La distancia a la Luna

Cuando conté hace poco la medición de la distancia al Sol por métodos geométricos (usando el tránsito de Mercurio), un lector quedó intrigado sobre los métodos que los antiguos griegos habrían usado para medir estas cantidades astronómicas sin instrumentos de precisión. La verdad que es bastante fácil, si bien impreciso. Voy a contarlo, sin demasiados detalles ni exactitud histórica, más bien para que se vea la idea conceptual.

La Luna da una vuelta al cielo en 27.3 días, eso ya era conocimiento antiguo incluso para los griegos. Son 360 grados, y el tamaño de la Luna en el cielo es medio grado. Así que son 720 diámetros lunares en 27.3 días. Si dividimos 720 por 27.3×24 nos da 1.1 horas para recorrer su propio diámetro. Eso por un lado.

Los eclipses lunares más largos son cuando la Luna atraviesa la sombra de la Tierra por el medio, y permiten comparar ambos tamaños. El eclipse del 27 de julio de 2018 fue de este tipo. Desde que la Luna empezó a entrar en la sombra (la umbra) hasta que empezó a salir, o sea desde el contacto U1 al U3, pasaron 2 horas 49 minutos, es decir 2.8 horas.

Supongamos que el Sol está infinitamente lejos. No está, pero para hacer un cálculo rápido los físicos razonamos así, porque somos muy vagos. Entonces la sombra de la Tierra tiene el mismo tamaño que la Tierra. Podemos juntar los dos valores que calculamos antes: la Luna la atravesó en 2.8 horas, y tarda 1.1 horas en recorrer su propio diámetro. Así que la Tierra es 2.8/1.1 = 2.5 veces más grande que la Luna. Si la Tierra mide 13000 km de diámetro (Eratóstenes lo midió), el de la Luna es 5200 km. En realidad son 3500, así que no está tan mal.

¿Y a qué distancia está? Si miramos una bolita de lejos podemos hacer que tenga el mismo tamaño que la Luna. Hice la prueba y saqué una foto durante la cuarentena Covid-19:

La canica que usé mide 1.6 mm, y tuve que ponerla a 184 cm de la cámara:

De esta manera tenemos construidos dos triángulos semejantes, con la cámara en el vértice, y bases en la bolita y en la Luna.

La geometría era pan comido para los griegos. Sin pensarlo dos veces, el griego te dice que el cociente entre la bolita y su distancia es igual al cociente entre la Luna y su distancia. La única cantidad desconocida de esas cuatro es la distancia a la Luna, y usamos las otras tres para calcularla:

3500 km × 184 cm / 1.6 cm = 400000 km

¡Cuatrocientos mil kilómetros! El griego sonríe satisfecho, se está asomando a un universo mucho más grande que el Peloponeso.

Otro día cuento la distancia al Sol.

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NB: Seguramente ningún astrónomo de la Antigüedad habrá calculado exactamente así. Pero las ideas son éstas. Del genial Aristarco de Samos se conserva una sola obra, Sobre los tamaños y las distancias, donde precisamente calcula estas cosas. Lo hace con mucha más exactitud, ya que tiene en cuenta la distancia y el tamaño del Sol.

En el cálculo del tamaño de la Luna hay varias fuentes de error, no sólo el tamaño de la sombra de la Tierra que ya mencioné. Habría que tener en cuenta que la Tierra (y su sombra) también se mueven durante el eclipse, no sólo la Luna. O hacer una composición fotográfica como la que hizo Aldo Kleiman junto con José Luis Sánchez. Esto se puede corregir, porque el movimiento de la Tierra es el que hace que una lunación (de nueva a nueva) no sean 27.3 días sino 29.5. También habría que usar la duración de un eclipse exactamente central, no como yo que usé el primero que encontré. Pero los griegos tenían acceso a miles de años de observaciones de los babilonios, así que podían mejorar este valor.

La foto de la umbra de la Tierra, reconstruída en base a múltiples eclipses lunares, está buenísima. Me la cedió gentilmente Aldo para esta nota. Aldo también participó en la observación del tránsito de Mercurio para medir la paralaje solar. No se pierdan el resto de sus fotos.