya hemos mencionado un fenómeno parecido que involucra a Plutón y Neptuno, una resonancia 3:2, que hace que cada tres vueltas de Neptuno, Plutón complete dos.

La resonancia 13:8 produce un efecto tan sorprendente como invisible. Me apareció en Twitter, en una visualización hecha por un matemático inglés que sigo habitualmente. Había algunas cosas de su video que no me satisfacían, así que hice la mía propia. Aquí está. Son Venus (blanco) y la Tierra (azul), moviéndose alrededor del Sol (amarillo), y dejo dibujado una rayita rosa cada tanto uniendo ambos planetas, para que se vea por dónde estuvieron. Es un gif medio grande, tengan paciencia.

La animación abarca 8 años terrestres y después se reinicia. Para simplificar el dibujo usé órbitas circulares en lugar de elípticas, y una resonancia exacta 13:8 (como dije arriba, en realidad es casi exacta). El dibujo se parece a esas artesanías de hilos tensados sobre clavos que hacíamos en la escuela, y que eran populares en la década de 1970, ¿no? Cuando el ciclo termina, queda dibujada una linda flor de cinco pétalos:

Si se fijan en la animación, hay cinco ocasiones de máximo alejamiento, cuando los planetas se encuentran en posiciones opuestas con el Sol en medio. Se llaman conjunciones superiores, que en la animación van dibujando las cáusticas entre los pétalos centrales, cuyas cúspides forman un pentagrama: una estrella de cinco puntas. 

También podemos ver que hay cinco ocasiones de máximo acercamiento, que se llaman conjunciones inferiores (la animación empieza en una de éstas). Debido a la resonancia 13:8, cada conjunción inferior sucesiva ocurre 144 grados en dirección contraria al movimiento orbital. 144 es el doble de 72, que es 360 dividido 5, así que tras 5 conjunciones inferiores los planetas se encuentran nuevamente en la posición inicial. Por eso el dibujo que resulta tiene la simetría de un pentágono. Si en lugar de dibujar los dos planetas en órbita alrededor del Sol dibujamos la perspectiva geocéntrica, el resultado se llama pentagrama de Venus. Es esta preciosura:

En esta representación hice el grosor de las líneas de este nudo pentagonal representando la proximidad entre Venus y la Tierra (una exclusiva de En el cielo las estrellas, que no vi en ningún otro lado). Los extremos de los cinco rulos interiores son las conjunciones inferiores, donde Venus está más cerca de la Tierra (unos 40 millones de kilómetros), se pone retrógrado durante más o menos un mes, y es casi invisible porque es la fase nueva. 

En general, estas curvas se llaman epicicloides, y son frecuentes en obras antiguas. Por ejemplo, en Astronomía Nova, Kepler nos muestra la de Marte:

Como Marte y la Tierra no están en resonancia, la florcita no se cierra ni por asomo. Justamente el movimiento de Marte fue crucial para Kepler, ya que le permitió descubrir las leyes del movimiento de los planetas, en sus órbitas elípticas (fíjense que la florcita no está centrada en el círculo zodíaco exterior). No me sorprende que estos curiosos objetos geométricos lo hayan hipnotizado al punto de tratar de acomodar todas las órbitas en poliedros regulares, como ya había hecho en el Mysterium Cosmographicum:

O que, en Harmonices Mundi (obra en la que expone su Tercera Ley), haya procurado acomodar los movimientos planetarios en escalas musicales, donde las resonancias juegan un rol ya conocido desde Pitágoras.

Fue Laplace quien descubrió, basado en la mecánica celeste de Newton, la existencia de estos fenómenos de resonancia orbital, que no tiene mayor relación con la música. El universo está lleno de belleza matemática. A veces más escondida, a veces menos.
 

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Los 8 años de la resonancia son responsables de que los tránsitos de Venus delante del Sol se produzcan en pares de dos, separados por 8 años, cada par más de 100 años después del anterior.

El programa para dibujar los dos pentagramas de Venus lo hice en Mathematica. El que lo quiera para jugar, me lo pide y listo.

En teoría musical, dos frecuencias relacionadas por el cociente 3:2 se dice que están separadas por una quinta perfecta, una de las consonancias de la música occidental. El cociente 13:8 no es, que yo sepa, ninguno de los intervalos usuales de la música. El más cercano que encontré es una disonancia llamada tritono, 13:9. Curiosamente, son tritones los que celebran el nacimiento de Venus.

La relación entre la resonancia 13:8 y los 72 grados del pentagrama no me resultaba obvia, así que me convencí con este gráfico que dejo aquí para algún curioso, pero sin mayor explicación. El segundo cruce se produce al año y medio, en la fase 216 =  360 - 144.